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例1 如图1，AB是半圆O的直径，D是弦AC的延长线上一点，连接BD，BC，∠D=∠ABC=60°.
(1)求证:BD是半圆O的切线;
(2)当BC=3时,求$\overset{\frown}{AC}$的长.
(1)求证:BD是半圆O的切线;
(2)当BC=3时,求$\overset{\frown}{AC}$的长.
答案
(1)
∵AB 是半圆 O 的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠A＋∠ABC＝90°.
∵∠D＝∠ABC，
∴∠A＋∠D＝90°.
∴∠ABD＝90°.
∴AB⊥BD. 又 AB 是半圆 O 的直径，
∴BD 是半圆 O 的切线.
(2) 如图 2，连接 OC. 在Rt△ABC 中，
∵∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°. 又
∵BC＝3，
∴AB＝2BC＝6.
∴OA＝OC＝3.
∴∠ACO＝∠A＝30°.
∴∠AOC＝120°.
∴$\overset{\frown}{AC}$ 的长为 $\frac{120·π·3}{180}=2π$.
∵AB 是半圆 O 的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠A＋∠ABC＝90°.
∵∠D＝∠ABC，
∴∠A＋∠D＝90°.
∴∠ABD＝90°.
∴AB⊥BD. 又 AB 是半圆 O 的直径，
∴BD 是半圆 O 的切线.
(2) 如图 2，连接 OC. 在Rt△ABC 中，
∵∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°. 又
∵BC＝3，
∴AB＝2BC＝6.
∴OA＝OC＝3.
∴∠ACO＝∠A＝30°.
∴∠AOC＝120°.
∴$\overset{\frown}{AC}$ 的长为 $\frac{120·π·3}{180}=2π$.
解析
【分析】
（1）要证BD是半圆O的切线，根据切线判定定理，只需证明AB⊥BD即可。首先利用直径所对圆周角为直角的性质，得到∠ACB=90°，推出∠A与∠ABC互余，再结合已知∠D=∠ABC进行等量代换，即可证得∠ABD=90°，完成切线的证明。
（2）求$\overset{\frown}{AC}$的长需用到弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，因此要先求出弧AC对应的圆心角度数和半圆半径。先在Rt△ABC中利用30°直角三角形的性质求出直径AB的长度，得到半径；再根据等腰三角形内角关系求出圆心角∠AOC的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
∵∠D＝∠ABC，
∴∠A＋∠D＝90°，
∴∠ABD=180°-(∠A+∠D)=90°，即AB⊥BD，
又
∵AB是半圆O的直径，
∴BD是半圆O的切线。
(2) 解：连接OC，
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=90°，
∴∠A=90°-60°=30°，
∵BC=3，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴AB=2BC=6，
∴半圆半径OA=OC=3，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∴$\overset{\frown}{AC}$的长为 $\frac{120·π·3}{180}=2π$。
【答案】
(1) BD是半圆O的切线，证明成立；
(2) $\overset{\frown}{AC}$的长为$2π$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查切线的判定方法、直角三角形的性质以及弧长公式的应用，解题时要注意切线判定的前提条件，计算弧长时需准确对应圆心角和半径的数值。
【难度系数】
0.7
（1）要证BD是半圆O的切线，根据切线判定定理，只需证明AB⊥BD即可。首先利用直径所对圆周角为直角的性质，得到∠ACB=90°，推出∠A与∠ABC互余，再结合已知∠D=∠ABC进行等量代换，即可证得∠ABD=90°，完成切线的证明。
（2）求$\overset{\frown}{AC}$的长需用到弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，因此要先求出弧AC对应的圆心角度数和半圆半径。先在Rt△ABC中利用30°直角三角形的性质求出直径AB的长度，得到半径；再根据等腰三角形内角关系求出圆心角∠AOC的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
∵∠D＝∠ABC，
∴∠A＋∠D＝90°，
∴∠ABD=180°-(∠A+∠D)=90°，即AB⊥BD，
又
∵AB是半圆O的直径，
∴BD是半圆O的切线。
(2) 解：连接OC，
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=90°，
∴∠A=90°-60°=30°，
∵BC=3，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴AB=2BC=6，
∴半圆半径OA=OC=3，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∴$\overset{\frown}{AC}$的长为 $\frac{120·π·3}{180}=2π$。
【答案】
(1) BD是半圆O的切线，证明成立；
(2) $\overset{\frown}{AC}$的长为$2π$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查切线的判定方法、直角三角形的性质以及弧长公式的应用，解题时要注意切线判定的前提条件，计算弧长时需准确对应圆心角和半径的数值。
【难度系数】
0.7
例2 如图4,在$△ ABC$中,$∠ ACB=70°$,$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$AB$,$BC$分别相切于点$D$,$E$,连接$DE$,$AO$的延长线交$DE$于点$F$,则$∠ AFD=$
35°
.答案
如图5,连接OE,OD,OB,OB与DE交于点H. $\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆.$\therefore ∠ OAB=\frac{1}{2}∠ CAB,∠ OBA=\frac{1}{2}∠ CBA.$$\because ∠ ACB=70°,\therefore ∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}∠ CAB+\frac{1}{2}∠ CBA=\frac{1}{2}(∠ CAB+∠ CBA)=\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=55°.$$\therefore ∠ AOB=180°-∠ OAB-∠ OBA=125°.$$\because \odot O$与AB,BC分别相切于点D,E,$\therefore BD=BE.$又$OD=OE,\therefore OB$是DE的垂直平分线.$\therefore ∠ OHF=90°.$$\because ∠ AOB$是$△ FOH$的外角,$\therefore ∠ AFD=∠ AOB-∠ OHF=125°-90°=35°.$故答案为35°.
解析
【分析】
要求∠AFD的度数，可结合已知条件和内切圆的性质推导：首先，内切圆圆心是三角形角平分线的交点，可先利用角平分线性质和三角形内角和求出∠AOB的度数；再根据切线长定理得到BD=BE，结合OD=OE可推出OB垂直平分DE，得到直角∠OHF；最后利用三角形外角的性质即可求出∠AFD的度数。
【解析】
如图5，连接OE，OD，OB，OB与DE交于点H。
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴$AO$平分$∠ CAB$，$BO$平分$∠ CBA$，即$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ CBA$。
∵$∠ ACB=70°$，由三角形内角和为$180°$得$∠ CAB+∠ CBA=180°-∠ ACB=110°$，
∴$∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}(∠ CAB+∠ CBA)=\frac{1}{2}×110°=55°$。
在$△ AOB$中，$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)=180°-55°=125°$。
∵$\odot O$与$AB$、$BC$分别相切于点$D$、$E$，
∴由切线长定理得$BD=BE$，又$OD=OE$（均为$\odot O$的半径），
∴$OB$是$DE$的垂直平分线，即$∠ OHF=90°$。
∵$∠ AOB$是$△ FOH$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可得$∠ AOB=∠ AFD+∠ OHF$，
∴$∠ AFD=∠ AOB-∠ OHF=125°-90°=35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
三角形内切圆性质，切线长定理，三角形内外角性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，解题关键是合理作出辅助线，利用内切圆、切线长的性质将已知角和未知角建立联系，考查了学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求∠AFD的度数，可结合已知条件和内切圆的性质推导：首先，内切圆圆心是三角形角平分线的交点，可先利用角平分线性质和三角形内角和求出∠AOB的度数；再根据切线长定理得到BD=BE，结合OD=OE可推出OB垂直平分DE，得到直角∠OHF；最后利用三角形外角的性质即可求出∠AFD的度数。
【解析】
如图5，连接OE，OD，OB，OB与DE交于点H。
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴$AO$平分$∠ CAB$，$BO$平分$∠ CBA$，即$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ CBA$。
∵$∠ ACB=70°$，由三角形内角和为$180°$得$∠ CAB+∠ CBA=180°-∠ ACB=110°$，
∴$∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}(∠ CAB+∠ CBA)=\frac{1}{2}×110°=55°$。
在$△ AOB$中，$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)=180°-55°=125°$。
∵$\odot O$与$AB$、$BC$分别相切于点$D$、$E$，
∴由切线长定理得$BD=BE$，又$OD=OE$（均为$\odot O$的半径），
∴$OB$是$DE$的垂直平分线，即$∠ OHF=90°$。
∵$∠ AOB$是$△ FOH$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可得$∠ AOB=∠ AFD+∠ OHF$，
∴$∠ AFD=∠ AOB-∠ OHF=125°-90°=35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
三角形内切圆性质，切线长定理，三角形内外角性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，解题关键是合理作出辅助线，利用内切圆、切线长的性质将已知角和未知角建立联系，考查了学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
如图 3,在$△ OAB$中,点A在$\odot O$上,边OB交$\odot O$于点C,$AD ⊥ OB$于点D,AC是$∠ BAD$的平分线.
(1)求证:AB为$\odot O$的切线;
(2)若$\odot O$的半径为2,$∠ AOB=45°$,求CB的长.
(1)求证:AB为$\odot O$的切线;
(2)若$\odot O$的半径为2,$∠ AOB=45°$,求CB的长.
答案
(1) $\because AD ⊥ OB, \therefore ∠ DAC+∠ ACD=90°. \because OA=OC, \therefore ∠ OAC=∠ OCA.$
$\because AC$ 是 $∠ BAD$ 的平分线, $\therefore ∠ DAC=∠ BAC,$
$\therefore ∠ BAC+∠ OAC=∠ DAC+∠ OCA=90°$, 即$∠ OAB=90°, \therefore AB ⊥ OA$, 又 $OA$ 为半径, $\therefore AB$ 为 $\odot O$ 的切线
(2) 由(1)得, $AB ⊥ OA$, 又 $∠ AOB=45°, \therefore △ OAB$ 为等腰直角三角形 . $\therefore OA=OC=AB=2$. 在 $Rt △ OAB$ 中, $OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=2\sqrt{2}, \therefore CB=OB-OC=2\sqrt{2}-2$
$\because AC$ 是 $∠ BAD$ 的平分线, $\therefore ∠ DAC=∠ BAC,$
$\therefore ∠ BAC+∠ OAC=∠ DAC+∠ OCA=90°$, 即$∠ OAB=90°, \therefore AB ⊥ OA$, 又 $OA$ 为半径, $\therefore AB$ 为 $\odot O$ 的切线
(2) 由(1)得, $AB ⊥ OA$, 又 $∠ AOB=45°, \therefore △ OAB$ 为等腰直角三角形 . $\therefore OA=OC=AB=2$. 在 $Rt △ OAB$ 中, $OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=2\sqrt{2}, \therefore CB=OB-OC=2\sqrt{2}-2$
解析
【分析】
(1) 要证明AB是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，只需证明AB垂直于半径OA，即证$∠ OAB=90°$。首先利用$AD⊥ OB$得到两个锐角互余，再结合等腰三角形$OA=OC$的等边对等角性质、AC平分$∠ BAD$的条件，通过角的等量代换即可推导出$∠ OAB=90°$。
(2) 求CB的长，观察图形可知$CB=OB-OC$，已知OC为半径等于2，因此只需计算OB的长度即可。由(1)得$OA⊥ AB$，结合$∠ AOB=45°$可判定$△ OAB$是等腰直角三角形，用勾股定理求出OB后减去OC的长度，就能得到CB的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AD⊥ OB$，$\therefore ∠ ADC=90°$，可得$∠ DAC+∠ ACD=90°$。
$\because OA、OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC$，$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$。
$\because AC$是$∠ BAD$的平分线，$\therefore ∠ DAC=∠ BAC$。
$\therefore ∠ BAC+∠ OAC=∠ DAC+∠ OCA=90°$，即$∠ OAB=90°$，
$\therefore AB⊥ OA$，又$\because OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore AB$为$\odot O$的切线。
(2) 解：由(1)可知$∠ OAB=90°$，即$AB⊥ OA$，
又$\because ∠ AOB=45°$，$\therefore △ OAB$为等腰直角三角形，
$\therefore AB=OA=2$（$\odot O$半径为2）。
在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$\because OC$是$\odot O$的半径，$\therefore OC=2$，
$\therefore CB=OB-OC=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
(1) AB为$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $CB=2\sqrt{2}-2$
【知识点】
切线的判定；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，考查的均为核心考点，解题关键是熟练掌握切线的判定方法，结合等腰三角形、勾股定理的相关知识求解线段长度，属于圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AB是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，只需证明AB垂直于半径OA，即证$∠ OAB=90°$。首先利用$AD⊥ OB$得到两个锐角互余，再结合等腰三角形$OA=OC$的等边对等角性质、AC平分$∠ BAD$的条件，通过角的等量代换即可推导出$∠ OAB=90°$。
(2) 求CB的长，观察图形可知$CB=OB-OC$，已知OC为半径等于2，因此只需计算OB的长度即可。由(1)得$OA⊥ AB$，结合$∠ AOB=45°$可判定$△ OAB$是等腰直角三角形，用勾股定理求出OB后减去OC的长度，就能得到CB的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AD⊥ OB$，$\therefore ∠ ADC=90°$，可得$∠ DAC+∠ ACD=90°$。
$\because OA、OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC$，$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$。
$\because AC$是$∠ BAD$的平分线，$\therefore ∠ DAC=∠ BAC$。
$\therefore ∠ BAC+∠ OAC=∠ DAC+∠ OCA=90°$，即$∠ OAB=90°$，
$\therefore AB⊥ OA$，又$\because OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore AB$为$\odot O$的切线。
(2) 解：由(1)可知$∠ OAB=90°$，即$AB⊥ OA$，
又$\because ∠ AOB=45°$，$\therefore △ OAB$为等腰直角三角形，
$\therefore AB=OA=2$（$\odot O$半径为2）。
在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$\because OC$是$\odot O$的半径，$\therefore OC=2$，
$\therefore CB=OB-OC=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
(1) AB为$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $CB=2\sqrt{2}-2$
【知识点】
切线的判定；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，考查的均为核心考点，解题关键是熟练掌握切线的判定方法，结合等腰三角形、勾股定理的相关知识求解线段长度，属于圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
如图6，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，与$AB$，$BC$，$CA$分别相切于点$D$，$E$，$F$，$∠ DOE = 120°$，$∠ EOF = 150°$.
（1）求$△ ABC$的三个内角的大小；
（2）设$\odot O$的直径为$d$，证明：$d = AB + AC - BC$.
（1）求$△ ABC$的三个内角的大小；
（2）设$\odot O$的直径为$d$，证明：$d = AB + AC - BC$.
答案
(1) $\because \odot O$ 是 $△ ABC$ 的内切圆, 与 $AB, BC$ 分别相切于点 $D, E, \therefore OD ⊥ AB, OE ⊥ BC. \therefore ∠ ODB=∠ OEB=90°$. 在四边形 $BEOD$ 中, $∠ ODB+∠ OEB+∠ B+∠ DOE=360°, ∠ DOE=120°, \therefore ∠ B=60°$. 同理可得, $∠ C=360°-∠ CFO-∠ CEO-∠ EOF=30°$. 在 $△ ABC$ 中, $∠ A+∠ B+∠ C=180°, \therefore ∠ A=90°$
(2) 由(1)得$∠ A=90°$, 又 $OD ⊥ AB, OF ⊥ AC, \therefore$ 四边形 $ADOF$ 为矩形. 又 $OD=OF, \therefore$ 四边形 $ADOF$ 为正方形. $\because \odot O$ 是 $△ ABC$ 的内切圆, 与 $AB, BC, CA$ 分别相切于点 $D, E, F$, $\therefore AD=AF, BD=BE, CF=CE$. 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 则 $BD=BE=AB-r, CF=CE=AC-r, \therefore BC=BE+CE=AB-r+AC-r, \therefore 2r=AB+AC-BC$, 即 $d=AB+AC-BC$
(2) 由(1)得$∠ A=90°$, 又 $OD ⊥ AB, OF ⊥ AC, \therefore$ 四边形 $ADOF$ 为矩形. 又 $OD=OF, \therefore$ 四边形 $ADOF$ 为正方形. $\because \odot O$ 是 $△ ABC$ 的内切圆, 与 $AB, BC, CA$ 分别相切于点 $D, E, F$, $\therefore AD=AF, BD=BE, CF=CE$. 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 则 $BD=BE=AB-r, CF=CE=AC-r, \therefore BC=BE+CE=AB-r+AC-r, \therefore 2r=AB+AC-BC$, 即 $d=AB+AC-BC$
解析
【分析】
（1）求△ABC的内角可先利用内切圆的切线性质：圆心与切点的连线垂直于切线，得到OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，对应角均为90°；再结合四边形内角和为360°，用已知的∠DOE、∠EOF分别求出∠B和∠C，最后通过三角形内角和为180°计算∠A。
（2）证明直径d和三角形边长的关系，先由∠A=90°结合OD⊥AB、OF⊥AC，判断四边形ADOF为正方形，得到AD=AF=r（r为内切圆半径）；再利用切线长定理得到BD=BE、CF=CE，将BC拆分为BE+CE后用含AB、AC、r的式子替换，整理即可得到d和三边的等量关系。
【解析】
(1)
∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC分别相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，即∠ODB=∠OEB=90°。
在四边形BEOD中，内角和为360°，且∠DOE=120°，
∴∠B=360°-∠ODB-∠OEB-∠DOE=360°-90°-90°-120°=60°。
同理，⊙O与BC、CA分别相切于点E、F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，即∠OEC=∠OFC=90°，
在四边形CEOF中，∠EOF=150°，
∴∠C=360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF=360°-90°-90°-150°=30°。
在△ABC中，内角和为180°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°。
(2) 证明：由(1)得∠A=90°，又OD⊥AB，OF⊥AC，
∴四边形ADOF有三个内角为直角，故四边形ADOF为矩形。
又
∵OD、OF都是⊙O的半径，即OD=OF，
∴矩形ADOF为正方形，即AD=AF=r（r为⊙O的半径）。
∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，根据切线长定理可得：BD=BE，CF=CE。
∴BE=BD=AB-AD=AB-r，CE=CF=AC-AF=AC-r，
∵BC=BE+CE，代入得：BC=(AB-r)+(AC-r)=AB+AC-2r，
移项得2r=AB+AC-BC，
∵⊙O的直径d=2r，
∴d=AB+AC-BC，得证。
【答案】
(1) $∠ A=90°$，$∠ B=60°$，$∠ C=30°$；
(2) 证明成立，$d=AB+AC-BC$。
【知识点】
三角形内切圆性质，切线长定理，正方形的判定
【点评】
本题是三角形内切圆相关的典型题目，第一问结合切线性质和内角和公式即可求解，难度较低；第二问需要灵活运用切线长定理进行线段的等量转化，考察了知识的综合应用能力，熟练掌握内切圆相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）求△ABC的内角可先利用内切圆的切线性质：圆心与切点的连线垂直于切线，得到OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，对应角均为90°；再结合四边形内角和为360°，用已知的∠DOE、∠EOF分别求出∠B和∠C，最后通过三角形内角和为180°计算∠A。
（2）证明直径d和三角形边长的关系，先由∠A=90°结合OD⊥AB、OF⊥AC，判断四边形ADOF为正方形，得到AD=AF=r（r为内切圆半径）；再利用切线长定理得到BD=BE、CF=CE，将BC拆分为BE+CE后用含AB、AC、r的式子替换，整理即可得到d和三边的等量关系。
【解析】
(1)
∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC分别相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，即∠ODB=∠OEB=90°。
在四边形BEOD中，内角和为360°，且∠DOE=120°，
∴∠B=360°-∠ODB-∠OEB-∠DOE=360°-90°-90°-120°=60°。
同理，⊙O与BC、CA分别相切于点E、F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，即∠OEC=∠OFC=90°，
在四边形CEOF中，∠EOF=150°，
∴∠C=360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF=360°-90°-90°-150°=30°。
在△ABC中，内角和为180°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°。
(2) 证明：由(1)得∠A=90°，又OD⊥AB，OF⊥AC，
∴四边形ADOF有三个内角为直角，故四边形ADOF为矩形。
又
∵OD、OF都是⊙O的半径，即OD=OF，
∴矩形ADOF为正方形，即AD=AF=r（r为⊙O的半径）。
∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，根据切线长定理可得：BD=BE，CF=CE。
∴BE=BD=AB-AD=AB-r，CE=CF=AC-AF=AC-r，
∵BC=BE+CE，代入得：BC=(AB-r)+(AC-r)=AB+AC-2r，
移项得2r=AB+AC-BC，
∵⊙O的直径d=2r，
∴d=AB+AC-BC，得证。
【答案】
(1) $∠ A=90°$，$∠ B=60°$，$∠ C=30°$；
(2) 证明成立，$d=AB+AC-BC$。
【知识点】
三角形内切圆性质，切线长定理，正方形的判定
【点评】
本题是三角形内切圆相关的典型题目，第一问结合切线性质和内角和公式即可求解，难度较低；第二问需要灵活运用切线长定理进行线段的等量转化，考察了知识的综合应用能力，熟练掌握内切圆相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
