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二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(2025·哈尔滨)桌上倒扣着背面图案相同的7张扑克牌,其中5张红桃,2张黑桃.从中随机抽取1张,则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是.
11.(2025·哈尔滨)桌上倒扣着背面图案相同的7张扑克牌,其中5张红桃,2张黑桃.从中随机抽取1张,则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是.
答案
解：从中随机抽取1张牌，共有7种等可能的结果，其中抽到红桃的结果有5种，
因此抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是$\frac{5}{7}$。
因此抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是$\frac{5}{7}$。
解析
【分析】
本题考查简单随机事件的概率计算，解题思路如下：首先明确该试验属于等可能试验，先统计所有等可能的抽取结果总数，再统计抽到红桃的结果数，最后根据概率的计算公式，用抽到红桃的结果数除以总结果数，就能得到所求概率。
【解析】
∵桌上共有7张背面图案相同的扑克牌，随机抽取1张时，共有7种等可能的结果，其中抽到红桃的结果有5种，
∴抽取的扑克牌花色是红桃的概率为$\frac{5}{7}$。
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
概率公式；等可能事件
【点评】
本题是概率类基础题型，核心考查对简单概率计算方法的运用，只要准确梳理两类结果数即可快速求解，属于得分率很高的基础题。
【难度系数】
0.9
本题考查简单随机事件的概率计算，解题思路如下：首先明确该试验属于等可能试验，先统计所有等可能的抽取结果总数，再统计抽到红桃的结果数，最后根据概率的计算公式，用抽到红桃的结果数除以总结果数，就能得到所求概率。
【解析】
∵桌上共有7张背面图案相同的扑克牌，随机抽取1张时，共有7种等可能的结果，其中抽到红桃的结果有5种，
∴抽取的扑克牌花色是红桃的概率为$\frac{5}{7}$。
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
概率公式；等可能事件
【点评】
本题是概率类基础题型，核心考查对简单概率计算方法的运用，只要准确梳理两类结果数即可快速求解，属于得分率很高的基础题。
【难度系数】
0.9
12.(2025·浙江)现有六张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片，其中标有数字1,4,5的卡片在甲手中，标有数字2,3,6的卡片在乙手中. 两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是.
答案
解：两人各随机出一张卡片，所有等可能出现的结果如下：
(1,2)、(1,3)、(1,6)、(4,2)、(4,3)、(4,6)、(5,2)、(5,3)、(5,6)
总共有9种等可能的结果，其中甲出的卡片数字比乙大的结果为(4,2)、(4,3)、(5,2)、(5,3)，共4种。
∴甲出的卡片数字比乙大的概率为$\frac{4}{9}$。
(1,2)、(1,3)、(1,6)、(4,2)、(4,3)、(4,6)、(5,2)、(5,3)、(5,6)
总共有9种等可能的结果，其中甲出的卡片数字比乙大的结果为(4,2)、(4,3)、(5,2)、(5,3)，共4种。
∴甲出的卡片数字比乙大的概率为$\frac{4}{9}$。
解析
【分析】
本题考查古典概型的概率计算，解题思路如下：第一步，先确定所有等可能的基本事件总数：甲手中有3张卡片，乙手中有3张卡片，两人各随机出1张，根据分步计数，总共有3×3=9种等可能的结果；第二步，逐一对比每一组结果中甲、乙卡片的数字，统计出甲的数字大于乙的数字的结果个数；第三步，利用古典概型概率公式“P(事件)=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”，代入数值计算即可得到所求概率。
【解析】
两人各随机出一张卡片，所有等可能出现的结果如下：
(1,2)、(1,3)、(1,6)、(4,2)、(4,3)、(4,6)、(5,2)、(5,3)、(5,6)
总共有9种等可能的结果，其中甲出的卡片数字比乙大的结果为(4,2)、(4,3)、(5,2)、(5,3)，共4种。
根据概率公式可得，甲出的卡片数字比乙大的概率为$\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
列举法求概率、古典概型概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，难度较低，解题的核心是做到不重不漏地列举出所有等可能的事件，再准确筛选出满足条件的事件代入概率公式计算即可。
【难度系数】
0.7
本题考查古典概型的概率计算，解题思路如下：第一步，先确定所有等可能的基本事件总数：甲手中有3张卡片，乙手中有3张卡片，两人各随机出1张，根据分步计数，总共有3×3=9种等可能的结果；第二步，逐一对比每一组结果中甲、乙卡片的数字，统计出甲的数字大于乙的数字的结果个数；第三步，利用古典概型概率公式“P(事件)=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”，代入数值计算即可得到所求概率。
【解析】
两人各随机出一张卡片，所有等可能出现的结果如下：
(1,2)、(1,3)、(1,6)、(4,2)、(4,3)、(4,6)、(5,2)、(5,3)、(5,6)
总共有9种等可能的结果，其中甲出的卡片数字比乙大的结果为(4,2)、(4,3)、(5,2)、(5,3)，共4种。
根据概率公式可得，甲出的卡片数字比乙大的概率为$\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
列举法求概率、古典概型概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，难度较低，解题的核心是做到不重不漏地列举出所有等可能的事件，再准确筛选出满足条件的事件代入概率公式计算即可。
【难度系数】
0.7
13. 在一个不透明的盒子中装有$ a $个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则$ a $的值约为.
答案
解：由大量重复试验后频率稳定于概率，可得摸到白球的概率约为20%。
根据概率公式列方程：
$\frac{6}{a}=20\%$
解得 $a=30$，经检验该结果符合题意。
故答案为：$\boldsymbol{30}$。
根据概率公式列方程：
$\frac{6}{a}=20\%$
解得 $a=30$，经检验该结果符合题意。
故答案为：$\boldsymbol{30}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆频率与概率的关系：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个固定数值附近，这个数值可作为该事件发生概率的估计值。本题中摸到白球的频率稳定在20%，说明摸到白球的概率约为20%。再结合概率计算公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数，本题中摸到白球的概率=白球个数÷球的总个数，将已知的白球数量和概率代入公式，即可列出关于a的方程，解方程就能得到a的值。
【解析】
由大量重复试验后频率稳定于概率的规律，可得摸到白球的概率约为20%。
根据概率公式列方程：
$\frac{6}{a}=20\%$
解方程得：
$a=6÷20\%=30$
经检验，$a=30$是原方程的解，且符合实际题意。
【答案】
$\boldsymbol{30}$
【知识点】
1. 频率估计概率
2. 概率公式
【点评】
本题是基础应用类题目，解题核心是明确大量重复试验下频率的稳定值即为事件发生的概率，再结合概率公式列方程求解即可，掌握相关基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆频率与概率的关系：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个固定数值附近，这个数值可作为该事件发生概率的估计值。本题中摸到白球的频率稳定在20%，说明摸到白球的概率约为20%。再结合概率计算公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数，本题中摸到白球的概率=白球个数÷球的总个数，将已知的白球数量和概率代入公式，即可列出关于a的方程，解方程就能得到a的值。
【解析】
由大量重复试验后频率稳定于概率的规律，可得摸到白球的概率约为20%。
根据概率公式列方程：
$\frac{6}{a}=20\%$
解方程得：
$a=6÷20\%=30$
经检验，$a=30$是原方程的解，且符合实际题意。
【答案】
$\boldsymbol{30}$
【知识点】
1. 频率估计概率
2. 概率公式
【点评】
本题是基础应用类题目，解题核心是明确大量重复试验下频率的稳定值即为事件发生的概率，再结合概率公式列方程求解即可，掌握相关基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
14. 在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个,除颜色外,形状、大小、质地等完全相同.小明通过多次摸球试验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%,则箱子里蓝色球的个数很可能是.
答案
15
解析
【分析】
解题时首先回忆频率与概率的关系：大量重复摸球试验后，某事件发生的频率会稳定在对应的概率附近，因此可以用频率估计对应球被摸到的概率。接下来先计算摸到蓝色球的概率，再用总球数乘以蓝色球的概率就能得到蓝色球的大致个数。
【解析】
∵多次摸球试验后，摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%
∴可估计摸到红球的概率为10%=0.1，摸到黄球的概率为15%=0.15
∴摸到蓝球的概率为：$1 - 0.1 - 0.15 = 0.75$
∵箱子里球的总个数为20
∴蓝色球的个数约为：$20 × 0.75 = 15$
【答案】
15
【知识点】
频率估计概率、概率的计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查频率估计概率的实际应用，解题的关键是明确大量重复试验下频率的稳定值即为概率，再结合概率的意义计算对应数量即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆频率与概率的关系：大量重复摸球试验后，某事件发生的频率会稳定在对应的概率附近，因此可以用频率估计对应球被摸到的概率。接下来先计算摸到蓝色球的概率，再用总球数乘以蓝色球的概率就能得到蓝色球的大致个数。
【解析】
∵多次摸球试验后，摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%
∴可估计摸到红球的概率为10%=0.1，摸到黄球的概率为15%=0.15
∴摸到蓝球的概率为：$1 - 0.1 - 0.15 = 0.75$
∵箱子里球的总个数为20
∴蓝色球的个数约为：$20 × 0.75 = 15$
【答案】
15
【知识点】
频率估计概率、概率的计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查频率估计概率的实际应用，解题的关键是明确大量重复试验下频率的稳定值即为概率，再结合概率的意义计算对应数量即可。
【难度系数】
0.8
15. (2025·成都)从-1,1,2这三个数中任取两个数分别作为a,b的值,则关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0$有实数根的概率为.
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
解析
【分析】
这是一道一元二次方程与概率结合的综合题，解题思路分为三步：第一步，明确是从3个数中有序选取两个数分别作为a、b，用列举法列出所有等可能的取值情况，统计总结果数；第二步，回忆一元二次方程有实根的条件：一是二次项系数a≠0，二是根的判别式Δ=b²-4ac≥0，本题中c=1，因此只需验证b²≥4a即可，逐一筛选出符合条件的结果数；第三步，根据概率公式计算最终概率。
【解析】
1. 列举所有等可能的(a,b)组合：从-1、1、2中任取两个不同的数分别作为a、b，有序抽取共3×2=6种情况，分别为：(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)。
2. 验证方程有实根的条件：一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实根需满足$a≠0$（本题所有a的取值均满足），且判别式$\Delta = b^2-4a ≥ 0$，逐一验证：
当$a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2-4×(-1)=5≥0$，符合；
当$a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2-4×(-1)=8≥0$，符合；
当$a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2-4×1=-3＜0$，不符合；
当$a=1,b=2$时，$\Delta=2^2-4×1=0≥0$，符合；
当$a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2-4×2=-7＜0$，不符合；
当$a=2,b=1$时，$\Delta=1^2-4×2=-7＜0$，不符合。
3. 计算概率：符合条件的情况共3种，因此概率$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；列举法求概率；概率公式
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的性质和概率计算结合考查，解题时需注意a、b是有序取值，不要混淆二者位置，同时牢记一元二次方程的成立前提和根的判别式的应用即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
这是一道一元二次方程与概率结合的综合题，解题思路分为三步：第一步，明确是从3个数中有序选取两个数分别作为a、b，用列举法列出所有等可能的取值情况，统计总结果数；第二步，回忆一元二次方程有实根的条件：一是二次项系数a≠0，二是根的判别式Δ=b²-4ac≥0，本题中c=1，因此只需验证b²≥4a即可，逐一筛选出符合条件的结果数；第三步，根据概率公式计算最终概率。
【解析】
1. 列举所有等可能的(a,b)组合：从-1、1、2中任取两个不同的数分别作为a、b，有序抽取共3×2=6种情况，分别为：(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)。
2. 验证方程有实根的条件：一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实根需满足$a≠0$（本题所有a的取值均满足），且判别式$\Delta = b^2-4a ≥ 0$，逐一验证：
当$a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2-4×(-1)=5≥0$，符合；
当$a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2-4×(-1)=8≥0$，符合；
当$a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2-4×1=-3＜0$，不符合；
当$a=1,b=2$时，$\Delta=2^2-4×1=0≥0$，符合；
当$a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2-4×2=-7＜0$，不符合；
当$a=2,b=1$时，$\Delta=1^2-4×2=-7＜0$，不符合。
3. 计算概率：符合条件的情况共3种，因此概率$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；列举法求概率；概率公式
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的性质和概率计算结合考查，解题时需注意a、b是有序取值，不要混淆二者位置，同时牢记一元二次方程的成立前提和根的判别式的应用即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.(8分)(2025·江西)校园数学文化节期间,某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全相同的盲盒,分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片,每位参与者只能抽取一个盲盒,盲盒打开即作废.
(1)若随机抽取一个盲盒并打开,恰好装有“数独”卡片的事件是;
A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两名同学参加开盲盒游戏,请用画树状图法或列表法,求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
16.(8分)(2025·江西)校园数学文化节期间,某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全相同的盲盒,分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片,每位参与者只能抽取一个盲盒,盲盒打开即作废.
(1)若随机抽取一个盲盒并打开,恰好装有“数独”卡片的事件是;
A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两名同学参加开盲盒游戏,请用画树状图法或列表法,求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
答案
解：
(1) B
(2) 记写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”的卡片分别为A、B、C、D，列表如下：
| 小贤 \ 小艺 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有2种。
∴ 所求概率为 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(1) B
(2) 记写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”的卡片分别为A、B、C、D，列表如下：
| 小贤 \ 小艺 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有2种。
∴ 所求概率为 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
(1) 先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。随机抽取一个盲盒共有4种等可能的结果，抽到“数独”只是其中一种可能的结果，可能发生也可能不发生，据此即可判断事件类型。
(2) 本题为不放回抽取的概率计算问题，可通过列表法列举出所有等可能的结果，再找出两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
(1) 随机抽取一个盲盒，可能抽到“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”中的任意一种，恰好抽到“数独”是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，故选B。
(2) 记写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”的卡片分别为A、B、C、D，由于盲盒打开即作废，属于不放回抽取，列表如下：
| 小贤 \ 小艺 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有(C,D)、(D,C)共2种。
∴ 所求概率为 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\boxed{B}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{6}}$
【知识点】
1. 事件的分类；2. 列表法求概率
【点评】
本题结合生活中的盲盒游戏场景命题，贴近生活趣味性强，第一问属于基础题，考查对事件分类概念的理解；第二问需要注意抽取为不放回规则，避免出现重复抽取同一盲盒的错误，整体考查的都是概率模块的核心基础知识，是中考常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。随机抽取一个盲盒共有4种等可能的结果，抽到“数独”只是其中一种可能的结果，可能发生也可能不发生，据此即可判断事件类型。
(2) 本题为不放回抽取的概率计算问题，可通过列表法列举出所有等可能的结果，再找出两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
(1) 随机抽取一个盲盒，可能抽到“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”中的任意一种，恰好抽到“数独”是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，故选B。
(2) 记写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”的卡片分别为A、B、C、D，由于盲盒打开即作废，属于不放回抽取，列表如下：
| 小贤 \ 小艺 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有(C,D)、(D,C)共2种。
∴ 所求概率为 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\boxed{B}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{6}}$
【知识点】
1. 事件的分类；2. 列表法求概率
【点评】
本题结合生活中的盲盒游戏场景命题，贴近生活趣味性强，第一问属于基础题，考查对事件分类概念的理解；第二问需要注意抽取为不放回规则，避免出现重复抽取同一盲盒的错误，整体考查的都是概率模块的核心基础知识，是中考常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
