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1. 已知$\odot O$的半径为3，若点P在$\odot O$外，则OP的长可能为(
A.4
B.3
C.2
D.1
A
).A.4
B.3
C.2
D.1
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先回忆点与圆的位置关系判定规则：圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当点在圆外时d＞r。已知⊙O半径为3，点P在圆外，因此OP的长度需要大于3，再逐一比对选项，选出符合取值范围的结果即可。
【解析】
设圆的半径为$ r $，点到圆心的距离为$ d $，点与圆的位置关系判定如下：
1. 点在圆外$\iff d＞r$；
2. 点在圆上$\iff d=r$；
3. 点在圆内$\iff d＜r$。
本题中$ r=3 $，点P在$\odot O$外，因此$ OP＞3 $。
逐一分析选项：
A. $ 4＞3 $，符合要求；
B. $ 3=3 $，对应点在圆上，不符合；
C. $ 2＜3 $，对应点在圆内，不符合；
D. $ 1＜3 $，对应点在圆内，不符合。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查点与圆位置关系的应用，只要熟练掌握不同位置下点到圆心的距离和半径的大小对应关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆点与圆的位置关系判定规则：圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当点在圆外时d＞r。已知⊙O半径为3，点P在圆外，因此OP的长度需要大于3，再逐一比对选项，选出符合取值范围的结果即可。
【解析】
设圆的半径为$ r $，点到圆心的距离为$ d $，点与圆的位置关系判定如下：
1. 点在圆外$\iff d＞r$；
2. 点在圆上$\iff d=r$；
3. 点在圆内$\iff d＜r$。
本题中$ r=3 $，点P在$\odot O$外，因此$ OP＞3 $。
逐一分析选项：
A. $ 4＞3 $，符合要求；
B. $ 3=3 $，对应点在圆上，不符合；
C. $ 2＜3 $，对应点在圆内，不符合；
D. $ 1＜3 $，对应点在圆内，不符合。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查点与圆位置关系的应用，只要熟练掌握不同位置下点到圆心的距离和半径的大小对应关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$\odot O$中，$∠ ABC=50°$，则$∠ AOC$等于（
A.$50°$
B.$80°$
C.$90°$
D.$100°$
D
）。A.$50°$
B.$80°$
C.$90°$
D.$100°$
答案
2. D
解析
【分析】
首先观察题目已知条件，给出了圆周角∠ABC的度数，要求圆心角∠AOC的度数。第一步先判断两个角对应的弧：∠ABC和∠AOC都对应⊙O中的弧AC，此时可以联想到圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此只需用已知的圆周角度数乘2即可求出圆心角的度数。
【解析】
解：
∵在⊙O中，∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍
∴∠AOC = 2∠ABC
又
∵∠ABC = 50°
∴∠AOC = 2×50° = 100°
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确识别同一段弧对应的圆周角和圆心角，熟练掌握定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先观察题目已知条件，给出了圆周角∠ABC的度数，要求圆心角∠AOC的度数。第一步先判断两个角对应的弧：∠ABC和∠AOC都对应⊙O中的弧AC，此时可以联想到圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此只需用已知的圆周角度数乘2即可求出圆心角的度数。
【解析】
解：
∵在⊙O中，∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍
∴∠AOC = 2∠ABC
又
∵∠ABC = 50°
∴∠AOC = 2×50° = 100°
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确识别同一段弧对应的圆周角和圆心角，熟练掌握定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3. 如图,A,B,C是某社区的三栋楼,若在AC中点D处建一个5G基站,其覆盖半径为300 m,则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是(
A.A,B,C都不在
B.只有B
C.只有A,C
D.A,B,C
D
).A.A,B,C都不在
B.只有B
C.只有A,C
D.A,B,C
答案
3. D
解析
【分析】
要判断三栋楼是否在5G基站的覆盖范围内，只需判断A、B、C三点到基站D的距离是否小于等于覆盖半径300m。解题思路如下：第一步，利用线段中点的定义求出AD、CD的长度，先判断A、C是否在覆盖范围内；第二步，结合三角形三边长度用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状；第三步，根据直角三角形斜边中线的性质求出BD的长度，判断B是否在覆盖范围内，最终汇总得出结论。
【解析】
根据题图可知△ABC的三边长为：AB=400m，BC=300m，AC=500m。
1. 计算AD、CD的长度：
∵D是AC的中点，
∴$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×500=250m$，
∵250m＜300m，
∴A、C两点都在覆盖范围内。
2. 判断△ABC的形状：
∵$AB^2+BC^2=400^2+300^2=160000+90000=250000=500^2=AC^2$，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°。
3. 计算BD的长度：
根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴$BD=\frac{1}{2}AC=250m$，
∵250m＜300m，
∴B点也在覆盖范围内。
综上，A、B、C三栋楼都在5G基站的覆盖范围内。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线的性质，线段中点的定义
【点评】
本题结合生活场景考查几何基础知识的应用，解题的核心是明确"点到圆心的距离小于等于半径时，点在圆内"的判断规则，侧重对基础定理的理解和运用，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断三栋楼是否在5G基站的覆盖范围内，只需判断A、B、C三点到基站D的距离是否小于等于覆盖半径300m。解题思路如下：第一步，利用线段中点的定义求出AD、CD的长度，先判断A、C是否在覆盖范围内；第二步，结合三角形三边长度用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状；第三步，根据直角三角形斜边中线的性质求出BD的长度，判断B是否在覆盖范围内，最终汇总得出结论。
【解析】
根据题图可知△ABC的三边长为：AB=400m，BC=300m，AC=500m。
1. 计算AD、CD的长度：
∵D是AC的中点，
∴$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×500=250m$，
∵250m＜300m，
∴A、C两点都在覆盖范围内。
2. 判断△ABC的形状：
∵$AB^2+BC^2=400^2+300^2=160000+90000=250000=500^2=AC^2$，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°。
3. 计算BD的长度：
根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴$BD=\frac{1}{2}AC=250m$，
∵250m＜300m，
∴B点也在覆盖范围内。
综上，A、B、C三栋楼都在5G基站的覆盖范围内。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线的性质，线段中点的定义
【点评】
本题结合生活场景考查几何基础知识的应用，解题的核心是明确"点到圆心的距离小于等于半径时，点在圆内"的判断规则，侧重对基础定理的理解和运用，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 如图，AC，BC为$\odot O$的两条弦，D，G分别为AC，BC的中点，$\odot O$的半径为2. 若$∠ C=45°$，则DG的长为(
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\sqrt{2}$
D
).A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时先观察中点条件：D、G分别为AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到DG是△ABC的中位线，因此DG=½AB，将求DG的问题转化为求弦AB的长度。再结合圆周角∠C=45°，利用圆周角定理求出同弧AB所对的圆心角∠AOB的度数，最后在等腰直角△AOB中用勾股定理求出AB，即可算出DG的长。
【解析】
1. 由D是AC中点，G是BC中点，可知DG是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理得：$DG=\frac{1}{2}AB$。
2. 连接OA、OB，∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ C=2×45°=90°$。
3. 已知⊙O半径为2，故$OA=OB=2$，在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
4. 代入中位线关系得：$DG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是通过中位线完成问题转化，再结合圆的基本性质构造直角三角形求解，能较好地考查学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察中点条件：D、G分别为AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到DG是△ABC的中位线，因此DG=½AB，将求DG的问题转化为求弦AB的长度。再结合圆周角∠C=45°，利用圆周角定理求出同弧AB所对的圆心角∠AOB的度数，最后在等腰直角△AOB中用勾股定理求出AB，即可算出DG的长。
【解析】
1. 由D是AC中点，G是BC中点，可知DG是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理得：$DG=\frac{1}{2}AB$。
2. 连接OA、OB，∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ C=2×45°=90°$。
3. 已知⊙O半径为2，故$OA=OB=2$，在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
4. 代入中位线关系得：$DG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是通过中位线完成问题转化，再结合圆的基本性质构造直角三角形求解，能较好地考查学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 下列说法正确的是(
A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意一点
B.同一平面内，过两点A，B的圆的圆心在一条直线上
C.过三点A，B，C的圆的圆心有且只有一个
D.过四点A，B，C，D的圆不存在
B
).A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意一点
B.同一平面内，过两点A，B的圆的圆心在一条直线上
C.过三点A，B，C的圆的圆心有且只有一个
D.过四点A，B，C，D的圆不存在
答案
5. B
解析
【分析】
解题时要紧扣圆的圆心的性质：圆心到圆上所有点的距离相等，结合线段垂直平分线的性质、确定圆的前提条件逐个判断选项：①判断A选项时，注意圆的半径必须大于0，因此圆心不能与点A重合；②判断B选项时，到两点距离相等的点都在两点连线的垂直平分线上，即可判断圆心的位置特点；③判断C选项时，要注意只有三点不共线时才有唯一的外接圆圆心，共线三点无法确定圆；④判断D选项时，若四点满足共圆条件（如矩形四个顶点），则存在过四点的圆。
【解析】
根据圆的定义：圆是到圆心的距离等于半径（半径＞0）的点的集合，过若干点的圆的圆心到这几个点的距离均相等，据此分析各选项：
A. 过点A的圆的圆心到A的距离需大于0，因此圆心不能为点A本身，不是平面上任意点，该选项错误；
B. 同一平面内，过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离相等，根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此所有符合条件的圆心都在AB的垂直平分线上，即在同一条直线上，该选项正确；
C. 只有当A、B、C三点不共线时，过三点的圆的圆心有且只有一个（是AB、BC两条线段垂直平分线的交点）；若三点共线，不存在同时到三点距离相等的点，即没有过这三点的圆，该选项未说明三点不共线，错误；
D. 当四个点共圆时（例如矩形的四个顶点），存在过这四个点的圆，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
圆的定义；线段垂直平分线的性质；确定圆的条件
【点评】
本题重点考查确定圆的相关性质，解题的关键是明确圆心到圆上各点距离相等的核心特点，注意分析共线点这类特殊情况，避免忽略前提条件导致错选。
【难度系数】
0.7
解题时要紧扣圆的圆心的性质：圆心到圆上所有点的距离相等，结合线段垂直平分线的性质、确定圆的前提条件逐个判断选项：①判断A选项时，注意圆的半径必须大于0，因此圆心不能与点A重合；②判断B选项时，到两点距离相等的点都在两点连线的垂直平分线上，即可判断圆心的位置特点；③判断C选项时，要注意只有三点不共线时才有唯一的外接圆圆心，共线三点无法确定圆；④判断D选项时，若四点满足共圆条件（如矩形四个顶点），则存在过四点的圆。
【解析】
根据圆的定义：圆是到圆心的距离等于半径（半径＞0）的点的集合，过若干点的圆的圆心到这几个点的距离均相等，据此分析各选项：
A. 过点A的圆的圆心到A的距离需大于0，因此圆心不能为点A本身，不是平面上任意点，该选项错误；
B. 同一平面内，过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离相等，根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此所有符合条件的圆心都在AB的垂直平分线上，即在同一条直线上，该选项正确；
C. 只有当A、B、C三点不共线时，过三点的圆的圆心有且只有一个（是AB、BC两条线段垂直平分线的交点）；若三点共线，不存在同时到三点距离相等的点，即没有过这三点的圆，该选项未说明三点不共线，错误；
D. 当四个点共圆时（例如矩形的四个顶点），存在过这四个点的圆，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
圆的定义；线段垂直平分线的性质；确定圆的条件
【点评】
本题重点考查确定圆的相关性质，解题的关键是明确圆心到圆上各点距离相等的核心特点，注意分析共线点这类特殊情况，避免忽略前提条件导致错选。
【难度系数】
0.7
6. 如图4，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得$∠ AOB=120°$，$OA=15\ \mathrm{m}$，$OC=10\ \mathrm{m}$，则种草区域的面积为（$\boldsymbol{}$）。
A.$\dfrac{25π}{3}\ \mathrm{m}^2$
B.$\dfrac{125π}{3}\ \mathrm{m}^2$
C.$\dfrac{250π}{3}\ \mathrm{m}^2$
D.$\dfrac{125}{3}\ \mathrm{m}^2$
A.$\dfrac{25π}{3}\ \mathrm{m}^2$
B.$\dfrac{125π}{3}\ \mathrm{m}^2$
C.$\dfrac{250π}{3}\ \mathrm{m}^2$
D.$\dfrac{125}{3}\ \mathrm{m}^2$
答案
B
解析
【分析】
要求种草区域即阴影部分的面积，观察图形可知阴影是圆心角相同的两个扇形组成的扇环，面积等于大扇形OAB的面积减去小扇形OCD的面积。解题时先回忆扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$（n为圆心角度数，R为扇形半径），分别代入两个扇形的圆心角和半径计算后作差即可。
【解析】
解：种草区域的面积 = 大扇形OAB的面积 - 小扇形OCD的面积
已知$∠ AOB=∠ COD=120°$，$OA=15\mathrm{m}$，$OC=10\mathrm{m}$，代入扇形面积公式：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{120π×15^2}{360}-\frac{120π×10^2}{360}$
$=\frac{1}{3}π×(225-100)$
$=\frac{125π}{3}\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，扇环面积计算
【点评】
本题考查扇形面积公式的实际应用，解题的核心是明确阴影部分的面积为两个同圆心角扇形的面积差，熟记扇形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求种草区域即阴影部分的面积，观察图形可知阴影是圆心角相同的两个扇形组成的扇环，面积等于大扇形OAB的面积减去小扇形OCD的面积。解题时先回忆扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$（n为圆心角度数，R为扇形半径），分别代入两个扇形的圆心角和半径计算后作差即可。
【解析】
解：种草区域的面积 = 大扇形OAB的面积 - 小扇形OCD的面积
已知$∠ AOB=∠ COD=120°$，$OA=15\mathrm{m}$，$OC=10\mathrm{m}$，代入扇形面积公式：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{120π×15^2}{360}-\frac{120π×10^2}{360}$
$=\frac{1}{3}π×(225-100)$
$=\frac{125π}{3}\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，扇环面积计算
【点评】
本题考查扇形面积公式的实际应用，解题的核心是明确阴影部分的面积为两个同圆心角扇形的面积差，熟记扇形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图5，四边形ABCD内接于$\odot O$，连接AC，BD，BD是$\odot O$的直径，$AB=AC$，若$∠ BDC =68°$，则$∠ ABD$的度数为(
A.$34°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$46°$
A
).A.$34°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$46°$
答案
7. A
解析
【分析】
解题可按以下思路推导：首先，回忆圆和三角形的相关性质：1. 同弧所对的圆周角相等；2. 直径所对的圆周角为直角；3. 等腰三角形两底角相等。第一步先利用同弧所对圆周角相等，由已知∠BDC的度数求出∠BAC的度数；第二步结合AB=AC的条件，用等腰三角形内角和计算出∠ABC的度数；第三步利用直径的性质求出Rt△BCD中∠DBC的度数；最后用∠ABC减去∠DBC即可得到∠ABD的度数。
【解析】
1. 由同弧BC所对的圆周角相等，可得：$∠ BAC = ∠ BDC = 68°$。
2. 已知$AB=AC$，即$△ ABC$为等腰三角形，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ABC = ∠ ACB = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = \frac{180° - 68°}{2} = 56°$。
3. 因为BD是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ BCD = 90°$。
4. 在$Rt△ BCD$中，两锐角互余，因此：
$∠ DBC = 90° - ∠ BDC = 90° - 68° = 22°$。
5. 由$∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC$，可得：
$∠ ABD = ∠ ABC - ∠ DBC = 56° - 22° = 34°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础考题，解题的核心是熟练运用圆周角相关性质，结合三角形内角和、直角三角形两锐角互余的规律计算即可，解题时注意找准同弧对应的圆周角，避免角的对应关系出错。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推导：首先，回忆圆和三角形的相关性质：1. 同弧所对的圆周角相等；2. 直径所对的圆周角为直角；3. 等腰三角形两底角相等。第一步先利用同弧所对圆周角相等，由已知∠BDC的度数求出∠BAC的度数；第二步结合AB=AC的条件，用等腰三角形内角和计算出∠ABC的度数；第三步利用直径的性质求出Rt△BCD中∠DBC的度数；最后用∠ABC减去∠DBC即可得到∠ABD的度数。
【解析】
1. 由同弧BC所对的圆周角相等，可得：$∠ BAC = ∠ BDC = 68°$。
2. 已知$AB=AC$，即$△ ABC$为等腰三角形，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ABC = ∠ ACB = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = \frac{180° - 68°}{2} = 56°$。
3. 因为BD是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ BCD = 90°$。
4. 在$Rt△ BCD$中，两锐角互余，因此：
$∠ DBC = 90° - ∠ BDC = 90° - 68° = 22°$。
5. 由$∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC$，可得：
$∠ ABD = ∠ ABC - ∠ DBC = 56° - 22° = 34°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础考题，解题的核心是熟练运用圆周角相关性质，结合三角形内角和、直角三角形两锐角互余的规律计算即可，解题时注意找准同弧对应的圆周角，避免角的对应关系出错。
【难度系数】
0.7
8. 用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于$45°$”时，应先假设(
A.直角三角形的每个锐角都小于$45°$
B.直角三角形有一个锐角大于$45°$
C.直角三角形的每个锐角都大于$45°$
D.直角三角形有一个锐角小于$45°$
A
)。A.直角三角形的每个锐角都小于$45°$
B.直角三角形有一个锐角大于$45°$
C.直角三角形的每个锐角都大于$45°$
D.直角三角形有一个锐角小于$45°$
答案
8. A
解析
【分析】
解答这道题首先要明确反证法的第一步逻辑：反证法需要先假设原命题的结论不成立，也就是原结论的反面成立。接下来我们拆解原命题的结论：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，其中“至少有一个”的否定是“所有、每一个都”，“不小于45°（即≥45°）”的否定是“小于45°（即＜45°）”，把两部分的否定结合起来就能得到正确的假设内容。
【解析】
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”：
1. “至少有一个”的反面是“每一个都”；
2. “不小于45°”的反面是“小于45°”；
因此结论的反面为“直角三角形的每个锐角都小于45°”，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，解题核心是准确找到原命题结论的否定表述，要注意“至少”“不小于”这类限定词的否定形式，是反证法相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
解答这道题首先要明确反证法的第一步逻辑：反证法需要先假设原命题的结论不成立，也就是原结论的反面成立。接下来我们拆解原命题的结论：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，其中“至少有一个”的否定是“所有、每一个都”，“不小于45°（即≥45°）”的否定是“小于45°（即＜45°）”，把两部分的否定结合起来就能得到正确的假设内容。
【解析】
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”：
1. “至少有一个”的反面是“每一个都”；
2. “不小于45°”的反面是“小于45°”；
因此结论的反面为“直角三角形的每个锐角都小于45°”，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，解题核心是准确找到原命题结论的否定表述，要注意“至少”“不小于”这类限定词的否定形式，是反证法相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 如图6,将$△ OAB$绕着点O顺时针旋转$60°$后得到$△ OA'B'$,若$OB=5$,则$\overset{\frown}{BB'}$的长度为(
A.$\frac{10π}{3}$
B.$\frac{5π}{3}$
C.$\frac{25π}{6}$
D.$\frac{5π}{6}$
B
).A.$\frac{10π}{3}$
B.$\frac{5π}{3}$
C.$\frac{25π}{6}$
D.$\frac{5π}{6}$
答案
9. B
解析
【分析】
要计算弧$\overset{\frown}{BB'}$的长度，首先需要明确弧所在圆的半径和弧对应的圆心角：
1. 由旋转的性质可知，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，因此$\overset{\frown}{BB'}$的半径等于OB的长度；
2. 旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，因此$\overset{\frown}{BB'}$对应的圆心角等于旋转角$60°$；
3. 最后代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$△ OAB$绕点O顺时针旋转$60°$得到$△ OA'B'$，
∴旋转角$∠ BOB'=60°$，$\overset{\frown}{BB'}$所在圆的半径$r=OB=5$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入数据得：
$l_{\overset{\frown}{BB'}}=\frac{60×π×5}{180}=\frac{5π}{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；弧长的计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合旋转的性质确定弧对应的圆心角和半径，熟练掌握弧长计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算弧$\overset{\frown}{BB'}$的长度，首先需要明确弧所在圆的半径和弧对应的圆心角：
1. 由旋转的性质可知，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，因此$\overset{\frown}{BB'}$的半径等于OB的长度；
2. 旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，因此$\overset{\frown}{BB'}$对应的圆心角等于旋转角$60°$；
3. 最后代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$△ OAB$绕点O顺时针旋转$60°$得到$△ OA'B'$，
∴旋转角$∠ BOB'=60°$，$\overset{\frown}{BB'}$所在圆的半径$r=OB=5$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入数据得：
$l_{\overset{\frown}{BB'}}=\frac{60×π×5}{180}=\frac{5π}{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；弧长的计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合旋转的性质确定弧对应的圆心角和半径，熟练掌握弧长计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
