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10. 如图7，AB是$\odot O$的弦，点C是优弧$\overset{\frown}{AB}$上的动点（C不与A，B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点。若$\odot O$的半径是3，则MH的最大值是（
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
10. A
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直关系入手，可得△CHB为直角三角形，结合M是BC中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质，可推出MH与BC的数量关系为MH=½BC，因此求MH的最大值可转化为求圆中弦BC的最大值；再根据圆的性质，圆内最长的弦为直径，计算出BC的最大值后代入即可得到MH的最大值。
【解析】
解：
∵CH⊥AB，垂足为H，
∴∠CHB=90°，△CHB是直角三角形。
又
∵点M是BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得：
$MH=\frac{1}{2}BC$。
已知⊙O的半径为3，因此⊙O的直径为$2×3=6$。
∵圆中最长的弦为直径，
∴BC的最大值为6，
则MH的最大值为$\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，圆的弦的性质
【点评】
本题考查了直角三角形和圆的基础性质的综合应用，解题核心是利用转化思想，将求线段MH的最值转化为求圆中弦的最值，难度不大，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直关系入手，可得△CHB为直角三角形，结合M是BC中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质，可推出MH与BC的数量关系为MH=½BC，因此求MH的最大值可转化为求圆中弦BC的最大值；再根据圆的性质，圆内最长的弦为直径，计算出BC的最大值后代入即可得到MH的最大值。
【解析】
解：
∵CH⊥AB，垂足为H，
∴∠CHB=90°，△CHB是直角三角形。
又
∵点M是BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得：
$MH=\frac{1}{2}BC$。
已知⊙O的半径为3，因此⊙O的直径为$2×3=6$。
∵圆中最长的弦为直径，
∴BC的最大值为6，
则MH的最大值为$\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，圆的弦的性质
【点评】
本题考查了直角三角形和圆的基础性质的综合应用，解题核心是利用转化思想，将求线段MH的最值转化为求圆中弦的最值，难度不大，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
11. 如图8，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢.图9是其示意图，点O是圆心，半径r为15 m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB=120°，则$\overset{\frown}{AB}$的长为
10π
m.(结果保留π)答案
11. 10π
解析
【分析】
本题要求劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，属于弧长计算类问题。解题时首先回忆弧长计算公式，明确公式需要的两个条件：弧所对的圆心角度数$n$、所在圆的半径$r$，从题目中提取到这两个已知量后，直接代入公式计算即可。
【解析】
弧长计算公式为$\boldsymbol{l=\frac{nπ r}{180}}$（其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为圆的半径）。
由题意可知，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角$n=120°$，圆的半径$r=15\ \mathrm{m}$，将数值代入公式：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{120× π × 15}{180}=10π\ (\mathrm{m})$
【答案】
$10π$
【知识点】
弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查弧长公式的直接应用，解题关键是熟记弧长公式，准确匹配已知条件代入计算，同时注意题目对结果的保留要求即可。
【难度系数】
0.9
本题要求劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，属于弧长计算类问题。解题时首先回忆弧长计算公式，明确公式需要的两个条件：弧所对的圆心角度数$n$、所在圆的半径$r$，从题目中提取到这两个已知量后，直接代入公式计算即可。
【解析】
弧长计算公式为$\boldsymbol{l=\frac{nπ r}{180}}$（其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为圆的半径）。
由题意可知，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角$n=120°$，圆的半径$r=15\ \mathrm{m}$，将数值代入公式：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{120× π × 15}{180}=10π\ (\mathrm{m})$
【答案】
$10π$
【知识点】
弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查弧长公式的直接应用，解题关键是熟记弧长公式，准确匹配已知条件代入计算，同时注意题目对结果的保留要求即可。
【难度系数】
0.9
12. 如图10，半径为5的扇形AOB中，$∠ AOB=90°$，C是$\overset{\frown}{AB}$上的一点，$CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，垂足分别为D，E，若$CD=CE$，则图中阴影部分的面积为
$\dfrac{25π}{8}$
.（结果保留$π$）答案
12. $\dfrac{25π}{8}$
解析
【分析】
首先根据已知的垂直关系和∠AOB=90°，可判断四边形ODCE是矩形；再结合CD=CE，可推出该矩形是正方形，进而得到OC平分∠AOB，即∠AOC=∠BOC=45°；最后利用割补法，将不规则的阴影部分转化为圆心角为45°的规则扇形，代入扇形面积公式即可求出阴影面积。
【解析】
连接OC，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，∠AOB=90°，
∴四边形ODCE有三个内角为直角，符合矩形的判定条件，即四边形ODCE是矩形。
又
∵CD=CE，即矩形的一组邻边相等，
∴矩形ODCE是正方形，因此正方形的对角线OC平分∠AOB，可得∠AOC=∠BOC=45°。
通过割补法可发现，阴影部分的面积与圆心角为45°、半径为5的扇形面积相等。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=45，r=5：
$S_{阴影}=\frac{45π × 5^2}{360}=\frac{25π}{8}$
【答案】
$\dfrac{25π}{8}$
【知识点】
扇形面积计算，正方形的判定与性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题考查了特殊四边形的判定和不规则图形面积的计算，解题核心是利用割补法将不规则阴影转化为规则的扇形，体现了转化的数学思想，掌握常见的图形变换和面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的垂直关系和∠AOB=90°，可判断四边形ODCE是矩形；再结合CD=CE，可推出该矩形是正方形，进而得到OC平分∠AOB，即∠AOC=∠BOC=45°；最后利用割补法，将不规则的阴影部分转化为圆心角为45°的规则扇形，代入扇形面积公式即可求出阴影面积。
【解析】
连接OC，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，∠AOB=90°，
∴四边形ODCE有三个内角为直角，符合矩形的判定条件，即四边形ODCE是矩形。
又
∵CD=CE，即矩形的一组邻边相等，
∴矩形ODCE是正方形，因此正方形的对角线OC平分∠AOB，可得∠AOC=∠BOC=45°。
通过割补法可发现，阴影部分的面积与圆心角为45°、半径为5的扇形面积相等。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=45，r=5：
$S_{阴影}=\frac{45π × 5^2}{360}=\frac{25π}{8}$
【答案】
$\dfrac{25π}{8}$
【知识点】
扇形面积计算，正方形的判定与性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题考查了特殊四边形的判定和不规则图形面积的计算，解题核心是利用割补法将不规则阴影转化为规则的扇形，体现了转化的数学思想，掌握常见的图形变换和面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
13. 如图11，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB=20 cm，底面直径BC=12 cm，球的最高点到瓶底面的距离为32 cm，则球的半径为
7.5
cm.(玻璃瓶厚度忽略不计)答案
13. 7.5
解析
【分析】
本题属于圆与勾股定理结合的实际应用类题型，解题时可按照以下思路推导：①先设球的半径为r cm，将实际场景转化为几何模型：瓶口边缘可看作圆的一条弦，弦长的一半等于玻璃瓶底面半径6cm；②推导球心到这条弦所在平面的垂直距离：已知球的最高点到瓶底距离为32cm，因此球心到瓶底的距离为(32 - r)cm，结合瓶高20cm，可得球心到瓶口平面的垂直距离为(32 - r) - 20 = (12 - r)cm；③根据垂径定理，圆的半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理列方程即可求解r。
【解析】
设球的半径为$ r $ cm。
由题意可知：
1. 球的最高点到瓶底的距离为32 cm，因此球心到瓶底的距离为$ (32 - r) $ cm；
2. 瓶高$ AB=20 $ cm，即瓶口所在平面到瓶底的距离为20 cm，因此球心到瓶口平面的垂直距离为$ (32 - r) - 20 = (12 - r) $ cm；
3. 玻璃瓶底面直径$ BC=12 $ cm，因此瓶口半径为$ 12÷2=6 $ cm，即瓶口与球面的接触点到瓶中轴线的水平距离为6 cm。
根据圆的性质，球的半径、接触点到中轴线的水平距离、球心到瓶口平面的垂直距离构成直角三角形，由勾股定理得：
$6^2 + (12 - r)^2 = r^2$
展开计算：
$36 + 144 - 24r + r^2 = r^2$
消去$ r^2 $后移项得：
$24r = 180$
解得：
$r = 7.5$
【答案】
7.5
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题考查几何知识在实际场景中的应用，解题核心是将实物模型转化为熟悉的几何图形，找到各线段长度的数量关系，结合方程思想求解，能够有效考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
本题属于圆与勾股定理结合的实际应用类题型，解题时可按照以下思路推导：①先设球的半径为r cm，将实际场景转化为几何模型：瓶口边缘可看作圆的一条弦，弦长的一半等于玻璃瓶底面半径6cm；②推导球心到这条弦所在平面的垂直距离：已知球的最高点到瓶底距离为32cm，因此球心到瓶底的距离为(32 - r)cm，结合瓶高20cm，可得球心到瓶口平面的垂直距离为(32 - r) - 20 = (12 - r)cm；③根据垂径定理，圆的半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理列方程即可求解r。
【解析】
设球的半径为$ r $ cm。
由题意可知：
1. 球的最高点到瓶底的距离为32 cm，因此球心到瓶底的距离为$ (32 - r) $ cm；
2. 瓶高$ AB=20 $ cm，即瓶口所在平面到瓶底的距离为20 cm，因此球心到瓶口平面的垂直距离为$ (32 - r) - 20 = (12 - r) $ cm；
3. 玻璃瓶底面直径$ BC=12 $ cm，因此瓶口半径为$ 12÷2=6 $ cm，即瓶口与球面的接触点到瓶中轴线的水平距离为6 cm。
根据圆的性质，球的半径、接触点到中轴线的水平距离、球心到瓶口平面的垂直距离构成直角三角形，由勾股定理得：
$6^2 + (12 - r)^2 = r^2$
展开计算：
$36 + 144 - 24r + r^2 = r^2$
消去$ r^2 $后移项得：
$24r = 180$
解得：
$r = 7.5$
【答案】
7.5
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题考查几何知识在实际场景中的应用，解题核心是将实物模型转化为熟悉的几何图形，找到各线段长度的数量关系，结合方程思想求解，能够有效考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
14. 如图12，四边形$OABC_1$是正方形，曲线$C_1C_2C_3C_4C_5···$叫作“正方形的渐开线”，其中$\overset{\frown}{C_{1}C_{2}},\overset{\frown}{C_{2}C_{3}},\overset{\frown}{C_{3}C_{4}},\overset{\frown}{C_{4}C_{5}},\dots$的圆心依次按$O,A,B,C_1$循环，当$OA=1$时，点$C_{2026}$的坐标是
(2 025,0)
。答案
14. (2 025,0)
解析
【分析】
解决本题首先要明确正方形渐开线的变化规律：1. 弧的圆心按照O、A、B、C₁四个点依次循环，周期为4；2. 每段弧的圆心角均为90°，第k段弧的半径等于k。我们可以先计算点的下标除以4的余数，根据余数判断点$C_{2026}$对应的位置规律，进而求出坐标。
【解析】
解：已知正方形$OABC_1$的边长$OA=1$，渐开线的圆心以O、A、B、$C_1$为一个周期循环，周期为4。
计算2026除以4的余数：$2026 ÷ 4 = 506······2$，即余数为2，说明点$C_{2026}$的位置与下标除以4余2的点位置规律相同：
观察可得，下标除以4余2的点均落在x轴正半轴上，横坐标为下标减1，纵坐标为0。
因此当n=2026时，横坐标为$2026-1=2025$，纵坐标为0，即点$C_{2026}$的坐标为$(2025,0)$。
【答案】
$(2025,0)$
【知识点】
图形规律探究，周期问题，弧的认识
【点评】
本题属于规律探究类常考题型，解题核心是找到点坐标的周期变化规律，结合余数快速定位点的位置，掌握规律探究的常用方法（枚举前几个找共性）是解题的关键。
【难度系数】
0.65
解决本题首先要明确正方形渐开线的变化规律：1. 弧的圆心按照O、A、B、C₁四个点依次循环，周期为4；2. 每段弧的圆心角均为90°，第k段弧的半径等于k。我们可以先计算点的下标除以4的余数，根据余数判断点$C_{2026}$对应的位置规律，进而求出坐标。
【解析】
解：已知正方形$OABC_1$的边长$OA=1$，渐开线的圆心以O、A、B、$C_1$为一个周期循环，周期为4。
计算2026除以4的余数：$2026 ÷ 4 = 506······2$，即余数为2，说明点$C_{2026}$的位置与下标除以4余2的点位置规律相同：
观察可得，下标除以4余2的点均落在x轴正半轴上，横坐标为下标减1，纵坐标为0。
因此当n=2026时，横坐标为$2026-1=2025$，纵坐标为0，即点$C_{2026}$的坐标为$(2025,0)$。
【答案】
$(2025,0)$
【知识点】
图形规律探究，周期问题，弧的认识
【点评】
本题属于规律探究类常考题型，解题核心是找到点坐标的周期变化规律，结合余数快速定位点的位置，掌握规律探究的常用方法（枚举前几个找共性）是解题的关键。
【难度系数】
0.65
三、解答题
15. 如图13，AB是$\odot O$的直径，点D是弦AC的延长线上一点，且$CD=AC$，DB的延长线交$\odot O$于点E. 求证:$CD=CE$.
15. 如图13，AB是$\odot O$的直径，点D是弦AC的延长线上一点，且$CD=AC$，DB的延长线交$\odot O$于点E. 求证:$CD=CE$.
答案
15. 连接BC(图略),
∵AB是$\odot O$的直径,
∴∠ACB=90°.
∴BC⊥AD.又CD=AC,
∴BC是AD的垂直平分线.
∴AB=BD.
∴∠BAD=∠D.
∵∠CEB,∠CAB 所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$,
∴∠CEB=∠CAB.
∴∠CEB=∠D.
∴CE=CD
∵AB是$\odot O$的直径,
∴∠ACB=90°.
∴BC⊥AD.又CD=AC,
∴BC是AD的垂直平分线.
∴AB=BD.
∴∠BAD=∠D.
∵∠CEB,∠CAB 所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$,
∴∠CEB=∠CAB.
∴∠CEB=∠D.
∴CE=CD
解析
【分析】
要证明CD=CE，可通过证明两条线段所对的角相等，即∠D=∠CEB来推导。首先结合AB是⊙O直径的条件，联想到“直径所对的圆周角为直角”，因此优先作辅助线连接BC，可得BC⊥AD；再结合已知CD=AC，可判定BC是AD的垂直平分线，进而推出AB=BD，得到∠BAD=∠D；最后利用同弧所对的圆周角相等，得到∠CEB=∠BAD，经等量代换得到∠CEB=∠D，即可推出CE=CD。
【解析】
证明：连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，即$BC⊥ AD$。
又$\because CD=AC$，
∴BC是AD的垂直平分线，
∴$AB=BD$，
∴$∠ BAD=∠ D$。
∵$∠ CEB$、$∠ CAB$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ CEB=∠ CAB$，
∴$∠ CEB=∠ D$，
∴$CE=CD$。
【答案】
连接BC(图略),
∵AB是$\odot O$的直径,
∴∠ACB=90°.
∴BC⊥AD.又CD=AC,
∴BC是AD的垂直平分线.
∴AB=BD.
∴∠BAD=∠D.
∵∠CEB,∠CAB 所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$,
∴∠CEB=∠CAB.
∴∠CEB=∠D.
∴CE=CD
【知识点】
直径所对圆周角的性质；线段垂直平分线的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合证明题，解题的关键是合理添加辅助线BC，将圆的性质与线段垂直平分线、等腰三角形的判定相结合，通过角的等量代换完成证明，能够有效考察对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明CD=CE，可通过证明两条线段所对的角相等，即∠D=∠CEB来推导。首先结合AB是⊙O直径的条件，联想到“直径所对的圆周角为直角”，因此优先作辅助线连接BC，可得BC⊥AD；再结合已知CD=AC，可判定BC是AD的垂直平分线，进而推出AB=BD，得到∠BAD=∠D；最后利用同弧所对的圆周角相等，得到∠CEB=∠BAD，经等量代换得到∠CEB=∠D，即可推出CE=CD。
【解析】
证明：连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，即$BC⊥ AD$。
又$\because CD=AC$，
∴BC是AD的垂直平分线，
∴$AB=BD$，
∴$∠ BAD=∠ D$。
∵$∠ CEB$、$∠ CAB$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ CEB=∠ CAB$，
∴$∠ CEB=∠ D$，
∴$CE=CD$。
【答案】
连接BC(图略),
∵AB是$\odot O$的直径,
∴∠ACB=90°.
∴BC⊥AD.又CD=AC,
∴BC是AD的垂直平分线.
∴AB=BD.
∴∠BAD=∠D.
∵∠CEB,∠CAB 所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$,
∴∠CEB=∠CAB.
∴∠CEB=∠D.
∴CE=CD
【知识点】
直径所对圆周角的性质；线段垂直平分线的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合证明题，解题的关键是合理添加辅助线BC，将圆的性质与线段垂直平分线、等腰三角形的判定相结合，通过角的等量代换完成证明，能够有效考察对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
