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7. 如图7,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长为.
答案
解：
∵ MN是BC的垂直平分线，
∴ DB=DC，
∴ ∠B=∠DCB。
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD=∠DCB，
∴ ∠ACD=∠B。
又∵ ∠A=∠A，
∴ △ACD∽△ABC。
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即 $AC^2=AD· AB$。
∵ AD=2，BD=3，
∴ AB=AD+BD=5，
∴ $AC^2=2×5=10$，
∵ AC＞0，
∴ $AC=\sqrt{10}$。
∵ MN是BC的垂直平分线，
∴ DB=DC，
∴ ∠B=∠DCB。
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD=∠DCB，
∴ ∠ACD=∠B。
又∵ ∠A=∠A，
∴ △ACD∽△ABC。
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即 $AC^2=AD· AB$。
∵ AD=2，BD=3，
∴ AB=AD+BD=5，
∴ $AC^2=2×5=10$，
∵ AC＞0，
∴ $AC=\sqrt{10}$。
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直平分线入手，根据垂直平分线的性质可得DB=DC，进而得到∠B=∠DCB；再结合角平分线的定义，可推出∠ACD=∠B，此时观察△ACD和△ABC，有公共角∠A，两组角对应相等即可判定两三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质列出关于AC的等式，代入已知数值计算即可得到AC的长度。
【解析】
∵ MN是BC的垂直平分线，
∴ DB=DC，
∴ ∠B=∠DCB。
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD=∠DCB，
∴ ∠ACD=∠B。
又
∵ ∠A=∠A，
∴ △ACD∽△ABC。
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即 $AC^2=AD· AB$。
∵ AD=2，BD=3，
∴ AB=AD+BD=2+3=5，
∴ $AC^2=2×5=10$，
∵ AC为三角形边长，AC＞0，
∴ $AC=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
垂直平分线的性质；角平分线的定义；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了线段垂直平分线、角平分线及相似三角形的相关知识，解题的核心是通过角的等量转化证明三角形相似，再借助相似的性质建立比例关系求解，是几何部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直平分线入手，根据垂直平分线的性质可得DB=DC，进而得到∠B=∠DCB；再结合角平分线的定义，可推出∠ACD=∠B，此时观察△ACD和△ABC，有公共角∠A，两组角对应相等即可判定两三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质列出关于AC的等式，代入已知数值计算即可得到AC的长度。
【解析】
∵ MN是BC的垂直平分线，
∴ DB=DC，
∴ ∠B=∠DCB。
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD=∠DCB，
∴ ∠ACD=∠B。
又
∵ ∠A=∠A，
∴ △ACD∽△ABC。
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即 $AC^2=AD· AB$。
∵ AD=2，BD=3，
∴ AB=AD+BD=2+3=5，
∴ $AC^2=2×5=10$，
∵ AC为三角形边长，AC＞0，
∴ $AC=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
垂直平分线的性质；角平分线的定义；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了线段垂直平分线、角平分线及相似三角形的相关知识，解题的核心是通过角的等量转化证明三角形相似，再借助相似的性质建立比例关系求解，是几何部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
8. 如图8,在$△ ABC$中,$∠ A=30°,∠ B=90°$,D为AB中点.若E在线段AC上,$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$,则$\frac{AE}{AC}=$.
答案
解：
设$BC = a$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore AC=2BC=2a$，$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3}a$，
$\because D$为$AB$中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
由$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，得$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$。
过点$D$作$DF⊥ AC$于点$F$，
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$∠ A=30°$，
$\therefore DF=AD·\sin30°=\frac{\sqrt{3}a}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{4}$，
$AF=AD·\cos30°=\frac{\sqrt{3}a}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{4}$。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}a}{4})^2}=\frac{a}{4}$。
分两种情况：
1. 当点$E$在$F$、$C$之间时，$AE=AF+EF=\frac{3a}{4}+\frac{a}{4}=a$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$；
2. 当点$E$在$A$、$F$之间时，$AE=AF-EF=\frac{3a}{4}-\frac{a}{4}=\frac{a}{2}$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{\frac{a}{2}}{2a}=\frac{1}{4}$。
综上，$\frac{AE}{AC}=\boldsymbol{\frac{1}{2}或\frac{1}{4}}$。
设$BC = a$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore AC=2BC=2a$，$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3}a$，
$\because D$为$AB$中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
由$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，得$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$。
过点$D$作$DF⊥ AC$于点$F$，
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$∠ A=30°$，
$\therefore DF=AD·\sin30°=\frac{\sqrt{3}a}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{4}$，
$AF=AD·\cos30°=\frac{\sqrt{3}a}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{4}$。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}a}{4})^2}=\frac{a}{4}$。
分两种情况：
1. 当点$E$在$F$、$C$之间时，$AE=AF+EF=\frac{3a}{4}+\frac{a}{4}=a$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$；
2. 当点$E$在$A$、$F$之间时，$AE=AF-EF=\frac{3a}{4}-\frac{a}{4}=\frac{a}{2}$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{\frac{a}{2}}{2a}=\frac{1}{4}$。
综上，$\frac{AE}{AC}=\boldsymbol{\frac{1}{2}或\frac{1}{4}}$。
解析
【分析】
本题是含30°角的直角三角形的计算问题，首先可通过设参数表示出△ABC各边的长度，结合已知比例求出DE的长度；接下来过D作AC的垂线，利用直角三角形的边角关系求出垂线段DF和AF的长度，再通过勾股定理求出EF的长度；最后注意E点在线段AC上有两种位置（在垂足F的两侧），分类讨论计算AE的长度，进而求出对应比值即可。
【解析】
设$BC = a$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore AC=2BC=2a$，$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3}a$，
$\because D$为$AB$中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
由$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，得$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$。
过点$D$作$DF⊥ AC$于点$F$，
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$∠ A=30°$，
$\therefore DF=AD·\sin30°=\frac{\sqrt{3}a}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{4}$，
$AF=AD·\cos30°=\frac{\sqrt{3}a}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{4}$。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}a}{4})^2}=\frac{a}{4}$。
分两种情况：
1. 当点$E$在$F$、$C$之间时，$AE=AF+EF=\frac{3a}{4}+\frac{a}{4}=a$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$；
2. 当点$E$在$A$、$F$之间时，$AE=AF-EF=\frac{3a}{4}-\frac{a}{4}=\frac{a}{2}$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{\frac{a}{2}}{2a}=\frac{1}{4}$。
综上，$\frac{AE}{AC}$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 直角三角形性质
2. 勾股定理
3. 分类讨论
【点评】
本题综合考查直角三角形的相关计算，通过设参数的方法可有效简化计算过程，解题时需注意E点的位置存在两种情况，避免因考虑不全面导致漏解，有助于锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
本题是含30°角的直角三角形的计算问题，首先可通过设参数表示出△ABC各边的长度，结合已知比例求出DE的长度；接下来过D作AC的垂线，利用直角三角形的边角关系求出垂线段DF和AF的长度，再通过勾股定理求出EF的长度；最后注意E点在线段AC上有两种位置（在垂足F的两侧），分类讨论计算AE的长度，进而求出对应比值即可。
【解析】
设$BC = a$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore AC=2BC=2a$，$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3}a$，
$\because D$为$AB$中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
由$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，得$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$。
过点$D$作$DF⊥ AC$于点$F$，
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$∠ A=30°$，
$\therefore DF=AD·\sin30°=\frac{\sqrt{3}a}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{4}$，
$AF=AD·\cos30°=\frac{\sqrt{3}a}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{4}$。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}a}{4})^2}=\frac{a}{4}$。
分两种情况：
1. 当点$E$在$F$、$C$之间时，$AE=AF+EF=\frac{3a}{4}+\frac{a}{4}=a$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$；
2. 当点$E$在$A$、$F$之间时，$AE=AF-EF=\frac{3a}{4}-\frac{a}{4}=\frac{a}{2}$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{\frac{a}{2}}{2a}=\frac{1}{4}$。
综上，$\frac{AE}{AC}$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 直角三角形性质
2. 勾股定理
3. 分类讨论
【点评】
本题综合考查直角三角形的相关计算，通过设参数的方法可有效简化计算过程，解题时需注意E点的位置存在两种情况，避免因考虑不全面导致漏解，有助于锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
9. 如图9,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF.
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B = ∠C = 90°，AB = BC。
∵ BC = BE + EC = 3 + 6 = 9，
∴ AB = 9。
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF} = \frac{3}{2}$，
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF}$。
又∵ ∠B = ∠C = 90°，
∴ △ABE ∽ △ECF。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B = ∠C = 90°，AB = BC。
∵ BC = BE + EC = 3 + 6 = 9，
∴ AB = 9。
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF} = \frac{3}{2}$，
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF}$。
又∵ ∠B = ∠C = 90°，
∴ △ABE ∽ △ECF。
解析
【分析】
要证明△ABE∽△ECF，可选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理。首先利用正方形的性质得到∠B=∠C=90°、AB=BC，结合已知线段长度先求出BC的长度，即可得到AB的长度，再分别计算两组对应边的比值，验证比值相等后，结合夹角相等的条件即可完成相似的证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B = ∠C = 90°，AB = BC。
∵ BC = BE + EC = 3 + 6 = 9，
∴ AB = 9。
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF} = \frac{3}{2}$，
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF}$。
又
∵ ∠B = ∠C = 90°，
∴ △ABE ∽ △ECF。
【答案】
△ABE∽△ECF，证明如上。
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题时需先利用正方形的性质得到角和边的相关条件，再通过计算对应边的比值，结合两边成比例且夹角相等的判定定理即可证明，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要证明△ABE∽△ECF，可选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理。首先利用正方形的性质得到∠B=∠C=90°、AB=BC，结合已知线段长度先求出BC的长度，即可得到AB的长度，再分别计算两组对应边的比值，验证比值相等后，结合夹角相等的条件即可完成相似的证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B = ∠C = 90°，AB = BC。
∵ BC = BE + EC = 3 + 6 = 9，
∴ AB = 9。
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF} = \frac{3}{2}$，
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF}$。
又
∵ ∠B = ∠C = 90°，
∴ △ABE ∽ △ECF。
【答案】
△ABE∽△ECF，证明如上。
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题时需先利用正方形的性质得到角和边的相关条件，再通过计算对应边的比值，结合两边成比例且夹角相等的判定定理即可证明，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
10. 如图10，AB是$\odot O$的直径，$△ ACD$内接于$\odot O$，$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，AB，CD的延长线相交于点E，且$DE=AD$。
(1) 求证：$△ CAD ∽ △ CEA$；
(2) 求$∠ ADC$的度数。
(1) 求证：$△ CAD ∽ △ CEA$；
(2) 求$∠ ADC$的度数。
答案
(1) 证明：
∵ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $∠ CAD = ∠ DAE$。
∵ $DE = AD$，
∴ $∠ DAE = ∠ E$，
∴ $∠ CAD = ∠ E$。
又∵ $∠ ACD = ∠ ECA$（公共角），
∴ $△ CAD ∽ △ CEA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
设$∠ CAD = x$，
由(1)得$∠ CAD = ∠ DAE = ∠ E = x$，
∴ $∠ CAE = ∠ CAD + ∠ DAE = 2x$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ 半圆$\overset{\frown}{ACB}$的度数为$180°$。
∵ 圆周角$∠ DAE$对应$\overset{\frown}{DB}$，
∴ $\overset{\frown}{DB}$的度数为$2∠ DAE = 2x$，
又$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $\overset{\frown}{CD}$的度数也为$2x$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$的度数为$180° - 2x - 2x = 180° - 4x$。
∵ 圆周角$∠ ADC$对应$\overset{\frown}{AC}$，
∴ $∠ ADC = \frac{1}{2} × (180° - 4x) = 90° - 2x$。
在$△ ADE$中，$AD=DE$，
∴ $∠ ADE = 180° - ∠ DAE - ∠ E = 180° - 2x$，
又$∠ ADC + ∠ ADE = 180°$，
∴ $∠ ADC = 180° - (180° - 2x) = 2x$。
联立得：$2x = 90° - 2x$，
解得$x=22.5°$，
∴ $∠ ADC = 2x = 45°$。
答：$∠ ADC$的度数为$45°$。
∵ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $∠ CAD = ∠ DAE$。
∵ $DE = AD$，
∴ $∠ DAE = ∠ E$，
∴ $∠ CAD = ∠ E$。
又∵ $∠ ACD = ∠ ECA$（公共角），
∴ $△ CAD ∽ △ CEA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
设$∠ CAD = x$，
由(1)得$∠ CAD = ∠ DAE = ∠ E = x$，
∴ $∠ CAE = ∠ CAD + ∠ DAE = 2x$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ 半圆$\overset{\frown}{ACB}$的度数为$180°$。
∵ 圆周角$∠ DAE$对应$\overset{\frown}{DB}$，
∴ $\overset{\frown}{DB}$的度数为$2∠ DAE = 2x$，
又$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $\overset{\frown}{CD}$的度数也为$2x$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$的度数为$180° - 2x - 2x = 180° - 4x$。
∵ 圆周角$∠ ADC$对应$\overset{\frown}{AC}$，
∴ $∠ ADC = \frac{1}{2} × (180° - 4x) = 90° - 2x$。
在$△ ADE$中，$AD=DE$，
∴ $∠ ADE = 180° - ∠ DAE - ∠ E = 180° - 2x$，
又$∠ ADC + ∠ ADE = 180°$，
∴ $∠ ADC = 180° - (180° - 2x) = 2x$。
联立得：$2x = 90° - 2x$，
解得$x=22.5°$，
∴ $∠ ADC = 2x = 45°$。
答：$∠ ADC$的度数为$45°$。
解析
【分析】
(1) 要证明△CAD∽△CEA，可使用两角分别相等的相似判定定理。首先根据等弧对应的圆周角相等，由$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$可得∠CAD=∠DAE；再结合DE=AD的等腰三角形等边对等角性质，得到∠DAE=∠E，从而推出∠CAD=∠E，加上两个三角形共有的公共角∠ACD=∠ECA，即可完成相似证明。
(2) 求∠ADC的度数可采用方程思想求解：先设∠CAD=x，结合(1)的结论将相关的角、对应弧的度数都用x表示，再分别从“圆周角等于对应弧度数的一半”和“邻补角和为180°”两个角度表示出∠ADC，联立方程求解x后即可算出∠ADC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $∠ CAD = ∠ DAE$。
∵ $DE = AD$，
∴ $∠ DAE = ∠ E$，
∴ $∠ CAD = ∠ E$。
又
∵ $∠ ACD = ∠ ECA$（公共角），
∴ $△ CAD ∽ △ CEA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
设$∠ CAD = x$，
由(1)得$∠ CAD = ∠ DAE = ∠ E = x$，
∴ $∠ CAE = ∠ CAD + ∠ DAE = 2x$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ 半圆$\overset{\frown}{ACB}$的度数为$180°$。
∵ 圆周角$∠ DAE$对应$\overset{\frown}{DB}$，
∴ $\overset{\frown}{DB}$的度数为$2∠ DAE = 2x$，
又$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $\overset{\frown}{CD}$的度数也为$2x$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$的度数为$180° - 2x - 2x = 180° - 4x$。
∵ 圆周角$∠ ADC$对应$\overset{\frown}{AC}$，
∴ $∠ ADC = \frac{1}{2} × (180° - 4x) = 90° - 2x$。
在$△ ADE$中，$AD=DE$，
∴ $∠ ADE = 180° - ∠ DAE - ∠ E = 180° - 2x$，
又$∠ ADC + ∠ ADE = 180°$，
∴ $∠ ADC = 180° - (180° - 2x) = 2x$。
联立得：$2x = 90° - 2x$，
解得$x=22.5°$，
∴ $∠ ADC = 2x = 45°$。
【答案】
(1) △CAD∽△CEA，证明成立；
(2) $\boxed{45°}$
【知识点】
相似三角形的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型综合题，既考查了基础几何性质的直接应用，也渗透了方程思想，解题的关键是熟练掌握弧与圆周角的对应关系，以及相似、等腰三角形的性质，能有效考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△CAD∽△CEA，可使用两角分别相等的相似判定定理。首先根据等弧对应的圆周角相等，由$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$可得∠CAD=∠DAE；再结合DE=AD的等腰三角形等边对等角性质，得到∠DAE=∠E，从而推出∠CAD=∠E，加上两个三角形共有的公共角∠ACD=∠ECA，即可完成相似证明。
(2) 求∠ADC的度数可采用方程思想求解：先设∠CAD=x，结合(1)的结论将相关的角、对应弧的度数都用x表示，再分别从“圆周角等于对应弧度数的一半”和“邻补角和为180°”两个角度表示出∠ADC，联立方程求解x后即可算出∠ADC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $∠ CAD = ∠ DAE$。
∵ $DE = AD$，
∴ $∠ DAE = ∠ E$，
∴ $∠ CAD = ∠ E$。
又
∵ $∠ ACD = ∠ ECA$（公共角），
∴ $△ CAD ∽ △ CEA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
设$∠ CAD = x$，
由(1)得$∠ CAD = ∠ DAE = ∠ E = x$，
∴ $∠ CAE = ∠ CAD + ∠ DAE = 2x$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ 半圆$\overset{\frown}{ACB}$的度数为$180°$。
∵ 圆周角$∠ DAE$对应$\overset{\frown}{DB}$，
∴ $\overset{\frown}{DB}$的度数为$2∠ DAE = 2x$，
又$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $\overset{\frown}{CD}$的度数也为$2x$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$的度数为$180° - 2x - 2x = 180° - 4x$。
∵ 圆周角$∠ ADC$对应$\overset{\frown}{AC}$，
∴ $∠ ADC = \frac{1}{2} × (180° - 4x) = 90° - 2x$。
在$△ ADE$中，$AD=DE$，
∴ $∠ ADE = 180° - ∠ DAE - ∠ E = 180° - 2x$，
又$∠ ADC + ∠ ADE = 180°$，
∴ $∠ ADC = 180° - (180° - 2x) = 2x$。
联立得：$2x = 90° - 2x$，
解得$x=22.5°$，
∴ $∠ ADC = 2x = 45°$。
【答案】
(1) △CAD∽△CEA，证明成立；
(2) $\boxed{45°}$
【知识点】
相似三角形的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型综合题，既考查了基础几何性质的直接应用，也渗透了方程思想，解题的关键是熟练掌握弧与圆周角的对应关系，以及相似、等腰三角形的性质，能有效考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
