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例3 如图5，$\odot O$是边长为$4\sqrt{3}$的等边$△ ABC$的外接圆，点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，连接BD，CD。以点D为圆心，BD的长为半径在$\odot O$内画弧，则阴影部分的面积为（
A.$\frac{8}{3}π$
B.$4π$
C.$\frac{16}{3}π$
D.$16π$
C
）。A.$\frac{8}{3}π$
B.$4π$
C.$\frac{16}{3}π$
D.$16π$
答案
解析 如图6，连接OB，OD，OC，OD交BC于点H，因为△ABC是等边三角形，得到∠A＝60°，根据四边形ABDC是圆内接四边形可得，∠BDC＝120°，由圆周角定理得$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角为∠BOC＝2∠A＝120°. 再由点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，得到∠BOD＝60°和OD⊥BC，根据勾股定理，得$OB^2＝OH^2＋BH^2$. 又$BH＝\frac{1}{2}×4\sqrt{3}＝2\sqrt{3}$，$OH＝\frac{1}{2}OB$，所以OB＝4. 又因为OB＝OD，∠BOD＝60°，得到△BOD是等边三角形，从而得到BD＝OB＝4，所以得到阴影部分是一个圆心角为120°，半径为4的扇形，根据扇形面积公式$S＝\frac{nπr^2}{360}＝\frac{120·π·4^2}{360}＝\frac{16}{3}π$，即阴影部分的面积为$\frac{16}{3}π$. 故选C.
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影是以D为圆心、BD为半径的扇形，因此只需确定该扇形的圆心角和半径即可求解。首先利用等边三角形的内角性质、圆内接四边形的对角互补求圆心角∠BDC的度数；再通过连接辅助线OB、OC、OD，结合弧中点的性质、垂径定理、勾股定理求出外接圆半径，进而得到扇形的半径BD，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
如图6，连接OB，OD，OC，OD交BC于点H：
1. 因为△ABC是等边三角形，所以$∠ A=60°$。
2. 因为四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形，圆内接四边形对角互补，所以$∠ BDC=180°-∠ A=120°$。
3. 由圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ BOC=2∠ A=120°$。
4. 因为点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，因此$∠ BOD=∠ COD=60°$，且OD垂直平分BC。
5. 所以$BH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
6. 在$Rt△ OBH$中，$∠ OBH=30°$，所以$OH=\frac{1}{2}OB$，由勾股定理得$OB^2=OH^2+BH^2$，代入数据得$OB^2=(\frac{1}{2}OB)^2+(2\sqrt{3})^2$，解得$OB=4$。
7. 因为$OB=OD$，$∠ BOD=60°$，所以$△ BOD$是等边三角形，因此$BD=OB=4$，即扇形的半径为4。
8. 根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入$n=120°$，$r=4$得：$S_{阴影}=\frac{120×π×4^2}{360}=\frac{16}{3}π$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，等边三角形的性质
【点评】
本题是圆中面积计算的典型题型，解题的核心是将不规则的阴影面积转化为规则扇形的面积求解，需要熟练掌握圆的相关性质和扇形面积公式，对综合运用知识点的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影是以D为圆心、BD为半径的扇形，因此只需确定该扇形的圆心角和半径即可求解。首先利用等边三角形的内角性质、圆内接四边形的对角互补求圆心角∠BDC的度数；再通过连接辅助线OB、OC、OD，结合弧中点的性质、垂径定理、勾股定理求出外接圆半径，进而得到扇形的半径BD，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
如图6，连接OB，OD，OC，OD交BC于点H：
1. 因为△ABC是等边三角形，所以$∠ A=60°$。
2. 因为四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形，圆内接四边形对角互补，所以$∠ BDC=180°-∠ A=120°$。
3. 由圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ BOC=2∠ A=120°$。
4. 因为点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，因此$∠ BOD=∠ COD=60°$，且OD垂直平分BC。
5. 所以$BH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
6. 在$Rt△ OBH$中，$∠ OBH=30°$，所以$OH=\frac{1}{2}OB$，由勾股定理得$OB^2=OH^2+BH^2$，代入数据得$OB^2=(\frac{1}{2}OB)^2+(2\sqrt{3})^2$，解得$OB=4$。
7. 因为$OB=OD$，$∠ BOD=60°$，所以$△ BOD$是等边三角形，因此$BD=OB=4$，即扇形的半径为4。
8. 根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入$n=120°$，$r=4$得：$S_{阴影}=\frac{120×π×4^2}{360}=\frac{16}{3}π$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，等边三角形的性质
【点评】
本题是圆中面积计算的典型题型，解题的核心是将不规则的阴影面积转化为规则扇形的面积求解，需要熟练掌握圆的相关性质和扇形面积公式，对综合运用知识点的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解析 如图6，连接OB，OD，OC，OD交BC于点H，因为△ABC是等边三角形，得到∠A＝60°，根据四边形ABDC是圆内接四边形可得，∠BDC＝120°，由圆周角定理得$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角为∠BOC＝2∠A＝120°. 再由点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，得到∠BOD＝60°和OD⊥BC，根据勾股定理，得$OB^2＝OH^2＋BH^2$. 又$BH＝\frac{1}{2}×4\sqrt{3}＝2\sqrt{3}$，$OH＝\frac{1}{2}OB$，所以OB＝4. 又因为OB＝OD，∠BOD＝60°，得到△BOD是等边三角形，从而得到BD＝OB＝4，所以得到阴影部分是一个圆心角为120°，半径为4的扇形，根据扇形面积公式$S＝\frac{nπr^2}{360}＝\frac{120·π·4^2}{360}＝\frac{16}{3}π$，即阴影部分的面积为$\frac{16}{3}π$. 故选C.
答案
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察阴影是不规则图形，优先采用割补法转化为规则图形面积计算。首先结合等边三角形的性质得到圆周角∠A的度数，再利用圆周角定理求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；接着根据弧中点的性质结合垂径定理得到BC的一半长度，再利用直角三角形30°角的性质和勾股定理求出圆的半径；最后通过证明四边形OBDC是菱形，得到阴影部分面积等于圆心角为120°的扇形OBC的面积，代入扇形面积公式即可求解。
【解析】
连接OB、OD、OC，OD交BC于点H。
1.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，根据圆周角定理，弧BC所对的圆心角$∠ BOC=2∠ A=120°$。
2.
∵点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，可得$∠ BOD=∠ COD=60°$，且由垂径定理得$OD⊥ BC$，因此$BH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
3. 在$Rt△ OBH$中，$∠ OBH=90°-60°=30°$，故$OH=\frac{1}{2}OB$，由勾股定理得：
$OB^2=OH^2+BH^2$，代入得$OB^2=(\frac{1}{2}OB)^2+(2\sqrt{3})^2$，解得$OB=4$（半径为正，舍去负解）。
4. 又
∵$OB=OD$，$∠ BOD=60°$，
∴$△ BOD$是等边三角形，同理$△ COD$是等边三角形，因此四边形OBDC是菱形，可得$S_{△ BDC}=S_{△ OBC}$，即阴影部分面积等于扇形OBC的面积。
5. 由扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入$n=120$，$r=4$得：
$S_{阴影}=\frac{120×π×4^2}{360}=\frac{16}{3}π$。
【答案】
$\frac{16}{3}π$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，扇形面积计算
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解，核心是通过割补转化将不规则面积变为规则扇形面积，解题过程需要综合运用圆的性质、直角三角形性质和勾股定理，熟练掌握相关基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，观察阴影是不规则图形，优先采用割补法转化为规则图形面积计算。首先结合等边三角形的性质得到圆周角∠A的度数，再利用圆周角定理求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；接着根据弧中点的性质结合垂径定理得到BC的一半长度，再利用直角三角形30°角的性质和勾股定理求出圆的半径；最后通过证明四边形OBDC是菱形，得到阴影部分面积等于圆心角为120°的扇形OBC的面积，代入扇形面积公式即可求解。
【解析】
连接OB、OD、OC，OD交BC于点H。
1.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，根据圆周角定理，弧BC所对的圆心角$∠ BOC=2∠ A=120°$。
2.
∵点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，可得$∠ BOD=∠ COD=60°$，且由垂径定理得$OD⊥ BC$，因此$BH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
3. 在$Rt△ OBH$中，$∠ OBH=90°-60°=30°$，故$OH=\frac{1}{2}OB$，由勾股定理得：
$OB^2=OH^2+BH^2$，代入得$OB^2=(\frac{1}{2}OB)^2+(2\sqrt{3})^2$，解得$OB=4$（半径为正，舍去负解）。
4. 又
∵$OB=OD$，$∠ BOD=60°$，
∴$△ BOD$是等边三角形，同理$△ COD$是等边三角形，因此四边形OBDC是菱形，可得$S_{△ BDC}=S_{△ OBC}$，即阴影部分面积等于扇形OBC的面积。
5. 由扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入$n=120$，$r=4$得：
$S_{阴影}=\frac{120×π×4^2}{360}=\frac{16}{3}π$。
【答案】
$\frac{16}{3}π$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，扇形面积计算
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解，核心是通过割补转化将不规则面积变为规则扇形面积，解题过程需要综合运用圆的性质、直角三角形性质和勾股定理，熟练掌握相关基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
如图 7, 在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC=90°, AB=AC$, 分别以点 $B,C$ 为圆心, $BC$ 的长为半径画弧, 与 $BA,CA$ 的延长线分别交于点 $D,E$. 若 $BC=4$, 则图中阴影部分的面积为 (
A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
D
).A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
答案
D
解析
【分析】
首先观察图形，阴影部分是不规则图形，可通过割补法转化为规则图形的面积差计算。第一步先分析△ABC的性质：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°且AB=AC，因此两个底角∠ABC、∠ACB均为45°，这两个角恰好是两个扇形的圆心角，扇形半径均为BC=4。第二步分别计算两个扇形的面积之和、△ABC的面积，注意两个扇形都包含了△ABC，因此用两个扇形面积和减去2倍的△ABC面积，即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
解：在$△ABC$中，$∠BAC=90°$，$AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-90°}{2}=45°$
由题意得，两个扇形的半径$r=BC=4$，圆心角$n=45°$，
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，两个扇形的面积和为：
$2×\frac{45π×4^2}{360}=2×\frac{16π}{8}=4π$
计算$△ABC$的面积：
等腰直角三角形斜边长$BC=4$，直角边$AB=AC=BC·\cos45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$
观察图形可知，两个扇形均包含$△ABC$，因此阴影面积为两个扇形面积和减去2倍的$△ABC$面积：
$S_{阴影}=4π - 2×4=4π-8$
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形性质，割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心是将不规则图形转化为扇形、三角形等规则图形的面积和差关系，解题时要注意识别两个扇形的重叠区域，避免漏减重复的空白面积。
【难度系数】
0.6
首先观察图形，阴影部分是不规则图形，可通过割补法转化为规则图形的面积差计算。第一步先分析△ABC的性质：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°且AB=AC，因此两个底角∠ABC、∠ACB均为45°，这两个角恰好是两个扇形的圆心角，扇形半径均为BC=4。第二步分别计算两个扇形的面积之和、△ABC的面积，注意两个扇形都包含了△ABC，因此用两个扇形面积和减去2倍的△ABC面积，即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
解：在$△ABC$中，$∠BAC=90°$，$AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-90°}{2}=45°$
由题意得，两个扇形的半径$r=BC=4$，圆心角$n=45°$，
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，两个扇形的面积和为：
$2×\frac{45π×4^2}{360}=2×\frac{16π}{8}=4π$
计算$△ABC$的面积：
等腰直角三角形斜边长$BC=4$，直角边$AB=AC=BC·\cos45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$
观察图形可知，两个扇形均包含$△ABC$，因此阴影面积为两个扇形面积和减去2倍的$△ABC$面积：
$S_{阴影}=4π - 2×4=4π-8$
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形性质，割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心是将不规则图形转化为扇形、三角形等规则图形的面积和差关系，解题时要注意识别两个扇形的重叠区域，避免漏减重复的空白面积。
【难度系数】
0.6
