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16. 如图14,在一个圆形零件的设计图纸中,AB,CD是过圆心O的两条支撑杆,连接边缘的金属杆DE垂直支撑杆AB于点F,为加固扇形BOC区域,强化杆BC与金属杆DE交于点G.
(1)若金属杆$DE=16$,$BF=4$,求该圆形零件的直径.
(2)若调整参数使$DG=CG$,记该圆形零件的面积为$S$,求$\frac{S_{扇形BOC}}{S}$的值.
(1)若金属杆$DE=16$,$BF=4$,求该圆形零件的直径.
(2)若调整参数使$DG=CG$,记该圆形零件的面积为$S$,求$\frac{S_{扇形BOC}}{S}$的值.
答案
16. (1)设圆形零件的半径为$r$,
∵$AB⊥DE$,AB为直径,
∴$DF=EF=\frac{1}{2}DE=8$,$OF=OB-BF=r-4$. 在$\mathrm{Rt}△ DOF$中,$OF^2+DF^2=OD^2$,
∴$(r-4)^2+8^2=r^2$,解得$r=10$.
∴$2r=20$. 因此,该圆形零件的直径为 20 cm
(2)
∵$DG=CG$,
∴$∠DCB=∠D$. 在$\odot O$中,$∠DCB=\frac{1}{2}∠BOD$,
∴$∠D=\frac{1}{2}∠BOD$.
∵$AB⊥DE$,
∴$∠DFO=90°$.
∴$∠D+∠BOD=90°$. 解得$∠BOD=60°$.
∴$∠BOC=180°-60°=120°$.
∵$\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$,
∴$\frac{S_{扇形BOC}}{S}=\frac{1}{3}$
解析
【分析】
(1) 求解圆形零件直径的核心是先求半径：已知AB垂直DE且AB过圆心，可先通过垂径定理得到DE的一半长度，设半径为r，用r表示出Rt△DOF的各边长度，再利用勾股定理列方程求解半径，即可得到直径。
(2) 求扇形与圆的面积比，本质是求扇形圆心角占周角的比例：先由DG=CG得到等角，结合圆周角定理推出∠D与∠BOD的数量关系，再利用AB⊥DE得到的直角三角形两锐角互余求出∠BOD的度数，进而得到∠BOC的度数，最终计算面积比值。
【解析】
(1) 设圆形零件的半径为$ r $。
∵ $ AB ⊥ DE $，AB为过圆心的直径，
∴ 由垂径定理得$ DF = EF = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2} × 16 = 8 $，且$ OF = OB - BF = r - 4 $。
在$ \mathrm{Rt}△ DOF $中，根据勾股定理有$ OF^2 + DF^2 = OD^2 $，
代入得：$ (r - 4)^2 + 8^2 = r^2 $，
展开化简得：$ -8r + 80 = 0 $，解得$ r = 10 $。
∴ 直径为$ 2r = 20 $。
(2)
∵ $ DG = CG $，
∴ $ ∠ DCB = ∠ D $。
∵ 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即$ ∠ DCB = \frac{1}{2}∠ BOD $，
∴ $ ∠ D = \frac{1}{2}∠ BOD $。
∵ $ AB ⊥ DE $，
∴ $ ∠ DFO = 90° $，
在$ \mathrm{Rt}△ DOF $中，$ ∠ D + ∠ BOD = 90° $，
代入$ ∠ D = \frac{1}{2}∠ BOD $得：$ \frac{3}{2}∠ BOD = 90° $，解得$ ∠ BOD = 60° $。
∴ $ ∠ BOC = 180° - 60° = 120° $，
∴ $ \frac{S_{扇形BOC}}{S} = \frac{120°}{360°} = \frac{1}{3} $。
【答案】
(1) 该圆形零件的直径为20 cm；
(2) $ \frac{S_{扇形BOC}}{S} $的值为$ \frac{1}{3} $
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆周角定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质及基础几何推导能力，第一问是圆中长度计算的常见题型，结合垂径定理与勾股定理用方程思想求解即可；第二问需要结合等腰三角形性质、圆周角定理推导圆心角度数，进而得到面积比值，解题的关键是熟练掌握圆的基础性质。
【难度系数】
0.7
(1) 求解圆形零件直径的核心是先求半径：已知AB垂直DE且AB过圆心，可先通过垂径定理得到DE的一半长度，设半径为r，用r表示出Rt△DOF的各边长度，再利用勾股定理列方程求解半径，即可得到直径。
(2) 求扇形与圆的面积比，本质是求扇形圆心角占周角的比例：先由DG=CG得到等角，结合圆周角定理推出∠D与∠BOD的数量关系，再利用AB⊥DE得到的直角三角形两锐角互余求出∠BOD的度数，进而得到∠BOC的度数，最终计算面积比值。
【解析】
(1) 设圆形零件的半径为$ r $。
∵ $ AB ⊥ DE $，AB为过圆心的直径，
∴ 由垂径定理得$ DF = EF = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2} × 16 = 8 $，且$ OF = OB - BF = r - 4 $。
在$ \mathrm{Rt}△ DOF $中，根据勾股定理有$ OF^2 + DF^2 = OD^2 $，
代入得：$ (r - 4)^2 + 8^2 = r^2 $，
展开化简得：$ -8r + 80 = 0 $，解得$ r = 10 $。
∴ 直径为$ 2r = 20 $。
(2)
∵ $ DG = CG $，
∴ $ ∠ DCB = ∠ D $。
∵ 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即$ ∠ DCB = \frac{1}{2}∠ BOD $，
∴ $ ∠ D = \frac{1}{2}∠ BOD $。
∵ $ AB ⊥ DE $，
∴ $ ∠ DFO = 90° $，
在$ \mathrm{Rt}△ DOF $中，$ ∠ D + ∠ BOD = 90° $，
代入$ ∠ D = \frac{1}{2}∠ BOD $得：$ \frac{3}{2}∠ BOD = 90° $，解得$ ∠ BOD = 60° $。
∴ $ ∠ BOC = 180° - 60° = 120° $，
∴ $ \frac{S_{扇形BOC}}{S} = \frac{120°}{360°} = \frac{1}{3} $。
【答案】
(1) 该圆形零件的直径为20 cm；
(2) $ \frac{S_{扇形BOC}}{S} $的值为$ \frac{1}{3} $
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆周角定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质及基础几何推导能力，第一问是圆中长度计算的常见题型，结合垂径定理与勾股定理用方程思想求解即可；第二问需要结合等腰三角形性质、圆周角定理推导圆心角度数，进而得到面积比值，解题的关键是熟练掌握圆的基础性质。
【难度系数】
0.7
17. 圆形拱门屏风是我国古代家庭中一种装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味.
图15是一款拱门的示意图，其中C为AB的中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5 m，拱门最下端AB=1.8 m.
(1)求拱门最高点D到地面的距离.
(2)现需要给房间内搬进一个长和宽为2 m，高为1.2 m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5 m，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门.（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{1.76} \approx 1.327$）
图15是一款拱门的示意图，其中C为AB的中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5 m，拱门最下端AB=1.8 m.
(1)求拱门最高点D到地面的距离.
(2)现需要给房间内搬进一个长和宽为2 m，高为1.2 m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5 m，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门.（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{1.76} \approx 1.327$）
答案
17. (1)如答图24,连接AO.
∵$CD⊥AB$,CD 经过圆心O,
∴$AC=CB=0.9\ \mathrm{m}$.
∴$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{1.5^2-0.9^2}=1.2(\mathrm{m})$.
∴$CD=OD+OC=1.5+1.2=2.7(\mathrm{m})$,
∴拱门最高点 D 到地面的距离为 2.7 m
(2)如答图25,
∵工人抬桌高度为 0.5 m,桌子高为 1.2 m,
∴设 $CP=0.5\ \mathrm{m}$,$QP=1.2\ \mathrm{m}$. 过点 P 作 $EF⊥CD$,过点 Q 作 $MN⊥CD$,连接 OE,OM. 在 $\mathrm{Rt}△ OEP$ 中,$EP=\sqrt{OE^2-PO^2}=\sqrt{1.5^2-(1.2-0.5)^2}=\sqrt{1.76}≈1.327$,$2EP≈2.654＞2$. 在 $\mathrm{Rt}△ OMQ$ 中,$QM=\sqrt{OM^2-OQ^2}=\sqrt{1.5^2-[1.2-(1.2-0.5)]^2}=\sqrt{2}≈1.414$,$2QM≈2×1.414=2.828＞2$.
∵桌子从底部到顶部所有高度对应的拱门宽度都大于 2 m,
∴搬运该桌子时能够通过拱门
解析
【分析】
(1) 要求最高点D到地面AB的距离，即求CD的长度。已知CD过圆心且C是AB中点，根据垂径定理可得CD⊥AB，连接半径OA，先在Rt△OAC中用勾股定理求出OC的长度，再结合OD是半径，通过CD=OD+OC即可求出结果。
(2) 判断桌子能否通过，需要分别求出桌子底部、顶部对应高度位置的拱门弦长：工人抬桌高度为0.5m，即桌子底部距离地面0.5m；桌子高1.2m，即桌子顶部距离地面0.5+1.2=1.7m。分别计算这两个高度处拱门的弦长，若两个弦长都大于桌子的宽度2m则可以通过，否则不能通过，计算弦长时同样运用垂径定理和勾股定理求解。
【解析】
(1) 连接AO，
∵CD过圆心O，C为AB的中点，
∴CD⊥AB，$AC=CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1.8=0.9\ \mathrm{m}$，
在Rt△OAC中，OA=1.5m，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{1.5^2-0.9^2}=1.2\ \mathrm{m}$，
∴$CD=OD+OC=1.5+1.2=2.7\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意可知，桌子底部距离地面高度为0.5m，桌子顶部距离地面高度为0.5+1.2=1.7m，
设CP=0.5m，QP=1.2m，过点P作EF⊥CD交圆于E、F，过点Q作MN⊥CD交圆于M、N，连接OE、OM，
在Rt△OEP中，$OP=OC-CP=1.2-0.5=0.7\ \mathrm{m}$，OE=1.5m，
由勾股定理得：$EP=\sqrt{OE^2-OP^2}=\sqrt{1.5^2-0.7^2}=\sqrt{1.76}≈1.327\ \mathrm{m}$，
∴此时拱门宽度$EF=2EP≈2×1.327=2.654\ \mathrm{m}＞2\ \mathrm{m}$；
在Rt△OMQ中，$OQ=CQ-OC=(0.5+1.2)-1.2=0.5\ \mathrm{m}$，OM=1.5m，
由勾股定理得：$QM=\sqrt{OM^2-OQ^2}=\sqrt{1.5^2-0.5^2}=\sqrt{2}≈1.414\ \mathrm{m}$，
∴此时拱门宽度$MN=2QM≈2×1.414=2.828\ \mathrm{m}＞2\ \mathrm{m}$；
∵桌子从底部到顶部所有高度对应的拱门宽度都大于2m，
∴搬运该桌子时能够通过拱门。
【答案】
(1) 拱门最高点D到地面的距离为$\boldsymbol{2.7\ \mathrm{m}}$；
(2) 搬运该桌子时能够通过拱门。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弦长计算
【点评】
本题以生活中的拱门为背景，将实际问题转化为圆的几何计算问题，既考查了圆的基本性质的运用，也体现了数学知识在实际生活中的应用价值，解题的关键是找准不同高度对应的弦的位置，结合垂径定理和勾股定理求解弦长。
【难度系数】
0.7
(1) 要求最高点D到地面AB的距离，即求CD的长度。已知CD过圆心且C是AB中点，根据垂径定理可得CD⊥AB，连接半径OA，先在Rt△OAC中用勾股定理求出OC的长度，再结合OD是半径，通过CD=OD+OC即可求出结果。
(2) 判断桌子能否通过，需要分别求出桌子底部、顶部对应高度位置的拱门弦长：工人抬桌高度为0.5m，即桌子底部距离地面0.5m；桌子高1.2m，即桌子顶部距离地面0.5+1.2=1.7m。分别计算这两个高度处拱门的弦长，若两个弦长都大于桌子的宽度2m则可以通过，否则不能通过，计算弦长时同样运用垂径定理和勾股定理求解。
【解析】
(1) 连接AO，
∵CD过圆心O，C为AB的中点，
∴CD⊥AB，$AC=CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1.8=0.9\ \mathrm{m}$，
在Rt△OAC中，OA=1.5m，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{1.5^2-0.9^2}=1.2\ \mathrm{m}$，
∴$CD=OD+OC=1.5+1.2=2.7\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意可知，桌子底部距离地面高度为0.5m，桌子顶部距离地面高度为0.5+1.2=1.7m，
设CP=0.5m，QP=1.2m，过点P作EF⊥CD交圆于E、F，过点Q作MN⊥CD交圆于M、N，连接OE、OM，
在Rt△OEP中，$OP=OC-CP=1.2-0.5=0.7\ \mathrm{m}$，OE=1.5m，
由勾股定理得：$EP=\sqrt{OE^2-OP^2}=\sqrt{1.5^2-0.7^2}=\sqrt{1.76}≈1.327\ \mathrm{m}$，
∴此时拱门宽度$EF=2EP≈2×1.327=2.654\ \mathrm{m}＞2\ \mathrm{m}$；
在Rt△OMQ中，$OQ=CQ-OC=(0.5+1.2)-1.2=0.5\ \mathrm{m}$，OM=1.5m，
由勾股定理得：$QM=\sqrt{OM^2-OQ^2}=\sqrt{1.5^2-0.5^2}=\sqrt{2}≈1.414\ \mathrm{m}$，
∴此时拱门宽度$MN=2QM≈2×1.414=2.828\ \mathrm{m}＞2\ \mathrm{m}$；
∵桌子从底部到顶部所有高度对应的拱门宽度都大于2m，
∴搬运该桌子时能够通过拱门。
【答案】
(1) 拱门最高点D到地面的距离为$\boldsymbol{2.7\ \mathrm{m}}$；
(2) 搬运该桌子时能够通过拱门。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弦长计算
【点评】
本题以生活中的拱门为背景，将实际问题转化为圆的几何计算问题，既考查了圆的基本性质的运用，也体现了数学知识在实际生活中的应用价值，解题的关键是找准不同高度对应的弦的位置，结合垂径定理和勾股定理求解弦长。
【难度系数】
0.7
