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1.(2025·贵州)如图
,已知△ABC∽△DEF,AB:DE=2:1,若DF=2,则AC的长为 ()
A.1
B.2
C.4
D.8
,已知△ABC∽△DEF,AB:DE=2:1,若DF=2,则AC的长为 ()A.1
B.2
C.4
D.8
答案
C
解析
【分析】
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：第一步，回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的对应边成比例；第二步，明确两个相似三角形的对应边比例关系，已知AB与DE的对应边比为2:1，可得AC与DF的比值和其相等；第三步，将已知DF的长度代入比例式，计算即可得到AC的长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△DEF，
∴相似三角形对应边成比例，即$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$，
已知$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{1}$，$DF=2$，
代入得$\frac{2}{1}=\frac{AC}{2}$，
解得$AC=2×2=4$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质；比例的计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查相似三角形对应边成比例的性质，解题的关键是准确找到对应边的比例关系，代入数值计算即可，没有复杂的变形，掌握相似三角形的基本性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：第一步，回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的对应边成比例；第二步，明确两个相似三角形的对应边比例关系，已知AB与DE的对应边比为2:1，可得AC与DF的比值和其相等；第三步，将已知DF的长度代入比例式，计算即可得到AC的长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△DEF，
∴相似三角形对应边成比例，即$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$，
已知$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{1}$，$DF=2$，
代入得$\frac{2}{1}=\frac{AC}{2}$，
解得$AC=2×2=4$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质；比例的计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查相似三角形对应边成比例的性质，解题的关键是准确找到对应边的比例关系，代入数值计算即可，没有复杂的变形，掌握相似三角形的基本性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
2. 如图2,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$BD⊥ AC$,垂足为$D$,$AE$平分$∠ BAC$,分别交$BD$,$BC$于点$F$,$E$.若$AD:BD=3:4$,则$BE:EC$为 ()
A.$3:5$
B.$4:5$
C.$3:4$
D.$1:2$
A.$3:5$
B.$4:5$
C.$3:4$
D.$1:2$
答案
A
解析
【分析】
解题思路可分为两步：① 先利用Rt△ABC中斜边上的高BD得到相似三角形，结合AD:BD=3:4设参数，通过勾股定理、相似三角形的性质求出AB与AC的长度比；② 再利用角平分线定理，直接得到BE:EC等于AB与AC的比，即可求出结果。
【解析】
设$ AD=3k $，$ BD=4k $（$ k＞0 $），
∵ $ BD⊥ AC $，即$ ∠ ADB=90° $，
∴ 在$ Rt△ ABD $中，由勾股定理得：
$ AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k $，
∵ $ ∠ ABC=∠ ADB=90° $，$ ∠ BAD=∠ CAB $（公共角），
∴ $ △ ABD ∽ △ ACB $，
∴ $ \frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC} $，代入数值：
$ \frac{3k}{5k}=\frac{5k}{AC} $，解得$ AC=\frac{25k}{3} $，
∵ $ AE $平分$ ∠ BAC $，交$ BC $于点$ E $，根据角平分线定理：三角形的角平分线分对边所得的两条线段与该角的两边对应成比例，
∴ $ \frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC} $，
代入$ AB=5k $，$ AC=\frac{25k}{3} $得：
$ \frac{BE}{EC}=\frac{5k}{\frac{25k}{3}}=\frac{3}{5} $，即$ BE:EC=3:5 $。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质，角平分线定理，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，综合了直角三角形的勾股定理、相似三角形的性质和角平分线定理，解题的核心是先通过相似得到角的两边的长度比，再结合角平分线定理快速得到所求线段的比例。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为两步：① 先利用Rt△ABC中斜边上的高BD得到相似三角形，结合AD:BD=3:4设参数，通过勾股定理、相似三角形的性质求出AB与AC的长度比；② 再利用角平分线定理，直接得到BE:EC等于AB与AC的比，即可求出结果。
【解析】
设$ AD=3k $，$ BD=4k $（$ k＞0 $），
∵ $ BD⊥ AC $，即$ ∠ ADB=90° $，
∴ 在$ Rt△ ABD $中，由勾股定理得：
$ AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k $，
∵ $ ∠ ABC=∠ ADB=90° $，$ ∠ BAD=∠ CAB $（公共角），
∴ $ △ ABD ∽ △ ACB $，
∴ $ \frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC} $，代入数值：
$ \frac{3k}{5k}=\frac{5k}{AC} $，解得$ AC=\frac{25k}{3} $，
∵ $ AE $平分$ ∠ BAC $，交$ BC $于点$ E $，根据角平分线定理：三角形的角平分线分对边所得的两条线段与该角的两边对应成比例，
∴ $ \frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC} $，
代入$ AB=5k $，$ AC=\frac{25k}{3} $得：
$ \frac{BE}{EC}=\frac{5k}{\frac{25k}{3}}=\frac{3}{5} $，即$ BE:EC=3:5 $。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质，角平分线定理，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，综合了直角三角形的勾股定理、相似三角形的性质和角平分线定理，解题的核心是先通过相似得到角的两边的长度比，再结合角平分线定理快速得到所求线段的比例。
【难度系数】
0.6
3. 如图3,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AB,AC$上.添加一个条件使$△ ADE ∽ △ ACB$,则这个条件可以是.(写出一种情况即可)
答案
解：
已知$∠ A$是$△ ADE$和$△ ACB$的公共角，即$∠ DAE = ∠ CAB$，
根据两角分别相等的两个三角形相似，添加条件$∠ ADE = ∠ C$，即可判定$△ ADE ∽ △ ACB$。
$∠ ADE = ∠ C$（答案不唯一）
已知$∠ A$是$△ ADE$和$△ ACB$的公共角，即$∠ DAE = ∠ CAB$，
根据两角分别相等的两个三角形相似，添加条件$∠ ADE = ∠ C$，即可判定$△ ADE ∽ △ ACB$。
$∠ ADE = ∠ C$（答案不唯一）
解析
【分析】
要判定△ADE∽△ACB，首先梳理两个三角形已有的相等条件：∠A是△ADE和△ACB的公共角，因此∠DAE=∠CAB已经成立。结合相似三角形的判定定理，在已有一组角相等的前提下，要么再添加一组对应角相等，要么添加夹这组公共角的两组对应边成比例，都可证明两个三角形相似，任选一种符合要求的条件即可。
【解析】
已知∠A是△ADE和△ACB的公共角，即∠DAE = ∠CAB，根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，添加条件∠ADE = ∠C时，△ADE和△ACB有两组角分别相等，即可判定△ADE∽△ACB。（也可添加∠AED=∠B、$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$等条件，均符合要求）
【答案】
∠ADE = ∠C（答案不唯一）
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.公共角的性质
【点评】
本题属于开放型基础题，核心考查相似三角形的判定方法，解题关键是先确定两个三角形已具备的公共角条件，再结合判定定理补充缺失的条件即可，答题时需注意两个三角形的对应顶点顺序，避免出现角、边的对应关系错误。
【难度系数】
0.8
要判定△ADE∽△ACB，首先梳理两个三角形已有的相等条件：∠A是△ADE和△ACB的公共角，因此∠DAE=∠CAB已经成立。结合相似三角形的判定定理，在已有一组角相等的前提下，要么再添加一组对应角相等，要么添加夹这组公共角的两组对应边成比例，都可证明两个三角形相似，任选一种符合要求的条件即可。
【解析】
已知∠A是△ADE和△ACB的公共角，即∠DAE = ∠CAB，根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，添加条件∠ADE = ∠C时，△ADE和△ACB有两组角分别相等，即可判定△ADE∽△ACB。（也可添加∠AED=∠B、$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$等条件，均符合要求）
【答案】
∠ADE = ∠C（答案不唯一）
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.公共角的性质
【点评】
本题属于开放型基础题，核心考查相似三角形的判定方法，解题关键是先确定两个三角形已具备的公共角条件，再结合判定定理补充缺失的条件即可，答题时需注意两个三角形的对应顶点顺序，避免出现角、边的对应关系错误。
【难度系数】
0.8
4. (2025·广州)如图4,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE//BC.若$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$,则$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=$.
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{9}}$
解析
【分析】
解题时先从题干给出的平行条件入手，首先依据相似三角形的判定定理，由DE平行于BC可推出△ADE和△ABC相似；再回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，最后代入已知的边长比例计算即可得到两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴两个三角形的相似比$k=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{9}}$
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础考查题，重点检验对相似三角形判定、性质的掌握程度，只要熟练掌握平行得相似的判定规则，以及相似比和面积比的关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从题干给出的平行条件入手，首先依据相似三角形的判定定理，由DE平行于BC可推出△ADE和△ABC相似；再回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，最后代入已知的边长比例计算即可得到两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴两个三角形的相似比$k=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{9}}$
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础考查题，重点检验对相似三角形判定、性质的掌握程度，只要熟练掌握平行得相似的判定规则，以及相似比和面积比的关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 如图5,是用12个相似的直角三角形组成的图案.若$OA=1$, $\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,则$OG=$.
答案
$\boldsymbol{\frac{64}{27}}$
解析
【分析】
首先观察图案特点：12个直角三角形均相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，可知相邻的以O为端点的线段的比值为定值。先由已知条件$\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$求出相邻线段的公比（后一条线段与前一条线段的比值），再理清从OA到OG需要乘几次公比，最后代入OA=1计算即可得到OG的长度。
【解析】
∵ 图案中12个直角三角形都相似，
∴ 相邻以O为端点的线段成比例，即$\frac{OB}{OA}=\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OC}=\frac{OE}{OD}=\frac{OF}{OE}=\frac{OG}{OF}$。
已知$\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则公比$k=\frac{OB}{OA}=\frac{2}{\sqrt{3}}$。
从OA到OG共需要进行6次比例缩放，因此：
$OG = OA × k^6$
代入$OA=1$，$k=\frac{2}{\sqrt{3}}$得：
$OG=1×(\frac{2}{\sqrt{3}})^6=\frac{2^6}{(\sqrt{3})^6}=\frac{64}{(3^{\frac{1}{2}})^6}=\frac{64}{3^3}=\frac{64}{27}$
【答案】
$\frac{64}{27}$
【知识点】
相似三角形的性质；比例的基本性质；乘方运算
【点评】
本题是相似三角形与规律探索结合的题目，解题核心是抓住相似三角形对应边成比例的性质，得到相邻线段的固定比值，准确数出缩放次数是解题的关键，计算时要注意根式乘方的运算规则。
【难度系数】
0.6
首先观察图案特点：12个直角三角形均相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，可知相邻的以O为端点的线段的比值为定值。先由已知条件$\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$求出相邻线段的公比（后一条线段与前一条线段的比值），再理清从OA到OG需要乘几次公比，最后代入OA=1计算即可得到OG的长度。
【解析】
∵ 图案中12个直角三角形都相似，
∴ 相邻以O为端点的线段成比例，即$\frac{OB}{OA}=\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OC}=\frac{OE}{OD}=\frac{OF}{OE}=\frac{OG}{OF}$。
已知$\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则公比$k=\frac{OB}{OA}=\frac{2}{\sqrt{3}}$。
从OA到OG共需要进行6次比例缩放，因此：
$OG = OA × k^6$
代入$OA=1$，$k=\frac{2}{\sqrt{3}}$得：
$OG=1×(\frac{2}{\sqrt{3}})^6=\frac{2^6}{(\sqrt{3})^6}=\frac{64}{(3^{\frac{1}{2}})^6}=\frac{64}{3^3}=\frac{64}{27}$
【答案】
$\frac{64}{27}$
【知识点】
相似三角形的性质；比例的基本性质；乘方运算
【点评】
本题是相似三角形与规律探索结合的题目，解题核心是抓住相似三角形对应边成比例的性质，得到相邻线段的固定比值，准确数出缩放次数是解题的关键，计算时要注意根式乘方的运算规则。
【难度系数】
0.6
6. (2025·西藏)如图6,点D,E分别是△ABC边AB,AC上的点,且$DE// BC$.若$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$,则$\frac{AE}{EC}$的值是.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
首先观察图形特征，已知$DE// BC$，可先通过平行线的性质判定$△ ADE$与$△ ABC$相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质得到$AE$与$AC$的比值，最后将$AC$拆分为$AE+EC$，即可推导出$\frac{AE}{EC}$的结果。
【解析】
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ A$是$△ ADE$和$△ ABC$的公共角，
$\therefore △ ADE∽△ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$，
设$AE=2k$，$AC=3k$（$k\ne0$），则$EC=AC-AE=3k-2k=k$，
$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{2k}{k}=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题关键是通过平行条件判定三角形相似，再利用相似三角形的边比例关系转化得到所求线段的比值，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
首先观察图形特征，已知$DE// BC$，可先通过平行线的性质判定$△ ADE$与$△ ABC$相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质得到$AE$与$AC$的比值，最后将$AC$拆分为$AE+EC$，即可推导出$\frac{AE}{EC}$的结果。
【解析】
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ A$是$△ ADE$和$△ ABC$的公共角，
$\therefore △ ADE∽△ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$，
设$AE=2k$，$AC=3k$（$k\ne0$），则$EC=AC-AE=3k-2k=k$，
$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{2k}{k}=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题关键是通过平行条件判定三角形相似，再利用相似三角形的边比例关系转化得到所求线段的比值，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
