【例1】如图，在$△ ABC$中，$∠ C＝90°$，$AD$平分$∠ CAB$，$DE ⊥ AB$于点$E$，$F$在$AC$上，$BE＝FC$.求证：$BD＝DF$.

|思路分析|
思考1:要证明$BD＝DF$，可考虑这两边所在的哪两个三角形全等？
铺路设桥
思考2:这两个三角形中已知哪些元素相等？
思考3:如何利用“$AD$平分$∠ CAB$”这个条件证明上面两个三角形全等？
证明:

1. 可考虑证明$\boldsymbol{△ DCF}$和$\boldsymbol{△ DEB}$全等。
2. 已知$BE=FC$，$∠ C=∠ DEB=90°$。
3. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DC=DE$，结合已有的两组相等条件，即可通过SAS证明$△ DCF ≌ △ DEB$。
证明:
∵ $AD$平分$∠ CAB$，$DE ⊥ AB$，$∠ C=90°$，
∴ $DC=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$△ DCF$和$△ DEB$中，
$\begin{cases} DC=DE \\ ∠ C=∠ DEB=90° \\ FC=BE \end{cases}$
∴ $△ DCF ≌ △ DEB$（SAS），
∴ $BD=DF$。

1. 如图，在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$BD$ 是 $∠ ABC$ 的平分线.若 $AC=6\ \mathrm{cm}$，$AD:CD=2:1$，则点 $D$ 到 $AB$ 的距离是（）

A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$

1. A

2.如图，点 P 为∠AOB 的平分线 OD 上一点，且 OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为点 M，N.求证：PM＝PN.

2. 证明:如图.
因为 OD 平分∠AOB,所以∠1=∠2.
在△OBD 和△OAD 中,
$\begin{cases} OB=OA, \\ ∠1=∠2, \\ OD=OD, \end{cases}$
所以△OBD≌△OAD(SAS).
所以∠3=∠4,
所以 DO 是∠ADB 的平分线.
又因为 PM⊥BD,PN⊥AD,
所以 PM=PN.

【例2】如图,点D为锐角$∠ABC$内一点,点M在BA上,点N在BC上,且$DM=DN$,$∠BMD+∠BND=180°$.求证:BD平分$∠ABC$.
证明:

|一题多变|
（交换条件和结论）例2中把条件“$∠BMD+∠BND=180°$”和结论“BD平分$∠ABC$”互换后,再进行证明.
【规律方法】
证明角的平分线的“两种方法”
(1)定义法:应用角的平分线的定义.
(2)定理法:应用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定.判定角的平分线时,需要满足两个条件:“垂直”和“相等”.

【例2】证明:如图,过点 D 分别作 AB,BC 的垂线,垂足分别为 E,F.
因为∠BMD+∠BND=180°,∠BMD+∠EMD=180°,所以∠EMD=∠BND.
在△DEM 和△DFN 中,
$\begin{cases} ∠EMD=∠FND, \\ ∠DEM=∠DFN=90°, \\ DM=DN, \end{cases}$
所以△DEM≌△DFN(AAS).
所以 DE=DF,
所以 BD 平分∠ABC.
一题多变
证明:过点 D 分别作 AB,BC 的垂线,垂足分别为 E,F(图略).
因为 BD 平分∠ABC,
所以 DE=DF.
在Rt△DEM 和Rt△DFN 中,$\begin{cases} DM=DN, \\ DE=DF, \end{cases}$
所以Rt△DEM≌Rt△DFN(HL).
所以∠EMD=∠FND.
又因为∠BMD+∠EMD=180°,
所以∠BMD+∠BND=180°.