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1. 若圆心O到直线l的距离等于$\odot O$的半径，则直线l与$\odot O$的位置关系是(
A.相交
B.相离
C.相切
D.无法确定
C
)。A.相交
B.相离
C.相切
D.无法确定
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆直线与圆的三种位置关系的判定方法：我们通过比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系，来判断直线和圆的位置关系。接下来对应题目给出的“圆心到直线的距离等于圆的半径”这一条件，直接匹配判定规则就能得出结论。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线$l$的距离为$d$。
由题意可知$d=r$，根据直线与圆的位置关系判定规则：
当$d＜r$时，直线与圆相交；
当$d=r$时，直线与圆相切；
当$d＞r$时，直线与圆相离。
因此直线$l$与$\odot O$的位置关系是相切，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查直线与圆位置关系的判定规则，熟练掌握圆心到直线的距离与半径的大小关系对应的三种位置关系即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆直线与圆的三种位置关系的判定方法：我们通过比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系，来判断直线和圆的位置关系。接下来对应题目给出的“圆心到直线的距离等于圆的半径”这一条件，直接匹配判定规则就能得出结论。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线$l$的距离为$d$。
由题意可知$d=r$，根据直线与圆的位置关系判定规则：
当$d＜r$时，直线与圆相交；
当$d=r$时，直线与圆相切；
当$d＞r$时，直线与圆相离。
因此直线$l$与$\odot O$的位置关系是相切，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查直线与圆位置关系的判定规则，熟练掌握圆心到直线的距离与半径的大小关系对应的三种位置关系即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 若直径为13 cm的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离d满足(
A.$ d=13 \ \mathrm{cm} $
B.$ d=6.5 \ \mathrm{cm} $
C.$ d＞6.5 \ \mathrm{cm} $
D.$ 0 \ \mathrm{cm} ≤ d ＜6.5 \ \mathrm{cm} $
D
).A.$ d=13 \ \mathrm{cm} $
B.$ d=6.5 \ \mathrm{cm} $
C.$ d＞6.5 \ \mathrm{cm} $
D.$ 0 \ \mathrm{cm} ≤ d ＜6.5 \ \mathrm{cm} $
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先我们需要先明确圆的半径长度，再结合直线与圆的位置关系的判定条件来推导圆心到直线的距离范围。第一步，根据已知的直径算出半径；第二步，回忆直线和圆有两个公共点对应的是相交的位置关系，明确相交时圆心到直线的距离d与半径r的大小关系；第三步，结合距离的非负性，最终确定d的取值范围，对应选出正确选项。
【解析】
已知圆的直径为13 cm，因此圆的半径$r=\frac{13}{2}=6.5$ cm。
直线与圆有两个公共点，说明直线和圆相交。根据直线与圆的位置关系判定规则：当圆心到直线的距离$d ＜ r$时，直线和圆相交，有两个公共点。
又因为圆心到直线的距离为非负数，即$d≥0$，因此$d$的取值范围是$0\ \mathrm{cm} ≤ d ＜ 6.5\ \mathrm{cm}$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 圆的直径与半径换算
【点评】
本题是基础概念应用题，只要熟练掌握直线与圆三种位置关系对应的距离和半径的大小关系，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先我们需要先明确圆的半径长度，再结合直线与圆的位置关系的判定条件来推导圆心到直线的距离范围。第一步，根据已知的直径算出半径；第二步，回忆直线和圆有两个公共点对应的是相交的位置关系，明确相交时圆心到直线的距离d与半径r的大小关系；第三步，结合距离的非负性，最终确定d的取值范围，对应选出正确选项。
【解析】
已知圆的直径为13 cm，因此圆的半径$r=\frac{13}{2}=6.5$ cm。
直线与圆有两个公共点，说明直线和圆相交。根据直线与圆的位置关系判定规则：当圆心到直线的距离$d ＜ r$时，直线和圆相交，有两个公共点。
又因为圆心到直线的距离为非负数，即$d≥0$，因此$d$的取值范围是$0\ \mathrm{cm} ≤ d ＜ 6.5\ \mathrm{cm}$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 圆的直径与半径换算
【点评】
本题是基础概念应用题，只要熟练掌握直线与圆三种位置关系对应的距离和半径的大小关系，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
3. 如图1，AB与$\odot O$相切于点A，连接BO并延长交$\odot O$于点C，连接AC.若$∠ B=28°$，则$∠ C$的度数为(
A.$28°$
B.$31°$
C.$36°$
D.$62°$
B
).A.$28°$
B.$31°$
C.$36°$
D.$62°$
答案
3. B
解析
【分析】
遇到切线相关的角度计算问题，首先想到切线的核心性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OA构造直角三角形，在直角三角形中求出∠AOB的度数；再结合同圆半径相等得到等腰三角形，最后利用三角形外角的性质即可推导出∠C的度数。
【解析】
连接OA，
∵AB与$\odot O$相切于点A，
∴OA⊥AB，即$∠ OAB=90°$，
在$Rt△ OAB$中，$∠ B=28°$，
∴$∠ AOB=90°-∠ B=90°-28°=62°$，
∵OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴OA=OC，即$△ OAC$为等腰三角形，
∴$∠ C=∠ OAC$，
又
∵$∠ AOB$是$△ AOC$的外角，
∴$∠ AOB=∠ C+∠ OAC=2∠ C$，
∴$∠ C=∠ AOB÷2=62°÷2=31°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题核心是掌握“见切线，连过切点的半径”的辅助线构造技巧，结合三角形的基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
遇到切线相关的角度计算问题，首先想到切线的核心性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OA构造直角三角形，在直角三角形中求出∠AOB的度数；再结合同圆半径相等得到等腰三角形，最后利用三角形外角的性质即可推导出∠C的度数。
【解析】
连接OA，
∵AB与$\odot O$相切于点A，
∴OA⊥AB，即$∠ OAB=90°$，
在$Rt△ OAB$中，$∠ B=28°$，
∴$∠ AOB=90°-∠ B=90°-28°=62°$，
∵OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴OA=OC，即$△ OAC$为等腰三角形，
∴$∠ C=∠ OAC$，
又
∵$∠ AOB$是$△ AOC$的外角，
∴$∠ AOB=∠ C+∠ OAC=2∠ C$，
∴$∠ C=∠ AOB÷2=62°÷2=31°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题核心是掌握“见切线，连过切点的半径”的辅助线构造技巧，结合三角形的基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图2，$\odot O$的半径是5，P是$\odot O$外一点，$OP=8$，以P为圆心的圆与$\odot O$相切，$\odot P$的半径是(
A.3
B.13
C.3或8
D.3或13
D
).A.3
B.13
C.3或8
D.3或13
答案
4. D
解析
【分析】
首先明确两圆相切包含外切和内切两种情况，需分类讨论求解。已知⊙O半径为5，P为⊙O外一点，OP=8，结合两圆相切时圆心距与两圆半径的数量关系，分别计算两种情况下⊙P的半径即可。
【解析】
两圆相切分为外切和内切两种情况：
1. 当⊙P与⊙O外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和，即：
$OP = r_O + r_P$
代入已知$OP=8$，$r_O=5$，得：
$r_P = OP - r_O = 8 - 5 = 3$
2. 当⊙P与⊙O内切时，因为P在⊙O外，此时⊙P包含⊙O，两圆的圆心距等于两圆半径之差，即：
$OP = r_P - r_O$
代入数据得：
$r_P = OP + r_O = 8 + 5 = 13$
综上，⊙P的半径为3或13。
【答案】
D
【知识点】
1. 两圆相切分类
2. 圆与圆位置关系判定
【点评】
本题易错点是忽略相切包含外切和内切两种情况，造成漏解，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免只考虑其中一种相切情况出错。
【难度系数】
0.7
首先明确两圆相切包含外切和内切两种情况，需分类讨论求解。已知⊙O半径为5，P为⊙O外一点，OP=8，结合两圆相切时圆心距与两圆半径的数量关系，分别计算两种情况下⊙P的半径即可。
【解析】
两圆相切分为外切和内切两种情况：
1. 当⊙P与⊙O外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和，即：
$OP = r_O + r_P$
代入已知$OP=8$，$r_O=5$，得：
$r_P = OP - r_O = 8 - 5 = 3$
2. 当⊙P与⊙O内切时，因为P在⊙O外，此时⊙P包含⊙O，两圆的圆心距等于两圆半径之差，即：
$OP = r_P - r_O$
代入数据得：
$r_P = OP + r_O = 8 + 5 = 13$
综上，⊙P的半径为3或13。
【答案】
D
【知识点】
1. 两圆相切分类
2. 圆与圆位置关系判定
【点评】
本题易错点是忽略相切包含外切和内切两种情况，造成漏解，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免只考虑其中一种相切情况出错。
【难度系数】
0.7
5. 中国凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境.如图3是一个凉亭的地基的平面示意图，可以近似地看作是半径为5 m的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（
A.20 m
B.15 m
C.25 m
D.30 m
D
）.A.20 m
B.15 m
C.25 m
D.30 m
答案
5. D
解析
【分析】
要计算圆内接正六边形的周长，首先需要明确正六边形的边长和外接圆半径的关系。回忆正多边形和圆的相关性质：圆内接正六边形的中心角为360°÷6=60°，连接正六边形的中心和相邻两个顶点，得到的三角形是等边三角形，因此正六边形的边长等于外接圆的半径，求出边长后乘以6即可得到周长。
【解析】
已知该正六边形是半径为5m的圆的内接正六边形，
∵ 圆内接正六边形的边长等于其外接圆的半径，
∴ 该正六边形的边长为5 m，
正六边形的周长 = 6 × 边长 = 6×5 = 30 m。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆；正六边形性质；周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆内接正六边形的边长等于外接圆半径这一核心性质，结合周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算圆内接正六边形的周长，首先需要明确正六边形的边长和外接圆半径的关系。回忆正多边形和圆的相关性质：圆内接正六边形的中心角为360°÷6=60°，连接正六边形的中心和相邻两个顶点，得到的三角形是等边三角形，因此正六边形的边长等于外接圆的半径，求出边长后乘以6即可得到周长。
【解析】
已知该正六边形是半径为5m的圆的内接正六边形，
∵ 圆内接正六边形的边长等于其外接圆的半径，
∴ 该正六边形的边长为5 m，
正六边形的周长 = 6 × 边长 = 6×5 = 30 m。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆；正六边形性质；周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆内接正六边形的边长等于外接圆半径这一核心性质，结合周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图4，P为$\odot O$外一点，PA，PB，MN分别切$\odot O$于A，B，C三点，且切线MN分别交PA，PB于点M，N. 若$PA=6$，则$△ PMN$的周长为(
A.6
B.8
C.12
D.18
C
).A.6
B.8
C.12
D.18
答案
6. C
解析
【分析】
本题可利用切线长定理求解，解题思路如下：1. 先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；2. 观察$△ PMN$的周长构成：周长$=PM+MN+PN$，其中$MN$可以拆分为$MC+CN$；3. 结合切线长定理，将$MC$替换为等长的$MA$，$CN$替换为等长的$NB$，再对周长的线段进行重组，即可转化为$PA+PB$的长度，而$PA$和$PB$是$P$引圆的两条切线，长度相等，代入数值即可算出周长。
【解析】
解：$\because PA、PB$分别切$\odot O$于$A、B$两点，根据切线长定理可得：$PB=PA=6$。
又$\because MA、MC$都是$\odot O$的切线，切点分别为$A、C$，$\therefore MA=MC$；
同理，$NB、NC$都是$\odot O$的切线，切点分别为$B、C$，$\therefore NB=NC$。
$△ PMN$的周长$=PM + MN + PN$
$= PM + MC + CN + PN$
将$MC=MA、CN=NB$代入上式得：
周长$= PM + MA + PN + NB = (PM+MA) + (PN+NB) = PA + PB = 6 + 6 = 12$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题是圆的切线相关的基础常考题，核心考查切线长定理的灵活应用，解题的关键是通过线段等量代换将三角形周长转化为两条切线长的和，熟练掌握定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题可利用切线长定理求解，解题思路如下：1. 先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；2. 观察$△ PMN$的周长构成：周长$=PM+MN+PN$，其中$MN$可以拆分为$MC+CN$；3. 结合切线长定理，将$MC$替换为等长的$MA$，$CN$替换为等长的$NB$，再对周长的线段进行重组，即可转化为$PA+PB$的长度，而$PA$和$PB$是$P$引圆的两条切线，长度相等，代入数值即可算出周长。
【解析】
解：$\because PA、PB$分别切$\odot O$于$A、B$两点，根据切线长定理可得：$PB=PA=6$。
又$\because MA、MC$都是$\odot O$的切线，切点分别为$A、C$，$\therefore MA=MC$；
同理，$NB、NC$都是$\odot O$的切线，切点分别为$B、C$，$\therefore NB=NC$。
$△ PMN$的周长$=PM + MN + PN$
$= PM + MC + CN + PN$
将$MC=MA、CN=NB$代入上式得：
周长$= PM + MA + PN + NB = (PM+MA) + (PN+NB) = PA + PB = 6 + 6 = 12$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题是圆的切线相关的基础常考题，核心考查切线长定理的灵活应用，解题的关键是通过线段等量代换将三角形周长转化为两条切线长的和，熟练掌握定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7. 如图5，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，分别与$AC$，$AB$相切于点$D$，$E$。若$∠ C=90°$，$AD=3$，$BE=10$，$\odot O$的半径为2，则$BC$的长为(
A.12
B.10
C.8
D.5
A
)。A.12
B.10
C.8
D.5
答案
7. A
解析
【分析】
解题时首先结合内切圆与三角形边相切的特征，优先运用切线长定理：从三角形同一顶点引内切圆的两条切线长度相等，可得AE=AD、BF=BE、CD=CF。其次利用∠C=90°，结合切线与半径垂直的性质，可证圆心O、直角顶点C以及两条直角边上的切点D、F构成正方形，因此CD=CF等于内切圆半径。最后将BC拆分为BF与CF的和，代入对应数值即可求出BC的长度。
【解析】
设$\odot O$与$BC$边相切于点$F$，连接$OD$、$OF$。
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D$、$E$、$F$，
∴根据切线长定理可得：$AE=AD=3$，$BF=BE=10$，$CD=CF$。
∵$∠ C=90°$，$OD⊥ AC$，$OF⊥ BC$，
∴$∠ ODC=∠ OFC=∠ C=90°$，
∴四边形$ODCF$是矩形，
又
∵$OD=OF=2$（都是$\odot O$的半径），
∴矩形$ODCF$是正方形，
∴$CF=OD=2$，
∴$BC=BF+CF=10+2=12$。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理；正方形的判定与性质；三角形内切圆的性质
【点评】
本题是内切圆性质应用的基础题型，解题核心是熟练掌握切线长定理，结合直角三角形的特征推出未知线段的长度，解题时注意辅助线的合理构造。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合内切圆与三角形边相切的特征，优先运用切线长定理：从三角形同一顶点引内切圆的两条切线长度相等，可得AE=AD、BF=BE、CD=CF。其次利用∠C=90°，结合切线与半径垂直的性质，可证圆心O、直角顶点C以及两条直角边上的切点D、F构成正方形，因此CD=CF等于内切圆半径。最后将BC拆分为BF与CF的和，代入对应数值即可求出BC的长度。
【解析】
设$\odot O$与$BC$边相切于点$F$，连接$OD$、$OF$。
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D$、$E$、$F$，
∴根据切线长定理可得：$AE=AD=3$，$BF=BE=10$，$CD=CF$。
∵$∠ C=90°$，$OD⊥ AC$，$OF⊥ BC$，
∴$∠ ODC=∠ OFC=∠ C=90°$，
∴四边形$ODCF$是矩形，
又
∵$OD=OF=2$（都是$\odot O$的半径），
∴矩形$ODCF$是正方形，
∴$CF=OD=2$，
∴$BC=BF+CF=10+2=12$。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理；正方形的判定与性质；三角形内切圆的性质
【点评】
本题是内切圆性质应用的基础题型，解题核心是熟练掌握切线长定理，结合直角三角形的特征推出未知线段的长度，解题时注意辅助线的合理构造。
【难度系数】
0.8
8. 如图6，BC与$\odot O$相切于点C，线段BO交$\odot O$于点A，过点A作$\odot O$的切线交BC于点D。若$CD=3$，$AB=4$，则$\odot O$的半径等于（
A.4
B.5
C.6
D.12
C
）。A.4
B.5
C.6
D.12
答案
8. C
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：AD和CD都是圆O的切线，首先想到切线长定理可得AD=CD；再根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可知AD⊥OB，即△ABD是直角三角形，用勾股定理可算出BD的长度，进而得到BC的总长度；接着设圆O的半径为r，结合BC是切线可得OC⊥BC，在Rt△OCB中再次运用勾股定理列方程，即可求解出半径长度。
【解析】
解：
∵AD、CD分别是⊙O的切线，切点分别为A、C
∴由切线长定理得：$AD=CD=3$，且$AD⊥OA$，$OC⊥BC$
∵点A在OB上，
∴$∠DAB=90°$，△ABD为直角三角形
在Rt△ABD中，$AB=4$，$AD=3$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∴$BC=BD+CD=5+3=8$
设⊙O的半径为$r$，则$OC=r$，$OB=AB+OA=4+r$
在Rt△OCB中，$∠OCB=90°$，由勾股定理得：
$OC^2+BC^2=OB^2$
代入数据得：$r^2+8^2=(r+4)^2$
展开化简：$r^2+64=r^2+8r+16$
解得：$8r=48$，$r=6$
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆相关计算的典型题型，将切线的性质与勾股定理结合考查，解题的关键是找准图中的直角三角形，结合方程思想求解，能较好地考查几何综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先观察已知条件：AD和CD都是圆O的切线，首先想到切线长定理可得AD=CD；再根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可知AD⊥OB，即△ABD是直角三角形，用勾股定理可算出BD的长度，进而得到BC的总长度；接着设圆O的半径为r，结合BC是切线可得OC⊥BC，在Rt△OCB中再次运用勾股定理列方程，即可求解出半径长度。
【解析】
解：
∵AD、CD分别是⊙O的切线，切点分别为A、C
∴由切线长定理得：$AD=CD=3$，且$AD⊥OA$，$OC⊥BC$
∵点A在OB上，
∴$∠DAB=90°$，△ABD为直角三角形
在Rt△ABD中，$AB=4$，$AD=3$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∴$BC=BD+CD=5+3=8$
设⊙O的半径为$r$，则$OC=r$，$OB=AB+OA=4+r$
在Rt△OCB中，$∠OCB=90°$，由勾股定理得：
$OC^2+BC^2=OB^2$
代入数据得：$r^2+8^2=(r+4)^2$
展开化简：$r^2+64=r^2+8r+16$
解得：$8r=48$，$r=6$
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆相关计算的典型题型，将切线的性质与勾股定理结合考查，解题的关键是找准图中的直角三角形，结合方程思想求解，能较好地考查几何综合运用能力。
【难度系数】
0.6
