登录
例3 如图7,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,阅读以下作图过程,并回答下列问题.
作法:如图8.
1. 作直径AF.
2. 以点F为圆心,FO的长为半径作圆弧,与$\odot O$相交于点M,N.
3. 连接AM,MN,NA.
(1)求$∠ ABC$的度数.
(2)$△ AMN$是正三角形吗？请说明理由.
(3)从点A开始,以DN的长为半径,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.
作法:如图8.
1. 作直径AF.
2. 以点F为圆心,FO的长为半径作圆弧,与$\odot O$相交于点M,N.
3. 连接AM,MN,NA.
(1)求$∠ ABC$的度数.
(2)$△ AMN$是正三角形吗？请说明理由.
(3)从点A开始,以DN的长为半径,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.
答案
(1)
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每一个内角都等于$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即∠ABC=108°.
(2) △AMN是正三角形.理由如下：如图9，连接ON，NF，由作图可知，NF=FO.又OF=ON，
∴OF=NF=ON.
∴△FON是等边三角形.
∴∠AFN=60°.在⊙O中，∠AMN，∠AFN所对的弧都是$\overset{\frown}{AN}$，
∴∠AMN=∠AFN=60°.同理可得，∠ANM=60°.
∴∠MAN=180°−∠AMN−∠ANM=180°−60°−60°=60°.
∴∠AMN=∠ANM=∠MAN.
∴△AMN是正三角形.
(3) 如图9，连接OD，在⊙O中，∠AON=2∠AMN=120°.
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴中心角等于$\frac{360°}{5}=72°$.
∴∠AOD=2×72°=144°.
∴∠DON=∠AOD−∠AON=144°−120°=24°.
∴n=360°÷24°=15.
解析
【分析】
(1) 求正五边形内角∠ABC的度数，正多边形各内角相等，直接利用多边形内角和公式计算正五边形单个内角的度数即可。
(2) 判断△AMN是否为正三角形，只需证明三个内角均为60°即可。先根据作图条件结合圆半径相等，证明△FON为等边三角形得到60°角，再利用同弧所对圆周角相等推导△AMN的内角为60°，进而判定三角形形状。
(3) 求正n边形的n值，需先求出弧DN对应的圆心角度数，用360°除以该圆心角即可得到n。先求出正五边形的中心角，结合(2)的结论计算出∠DON的度数，即可求解。
【解析】
(1)
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每一个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即$∠ABC=108°$。
(2) $△ AMN$是正三角形，理由如下：
如图，连接ON，NF，由作图可知$NF=FO$，又$OF=ON$（都是$\odot O$的半径），
∴$OF=NF=ON$，
∴$△ FON$是等边三角形，
∴$∠AFN=60°$。
在$\odot O$中，$∠AMN$和$∠AFN$所对的弧都是$\overset{\frown}{AN}$，
∴$∠AMN=∠AFN=60°$，同理可得$∠ANM=60°$，
∴$∠MAN=180°-∠AMN-∠ANM=180°-60°-60°=60°$，
∴$∠AMN=∠ANM=∠MAN$，
∴$△ AMN$是正三角形。
(3) 如图，连接OD，在$\odot O$中，$∠AON=2∠AMN=120°$，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴它的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，
∴$∠AOD=2×72°=144°$，
∴$∠DON=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°$，
∴$n=360°÷24°=15$。
【答案】
(1) $∠ABC=108°$；
(2) $△ AMN$是正三角形，理由见解析；
(3) $n=15$。
【知识点】
多边形内角和计算，圆周角定理，正多边形与圆
【点评】
本题综合考察正多边形和圆的相关知识，解题关键是熟练掌握相关定理，结合图形分析角度关系，可锻炼几何综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求正五边形内角∠ABC的度数，正多边形各内角相等，直接利用多边形内角和公式计算正五边形单个内角的度数即可。
(2) 判断△AMN是否为正三角形，只需证明三个内角均为60°即可。先根据作图条件结合圆半径相等，证明△FON为等边三角形得到60°角，再利用同弧所对圆周角相等推导△AMN的内角为60°，进而判定三角形形状。
(3) 求正n边形的n值，需先求出弧DN对应的圆心角度数，用360°除以该圆心角即可得到n。先求出正五边形的中心角，结合(2)的结论计算出∠DON的度数，即可求解。
【解析】
(1)
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每一个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即$∠ABC=108°$。
(2) $△ AMN$是正三角形，理由如下：
如图，连接ON，NF，由作图可知$NF=FO$，又$OF=ON$（都是$\odot O$的半径），
∴$OF=NF=ON$，
∴$△ FON$是等边三角形，
∴$∠AFN=60°$。
在$\odot O$中，$∠AMN$和$∠AFN$所对的弧都是$\overset{\frown}{AN}$，
∴$∠AMN=∠AFN=60°$，同理可得$∠ANM=60°$，
∴$∠MAN=180°-∠AMN-∠ANM=180°-60°-60°=60°$，
∴$∠AMN=∠ANM=∠MAN$，
∴$△ AMN$是正三角形。
(3) 如图，连接OD，在$\odot O$中，$∠AON=2∠AMN=120°$，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴它的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，
∴$∠AOD=2×72°=144°$，
∴$∠DON=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°$，
∴$n=360°÷24°=15$。
【答案】
(1) $∠ABC=108°$；
(2) $△ AMN$是正三角形，理由见解析；
(3) $n=15$。
【知识点】
多边形内角和计算，圆周角定理，正多边形与圆
【点评】
本题综合考察正多边形和圆的相关知识，解题关键是熟练掌握相关定理，结合图形分析角度关系，可锻炼几何综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解析（1）∵五边形ABCDE是正五边形，∴每一个内角都等于$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即∠ABC=108°.
（2）△AMN是正三角形.理由如下：如图9，连接ON，NF，由作图可知，NF=FO.又OF=ON，∴OF=NF=ON.∴△FON是等边三角形.∴∠AFN=60°.在⊙O中，∠AMN，∠AFN所对的弧都是$\overset{\frown}{AN}$，∴∠AMN=∠AFN=60°.同理可得，∠ANM=60°.∴∠MAN=180°−∠AMN−∠ANM=180°−60°−60°=60°.∴∠AMN=∠ANM=∠MAN.∴△AMN是正三角形.
（3）如图9，连接OD，在⊙O中，∠AON=2∠AMN=120°.∵五边形ABCDE是正五边形，∴中心角等于$\frac{360°}{5}=72°$.∴∠AOD=2×72°=144°.∴∠DON=∠AOD−∠AON=144°−120°=24°.∴n=360°÷24°=15.
（2）△AMN是正三角形.理由如下：如图9，连接ON，NF，由作图可知，NF=FO.又OF=ON，∴OF=NF=ON.∴△FON是等边三角形.∴∠AFN=60°.在⊙O中，∠AMN，∠AFN所对的弧都是$\overset{\frown}{AN}$，∴∠AMN=∠AFN=60°.同理可得，∠ANM=60°.∴∠MAN=180°−∠AMN−∠ANM=180°−60°−60°=60°.∴∠AMN=∠ANM=∠MAN.∴△AMN是正三角形.
（3）如图9，连接OD，在⊙O中，∠AON=2∠AMN=120°.∵五边形ABCDE是正五边形，∴中心角等于$\frac{360°}{5}=72°$.∴∠AOD=2×72°=144°.∴∠DON=∠AOD−∠AON=144°−120°=24°.∴n=360°÷24°=15.
答案
解析
【分析】
本题分三个小问逐步推导：
1. 第一问求正五边形内角，直接用多边形内角和公式，正多边形各内角相等，用内角和除以边数即可得到结果。
2. 第二问判断△AMN的形状，先根据作图条件结合同圆半径相等推出△FON是等边三角形，得到60°角，再利用同弧所对圆周角相等得到△AMN的两个内角为60°，即可推出三个内角均为60°，证明其为正三角形。
3. 第三问求正n边形的边数n，先根据圆周角与圆心角的关系算出∠AON，再计算正五边形的中心角得到∠AOD，作差求出正n边形的中心角∠DON，最后用周角360°除以该中心角即可得到n。
【解析】
(1) 计算正五边形内角：
∵五边形ABCDE是正五边形，n边形内角和为$(n-2)× 180°$，
∴正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)× 180°}{5}=108°$，即$∠ ABC=108°$。
(2) 判断△AMN的形状：
△AMN是正三角形，理由如下：
连接ON、NF，由作图可知$NF=FO$，
∵OF、ON均为⊙O的半径，
∴$OF=ON$，
∴$OF=NF=ON$，即△FON是等边三角形，
∴$∠ AFN=60°$。
在⊙O中，$∠ AMN$和$∠ AFN$所对的弧都是$\overset{\frown}{AN}$，根据同弧所对圆周角相等，得$∠ AMN=∠ AFN=60°$，
同理可得$∠ ANM=60°$，
∴$∠ MAN=180°-∠ AMN-∠ ANM=180°-60°-60°=60°$，
∴$∠ AMN=∠ ANM=∠ MAN$，故△AMN是正三角形。
(3) 求n的值：
连接OD，
在⊙O中，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AON=2∠ AMN=2× 60°=120°$，
∵正五边形的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，
∴$∠ AOD=2×72°=144°$，
∴$∠ DON=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$，
∴正n边形的边数$n=360°÷24°=15$。
【答案】
(1) $∠ ABC=108°$
(2) △AMN是正三角形
(3) $n=15$
【知识点】
多边形内角和；圆周角定理；正多边形性质
【点评】
本题是正多边形与圆的综合题，结合作图隐含条件考查角度推导计算，逻辑链条清晰，能帮助巩固几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
本题分三个小问逐步推导：
1. 第一问求正五边形内角，直接用多边形内角和公式，正多边形各内角相等，用内角和除以边数即可得到结果。
2. 第二问判断△AMN的形状，先根据作图条件结合同圆半径相等推出△FON是等边三角形，得到60°角，再利用同弧所对圆周角相等得到△AMN的两个内角为60°，即可推出三个内角均为60°，证明其为正三角形。
3. 第三问求正n边形的边数n，先根据圆周角与圆心角的关系算出∠AON，再计算正五边形的中心角得到∠AOD，作差求出正n边形的中心角∠DON，最后用周角360°除以该中心角即可得到n。
【解析】
(1) 计算正五边形内角：
∵五边形ABCDE是正五边形，n边形内角和为$(n-2)× 180°$，
∴正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)× 180°}{5}=108°$，即$∠ ABC=108°$。
(2) 判断△AMN的形状：
△AMN是正三角形，理由如下：
连接ON、NF，由作图可知$NF=FO$，
∵OF、ON均为⊙O的半径，
∴$OF=ON$，
∴$OF=NF=ON$，即△FON是等边三角形，
∴$∠ AFN=60°$。
在⊙O中，$∠ AMN$和$∠ AFN$所对的弧都是$\overset{\frown}{AN}$，根据同弧所对圆周角相等，得$∠ AMN=∠ AFN=60°$，
同理可得$∠ ANM=60°$，
∴$∠ MAN=180°-∠ AMN-∠ ANM=180°-60°-60°=60°$，
∴$∠ AMN=∠ ANM=∠ MAN$，故△AMN是正三角形。
(3) 求n的值：
连接OD，
在⊙O中，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AON=2∠ AMN=2× 60°=120°$，
∵正五边形的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，
∴$∠ AOD=2×72°=144°$，
∴$∠ DON=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$，
∴正n边形的边数$n=360°÷24°=15$。
【答案】
(1) $∠ ABC=108°$
(2) △AMN是正三角形
(3) $n=15$
【知识点】
多边形内角和；圆周角定理；正多边形性质
【点评】
本题是正多边形与圆的综合题，结合作图隐含条件考查角度推导计算，逻辑链条清晰，能帮助巩固几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
考点3 变式
如图10,在中心为O的正六边形ABCDEF中,点G, H分别在边AF,CD上,且不同于正六边形的顶点,CH=FG.
(1)证明:四边形BGEH为平行四边形;
(2)若正六边形的边长为4,以点O为圆心,OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分,求图中阴影部分的面积.
如图10,在中心为O的正六边形ABCDEF中,点G, H分别在边AF,CD上,且不同于正六边形的顶点,CH=FG.
(1)证明:四边形BGEH为平行四边形;
(2)若正六边形的边长为4,以点O为圆心,OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分,求图中阴影部分的面积.
答案
(1)
∵六边形 ABCDEF 是正六边形,
∴BC=EF=CD=AF=AB=DE, ∠C=∠D=∠DEF=∠EFA=∠FAB=∠ABC. 又 CH = FG,
∴ $△ BCH ≌ △ EFG$(SAS).
∴ BH = EG.
∵ CD = AF, CH = FG,
∴ CD - CH = AF - FG, 即 DH = AG,
∴ $△ DEH ≌ △ ABG$ (SAS).
∴ EH = BG.
∴ 四边形 BGEH 是平行四边形
(2) 如答图 39,连接 OB,OA,OF.
∵O是正六边形 ABCDEF 的中心,
∴OB = OA = OF, $∠ AOB = ∠ AOF = \frac{360°}{6}=60°$.
∴ $△ OAB$ 和$△ OAF$ 都是等边三角形.
∴OB=OA=OF=AB=AF=4. 过点 O 作 $OM ⊥ AB$, 交 AB 于点 M, 则在 Rt$△ OMB$ 中, $OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=2\sqrt{3}$ ,$S_{△ AOF}=S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB · OM=\frac{1}{2} × 4 × 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$. 又 $∠ BOF = ∠ AOB + ∠ AOF = 120°$, $\therefore S_{扇形BOF}=\frac{120 × 4^2 × π}{360}=\frac{16π}{3}$.
∴阴影部分的面积为 $S_{扇形BOF}-S_{△ AOB}-S_{△ AOF}=\frac{16π}{3}-4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 要证明四边形BGEH是平行四边形，可通过“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”推导。首先利用正六边形各边相等、各内角相等的性质，结合已知CH=FG，先证△BCH≌△EFG得到BH=EG，再通过线段差得到DH=AG，证△DEH≌△ABG得到EH=BG，即可得证。
(2) 阴影为不规则图形，采用割补法计算：阴影面积=扇形BOF的面积 - △AOB的面积 - △AOF的面积。首先根据正六边形中心角为60°，推出△OAB、△OAF都是等边三角形，得到扇形半径和等边三角形边长，再分别计算扇形面积和两个等边三角形的面积，作差即可得到结果。
【解析】
(1)
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC=EF=CD=AF=AB=DE，∠C=∠D=∠DEF=∠EFA=∠FAB=∠ABC。
又
∵CH = FG，
∴$△ BCH ≌ △ EFG$（SAS），
∴BH = EG。
∵CD = AF，CH = FG，
∴CD - CH = AF - FG，即DH = AG，
∴$△ DEH ≌ △ ABG$（SAS），
∴EH = BG，
∴四边形BGEH是平行四边形。
(2) 如答图39，连接OB,OA,OF。
∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OB = OA = OF，$∠ AOB = ∠ AOF = \frac{360°}{6}=60°$，
∴$△ OAB$和$△ OAF$都是等边三角形，
∴OB=OA=OF=AB=AF=4。
过点O作$OM ⊥ AB$，交AB于点M，
则在Rt$△ OMB$中，$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
$S_{△ AOF}=S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB · OM=\frac{1}{2} × 4 × 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
又
∵$∠ BOF = ∠ AOB + ∠ AOF = 120°$，
∴$S_{扇形BOF}=\frac{120 × π × 4^2}{360}=\frac{16π}{3}$，
∴阴影部分的面积为 $S_{扇形BOF}-S_{△ AOB}-S_{△ AOF}=\frac{16π}{3}-4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析，四边形BGEH为平行四边形；
(2) 阴影部分的面积为$\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$，辅助线图示：
【知识点】
正六边形的性质，平行四边形的判定，扇形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，将正多边形性质、全等三角形判定、平行四边形判定及不规则图形面积计算结合考查，解题关键是熟练掌握正六边形的性质，灵活运用割补法求解不规则图形的面积。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形BGEH是平行四边形，可通过“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”推导。首先利用正六边形各边相等、各内角相等的性质，结合已知CH=FG，先证△BCH≌△EFG得到BH=EG，再通过线段差得到DH=AG，证△DEH≌△ABG得到EH=BG，即可得证。
(2) 阴影为不规则图形，采用割补法计算：阴影面积=扇形BOF的面积 - △AOB的面积 - △AOF的面积。首先根据正六边形中心角为60°，推出△OAB、△OAF都是等边三角形，得到扇形半径和等边三角形边长，再分别计算扇形面积和两个等边三角形的面积，作差即可得到结果。
【解析】
(1)
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC=EF=CD=AF=AB=DE，∠C=∠D=∠DEF=∠EFA=∠FAB=∠ABC。
又
∵CH = FG，
∴$△ BCH ≌ △ EFG$（SAS），
∴BH = EG。
∵CD = AF，CH = FG，
∴CD - CH = AF - FG，即DH = AG，
∴$△ DEH ≌ △ ABG$（SAS），
∴EH = BG，
∴四边形BGEH是平行四边形。
(2) 如答图39，连接OB,OA,OF。
∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OB = OA = OF，$∠ AOB = ∠ AOF = \frac{360°}{6}=60°$，
∴$△ OAB$和$△ OAF$都是等边三角形，
∴OB=OA=OF=AB=AF=4。
过点O作$OM ⊥ AB$，交AB于点M，
则在Rt$△ OMB$中，$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
$S_{△ AOF}=S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB · OM=\frac{1}{2} × 4 × 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
又
∵$∠ BOF = ∠ AOB + ∠ AOF = 120°$，
∴$S_{扇形BOF}=\frac{120 × π × 4^2}{360}=\frac{16π}{3}$，
∴阴影部分的面积为 $S_{扇形BOF}-S_{△ AOB}-S_{△ AOF}=\frac{16π}{3}-4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析，四边形BGEH为平行四边形；
(2) 阴影部分的面积为$\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$，辅助线图示：
【知识点】
正六边形的性质，平行四边形的判定，扇形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，将正多边形性质、全等三角形判定、平行四边形判定及不规则图形面积计算结合考查，解题关键是熟练掌握正六边形的性质，灵活运用割补法求解不规则图形的面积。
【难度系数】
0.7
