化(如点的位置、线段的长短、角的大小),迁移第一问的解题步骤,针对变化的条件调整证明方法,验证结论是否延续或需修正,确保逻辑一致.
8. 阅读下列材料,完成相应学习任务:四点共圆的条件.
我们知道,过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆,那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗?小明经过实践探究发现:过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆.下面是小明运用反证法证明上述命题的过程.
已知:在四边形$ABCD$中,$∠ B+∠ D=180°$.
求证:过点$A,B,C,D$可作一个圆.
证明:假设过点$A,B,C,D$四点不能作一个圆,过$A,B,C$三点作圆.如图8,若点$D$在圆外,设$AD$与圆相交于点$E$,连接$CE$,则,而已知$∠ B+∠ D=180°$,所以$∠ AEC=∠ D$,而$∠ AEC$是$△ CED$的外角,$∠ AEC＞∠ D$,出现矛盾,故假设不成立,因此点$D$在过$A,B,C$三点的圆上.
如图9,若点$D$在圆内,……(请你补充完成省略部分的证明过程)
因此得到四点共圆的条件:过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆.
学习任务:
(1)材料中划线部分的结论是,依据是;
(2)请将图9的证明过程补全;
(3)如图10,在四边形$ABCD$中,$∠ ABC=∠ ADC=90°$,$∠ CAD=16°$,$AD=BD$,则$∠ ADB$的大小为$°$;
(4)如图11,已知正方形$ABCD$的边长为6,点$P$是$AB$边上的一个动点,连接$CP$,过点$P$作$PC$的垂线交$AD$于点$E$,以$PE$为边作正方形$PEFG$,顶点$G$在线段$PC$上,对角线$EG$,$PF$相交于点$O$.当点$P$从$A$运动到$B$时,点$O$也随之运动,求$O$经过的路径长.

8. (1) ∠B+∠AEC=180° 圆的内接四边形对角互补
(2) 若点D在圆内，设延长AD与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠E=180°。
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠E=∠ADC，而∠ADC是△CED的外角，∠ADC＞∠E，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A，B，C三点的圆上
(3) 32
(4) 如答图38，连接OA，OC。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°。又四边形PEFG也是正方形，对角线EG，PF相交于点O，
∴∠EOP=90°。
∴A，P，O，E四点共圆。又OE=OP，
∴∠OAE=∠OAP，
∵∠BAD=90°，
∴∠OAE=∠OAP=45°。
∴点O在AC上。当P在点A时，E与A重合，O与A重合，当P运动到点B时，PC=BC=6，PE⊥PC(E与A重合)，此时O为AC的中点，
∴点O经过的路径是AC的一半。又在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=6\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}AC=3\sqrt{2}$。
∴点O经过的路径长为$3\sqrt{2}$

【分析】
本题围绕四点共圆相关知识分层考查：
(1) 第一问考查圆内接四边形的基本性质，四边形ABCE是圆内接四边形，根据其对角互补的性质即可直接得到对应结论；
(2) 第二问是反证法的迁移应用，类比点D在圆外的证明思路，延长AD与圆交于点E构造圆内接四边形，再利用三角形外角性质推出矛盾，即可证明假设不成立；
(3) 第三问先根据两个直角判定四边形ABCD对角互补，得到四点共圆，再结合圆周角性质、等腰三角形角度关系计算目标角的度数；
(4) 第四问为动点轨迹问题，先根据两个90°角判定A、P、O、E四点共圆，结合正方形对角线的性质推出点O在正方形ABCD的对角线AC上，再确定P在端点A、B时O的位置，明确轨迹为AC的一半，最后计算长度即可。
【解析】
(1) 四边形ABCE是过A、B、C、E四点的圆的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ B+∠ AEC=180°$。
(2) 若点D在圆内，设延长AD与圆相交于点E，连接CE，则$∠ B+∠ E=180°$。
∵已知$∠ B+∠ ADC=180°$，
∴$∠ E=∠ ADC$，
而$∠ ADC$是$△ CED$的外角，根据三角形外角大于任意一个不相邻内角的性质，可得$∠ ADC＞∠ E$，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A，B，C三点的圆上。
(3)
∵四边形ABCD中，$∠ ABC=∠ ADC=90°$，
∴$∠ ABC+∠ ADC=180°$，即A、B、C、D四点共圆。
根据同弧所对的圆周角相等，得$∠ CBD=∠ CAD=16°$，
∵$AD=BD$，
∴$∠ DAB=∠ DBA$，
又
∵$∠ ABC=90°$，
∴$∠ DBA=90°-∠ CBD=90°-16°=74°$，
∴$∠ ADB=180°-2∠ DBA=180°-2×74°=32°$。
(4) 如答图38，连接OA，OC。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ BAD=90°$。又四边形PEFG也是正方形，对角线EG，PF相交于点O，
∴$∠ EOP=90°$，$OE=OP$。
∵$∠ EAP=∠ EOP=90°$，
∴A、P、O、E四点共圆，
∵$OE=OP$，
∴对应的圆周角$∠ OAE=∠ OAP$，
∵$∠ BAD=90°$，
∴$∠ OAE=∠ OAP=45°$，
∴点O在正方形ABCD的对角线AC上。
当P在点A时，E与A重合，O与A重合；当P运动到点B时，E与A重合，此时O为AC的中点，
∴点O经过的路径是AC的一半。
在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$，
∴路径长为$\frac{1}{2}AC=3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B+∠AEC=180°}$；圆的内接四边形对角互补
(2) 若点D在圆内，设延长AD与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠E=180°。
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠E=∠ADC，而∠ADC是△CED的外角，∠ADC＞∠E，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A，B，C三点的圆上
(3) $\boldsymbol{32}$
(4) 如答图38，连接OA，OC。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°。又四边形PEFG也是正方形，对角线EG，PF相交于点O，
∴∠EOP=90°。
∴A，P，O，E四点共圆。又OE=OP，
∴∠OAE=∠OAP，
∵∠BAD=90°，
∴∠OAE=∠OAP=45°。
∴点O在AC上。当P在点A时，E与A重合，O与A重合，当P运动到点B时，PC=BC=6，PE⊥PC(E与A重合)，此时O为AC的中点，
∴点O经过的路径是AC的一半。又在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=6\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}AC=3\sqrt{2}$。
∴点O经过的路径长为$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$

【知识点】
四点共圆的判定与性质，反证法，正方形的性质
【点评】
本题综合性较强，前两问聚焦四点共圆的反证法证明，考查类比迁移的逻辑推理能力；后两问结合圆周角性质、动点轨迹问题考查知识的灵活应用能力，解题的关键是熟练掌握四点共圆的判定条件，能快速提取动点的轨迹特征。
【难度系数】
0.6