登录
7. (2025·福建)在分别写有-1,1,2的三张卡片中,不放回地随机抽取两张,这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是 ()
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
B
解析
【分析】
本题是不放回抽样的概率求解问题，解题思路清晰可分为三步：第一步，先通过列举法列出所有等可能的抽取结果，注意不放回抽取不会出现重复抽取同一张卡片的情况；第二步，根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），筛选出符合条件的结果；第三步，代入概率公式：随机事件的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数，计算得到最终概率即可。
【解析】
从标有-1、1、2的三张卡片中不放回随机抽取两张，所有等可能的结果有：(-1,1)、(-1,2)、(1,2)，共3种。
其中两张卡片上的数互为相反数的结果只有(-1,1)这1种。
根据概率计算公式可得：
$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的总结果数}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率、相反数的定义、概率计算公式
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查概率的基础计算，解题的关键是准确列举所有结果，避免重复或遗漏，只要掌握相反数的概念和概率的基本计算方法就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题是不放回抽样的概率求解问题，解题思路清晰可分为三步：第一步，先通过列举法列出所有等可能的抽取结果，注意不放回抽取不会出现重复抽取同一张卡片的情况；第二步，根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），筛选出符合条件的结果；第三步，代入概率公式：随机事件的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数，计算得到最终概率即可。
【解析】
从标有-1、1、2的三张卡片中不放回随机抽取两张，所有等可能的结果有：(-1,1)、(-1,2)、(1,2)，共3种。
其中两张卡片上的数互为相反数的结果只有(-1,1)这1种。
根据概率计算公式可得：
$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的总结果数}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率、相反数的定义、概率计算公式
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查概率的基础计算，解题的关键是准确列举所有结果，避免重复或遗漏，只要掌握相反数的概念和概率的基本计算方法就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
8. (2024·河南)豫剧是国家级非物质文化遗产,因其雅俗共赏,深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图2所示,它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,放回洗匀后,再从中随机抽取一张,两次抽取的卡片正面相同的概率为 ()
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{3}$
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
D
解析
【分析】
这是一道有放回抽样的两步概率计算问题，解题思路如下：首先明确三张卡片是等可能抽取的，有放回抽取意味着两次抽取互不影响，每次都有3种等可能的结果；接下来可以通过列表法列举出两次抽取的所有等可能结果，再从中找出两次抽取卡片正面相同的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”计算即可得到答案。
【解析】
将三张卡片分别记为：A（豫剧·花木兰）、B（豫剧·七品芝麻官）、C（豫剧·朝阳沟）。
由于是有放回抽取，第一次抽取有3种等可能结果，第二次抽取同样有3种等可能结果，因此两次抽取的所有等可能结果共有$3 × 3 = 9$种，分别为：(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)。
其中两次抽取的卡片正面相同的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据概率公式可得，两次抽取卡片正面相同的概率为：
$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
D
【知识点】
1. 列表法求概率
2. 概率计算公式
3. 有放回抽样概率
【点评】
本题结合地方特色非物质文化遗产豫剧设置题目，情境新颖贴近生活，属于概率基础题型，主要考查对两步试验概率计算方法的掌握，解题时需注意区分有放回和无放回抽样的差异，避免计算总情况数时出错。
【难度系数】
0.8
这是一道有放回抽样的两步概率计算问题，解题思路如下：首先明确三张卡片是等可能抽取的，有放回抽取意味着两次抽取互不影响，每次都有3种等可能的结果；接下来可以通过列表法列举出两次抽取的所有等可能结果，再从中找出两次抽取卡片正面相同的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”计算即可得到答案。
【解析】
将三张卡片分别记为：A（豫剧·花木兰）、B（豫剧·七品芝麻官）、C（豫剧·朝阳沟）。
由于是有放回抽取，第一次抽取有3种等可能结果，第二次抽取同样有3种等可能结果，因此两次抽取的所有等可能结果共有$3 × 3 = 9$种，分别为：(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)。
其中两次抽取的卡片正面相同的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据概率公式可得，两次抽取卡片正面相同的概率为：
$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
D
【知识点】
1. 列表法求概率
2. 概率计算公式
3. 有放回抽样概率
【点评】
本题结合地方特色非物质文化遗产豫剧设置题目，情境新颖贴近生活，属于概率基础题型，主要考查对两步试验概率计算方法的掌握，解题时需注意区分有放回和无放回抽样的差异，避免计算总情况数时出错。
【难度系数】
0.8
9. 将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中(每个小球上仅标一个汉字),这些小球除所标汉字不同外,其余均相同. 从中随机摸出一个球,放回后再随机摸出一个球,则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是 ()
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{8}$
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{8}$
答案
D
解析
【分析】
本题是有放回的两次摸球概率问题，解题思路如下：首先明确放回摸球时两次摸球的结果互不影响，先通过乘法原理计算出所有等可能的总结果数；再找出能组成“河南”的符合条件的结果数（注意“河”“南”两个字出现的先后顺序有两种情况）；最后代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵是有放回的两次随机摸球，
∴第一次摸球有4种等可能的结果，放回后第二次摸球仍有4种等可能的结果，
∴两次摸球共有$4 × 4 = 16$种等可能的结果。
要使摸到的球上的汉字可以组成“河南”，需两次分别摸到“河”和“南”，共2种情况：①第一次摸到“河”，第二次摸到“南”；②第一次摸到“南”，第二次摸到“河”。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。
【答案】
D
【知识点】
概率公式；放回型试验概率；列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题时需注意区分放回试验和不放回试验的总结果数差异，同时要明确组成指定词语时，汉字出现的顺序可能有多种情况，避免漏算符合条件的结果数。
【难度系数】
0.7
本题是有放回的两次摸球概率问题，解题思路如下：首先明确放回摸球时两次摸球的结果互不影响，先通过乘法原理计算出所有等可能的总结果数；再找出能组成“河南”的符合条件的结果数（注意“河”“南”两个字出现的先后顺序有两种情况）；最后代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵是有放回的两次随机摸球，
∴第一次摸球有4种等可能的结果，放回后第二次摸球仍有4种等可能的结果，
∴两次摸球共有$4 × 4 = 16$种等可能的结果。
要使摸到的球上的汉字可以组成“河南”，需两次分别摸到“河”和“南”，共2种情况：①第一次摸到“河”，第二次摸到“南”；②第一次摸到“南”，第二次摸到“河”。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。
【答案】
D
【知识点】
概率公式；放回型试验概率；列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题时需注意区分放回试验和不放回试验的总结果数差异，同时要明确组成指定词语时，汉字出现的顺序可能有多种情况，避免漏算符合条件的结果数。
【难度系数】
0.7
10. (2025·广东)如图3,在直径BC为$2\sqrt{2}$的圆内有一个圆心角为$90°$的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米,该粒米落在扇形内的概率为 ()
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
D
解析
【分析】
本题属于几何概型概率计算问题，概率等于扇形ABC的面积与整个圆的面积的比值。解题思路如下：首先根据已知的直径求出整个圆的半径，计算圆的面积；再利用等腰直角三角形的性质求出扇形的半径，结合给出的圆心角计算扇形面积；最后用扇形面积除以圆的面积得到最终的概率。
【解析】
1. 计算整个圆的面积：
已知圆的直径$BC=2\sqrt{2}$，因此圆的半径$R=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
根据圆的面积公式可得：$S_{\mathrm{圆}}=π R^2=π×(\sqrt{2})^2=2π$。
2. 计算扇形ABC的面积：
由题意得扇形ABC的圆心角$∠ BAC=90°$，且$AB=AC$，$△ ABC$是等腰直角三角形，斜边$BC=2\sqrt{2}$。
设扇形半径$AB=AC=r$，根据勾股定理：$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2r^2=(2\sqrt{2})^2$，解得$r^2=4$，$r=2$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{n}{360°}π r^2$（$n$为圆心角度数），代入$n=90°$、$r=2$得：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{90°}{360°}×π×2^2=\frac{1}{4}×4π=π$。
3. 计算米粒落在扇形内的概率：
$P=\frac{S_{\mathrm{扇形}}}{S_{\mathrm{圆}}}=\frac{π}{2π}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
几何概型计算，扇形面积计算，圆的面积计算
【点评】
本题结合了几何概率、圆与扇形面积计算的知识点，核心是明确几何概型的概率为对应区域面积的比值，只要正确掌握相关面积公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题属于几何概型概率计算问题，概率等于扇形ABC的面积与整个圆的面积的比值。解题思路如下：首先根据已知的直径求出整个圆的半径，计算圆的面积；再利用等腰直角三角形的性质求出扇形的半径，结合给出的圆心角计算扇形面积；最后用扇形面积除以圆的面积得到最终的概率。
【解析】
1. 计算整个圆的面积：
已知圆的直径$BC=2\sqrt{2}$，因此圆的半径$R=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
根据圆的面积公式可得：$S_{\mathrm{圆}}=π R^2=π×(\sqrt{2})^2=2π$。
2. 计算扇形ABC的面积：
由题意得扇形ABC的圆心角$∠ BAC=90°$，且$AB=AC$，$△ ABC$是等腰直角三角形，斜边$BC=2\sqrt{2}$。
设扇形半径$AB=AC=r$，根据勾股定理：$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2r^2=(2\sqrt{2})^2$，解得$r^2=4$，$r=2$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{n}{360°}π r^2$（$n$为圆心角度数），代入$n=90°$、$r=2$得：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{90°}{360°}×π×2^2=\frac{1}{4}×4π=π$。
3. 计算米粒落在扇形内的概率：
$P=\frac{S_{\mathrm{扇形}}}{S_{\mathrm{圆}}}=\frac{π}{2π}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
几何概型计算，扇形面积计算，圆的面积计算
【点评】
本题结合了几何概率、圆与扇形面积计算的知识点，核心是明确几何概型的概率为对应区域面积的比值，只要正确掌握相关面积公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
