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5. 某校举行象棋比赛实行单循环赛，即每个选手必须与其他选手比赛一场，并且规定：每局赢者得2分，输者得0分；如果平局，两个选手各得1分.经统计，全部选手总分为2 070分，试问：如果选手甲这次比赛共得90分，甲有无可能成为冠军？（
A.无可能
B.有可能
C.不能确定
D.一定能
D
）A.无可能
B.有可能
C.不能确定
D.一定能
答案
5. D
解析
【分析】
解题思路分三步：①先明确单循环赛中每局比赛无论胜负还是平局，对局双方总得分恒为2分，因此可通过总得分算出比赛总场次；②利用单循环赛总场次公式列方程求出参赛选手总人数；③计算选手参赛最多能获得的分数（即全胜得分），将甲的得分与最高得分对比，判断甲的排名情况。
首先由总得分=2×总场次算出总场次；再根据n个选手单循环总场次为$\frac{n(n-1)}{2}$列方程求参赛人数n；最后计算单个选手最高得分：每人参赛(n-1)场，全胜得2(n-1)分，对比甲的90分即可得出结论。
【解析】
解：①计算比赛总场次：
每局比赛不管结果如何，总得分均为2分（赢局：2+0=2，平局：1+1=2），已知全部选手总分为2070分，因此总场次为 $2070 ÷ 2 = 1035$ 场。
②求参赛选手总数：
设共有$n$名选手参赛，单循环赛总场次公式为$\frac{n(n-1)}{2}$，列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=1035$
整理得 $n^2 -n -2070=0$
因式分解得 $(n-46)(n+45)=0$
解得 $n=46$ 或 $n=-45$（人数不能为负，舍去），即共有46名选手。
③判断甲是否为冠军：
每名选手需与其余45名选手各赛1场，即最多参赛45场，全胜可得最高分为 $45 × 2 =90$ 分。
甲得分恰好为90分，说明甲取得了全胜的成绩，其余所有选手都至少输给甲1场，因此其余选手最多参赛44场且全胜，最高得分为 $44 × 2=88$ 分，小于90分，因此甲一定是冠军。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环赛制问题
【点评】
本题解题核心是抓住单循环赛中每局总得分固定为2分的隐藏条件，先通过总得分求出参赛人数，再对比最高得分即可得出结论，侧重考察逻辑推理能力和方程的实际应用。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：①先明确单循环赛中每局比赛无论胜负还是平局，对局双方总得分恒为2分，因此可通过总得分算出比赛总场次；②利用单循环赛总场次公式列方程求出参赛选手总人数；③计算选手参赛最多能获得的分数（即全胜得分），将甲的得分与最高得分对比，判断甲的排名情况。
首先由总得分=2×总场次算出总场次；再根据n个选手单循环总场次为$\frac{n(n-1)}{2}$列方程求参赛人数n；最后计算单个选手最高得分：每人参赛(n-1)场，全胜得2(n-1)分，对比甲的90分即可得出结论。
【解析】
解：①计算比赛总场次：
每局比赛不管结果如何，总得分均为2分（赢局：2+0=2，平局：1+1=2），已知全部选手总分为2070分，因此总场次为 $2070 ÷ 2 = 1035$ 场。
②求参赛选手总数：
设共有$n$名选手参赛，单循环赛总场次公式为$\frac{n(n-1)}{2}$，列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=1035$
整理得 $n^2 -n -2070=0$
因式分解得 $(n-46)(n+45)=0$
解得 $n=46$ 或 $n=-45$（人数不能为负，舍去），即共有46名选手。
③判断甲是否为冠军：
每名选手需与其余45名选手各赛1场，即最多参赛45场，全胜可得最高分为 $45 × 2 =90$ 分。
甲得分恰好为90分，说明甲取得了全胜的成绩，其余所有选手都至少输给甲1场，因此其余选手最多参赛44场且全胜，最高得分为 $44 × 2=88$ 分，小于90分，因此甲一定是冠军。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环赛制问题
【点评】
本题解题核心是抓住单循环赛中每局总得分固定为2分的隐藏条件，先通过总得分求出参赛人数，再对比最高得分即可得出结论，侧重考察逻辑推理能力和方程的实际应用。
【难度系数】
0.7
6. 古代有一道题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让.礼毕，共揖十五次.问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次）则诸侯共有
6
人.答案
6. 6
解析
【分析】
本题属于典型的“两两计数”类实际应用题，解题思路如下：首先明确每两个诸侯之间仅行一次礼，若设诸侯人数为x，那么每个诸侯需要和剩余(x-1)个诸侯各行礼1次，此时计算的总次数中每一次行礼都被两个诸侯各统计了1次，存在重复计算，因此实际总行礼次数应为$\frac{1}{2}x(x-1)$，再结合已知总行礼次数为15次，列一元二次方程求解即可，最后要注意人数为正整数，需舍去不符合实际意义的根。
【解析】
设诸侯共有$x$人。
根据题意，每两人相互行礼一次，总行礼次数为15次，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理方程得：
$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$。
因为人数不能为负数，所以舍去$x=-5$，即$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；计数类实际问题
【点评】
本题考查一元二次方程在实际计数场景中的应用，核心是准确理解“两两行礼不重复”的计数规则，建立正确的方程模型，求解后务必验证根是否符合实际意义，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题属于典型的“两两计数”类实际应用题，解题思路如下：首先明确每两个诸侯之间仅行一次礼，若设诸侯人数为x，那么每个诸侯需要和剩余(x-1)个诸侯各行礼1次，此时计算的总次数中每一次行礼都被两个诸侯各统计了1次，存在重复计算，因此实际总行礼次数应为$\frac{1}{2}x(x-1)$，再结合已知总行礼次数为15次，列一元二次方程求解即可，最后要注意人数为正整数，需舍去不符合实际意义的根。
【解析】
设诸侯共有$x$人。
根据题意，每两人相互行礼一次，总行礼次数为15次，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理方程得：
$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$。
因为人数不能为负数，所以舍去$x=-5$，即$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；计数类实际问题
【点评】
本题考查一元二次方程在实际计数场景中的应用，核心是准确理解“两两行礼不重复”的计数规则，建立正确的方程模型，求解后务必验证根是否符合实际意义，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
7. 春节期间，某群内的每个人都发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包.如果此次抢红包活动中，群内所有人共收到90个红包，那么该群一共有
10
人.答案
7. 10
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要理清总收到红包数和群人数之间的等量关系：假设群内有x人，每个人不能抢自己发的红包，因此每个人能收到其他(x-1)人发的红包，总收到的红包数就是人数乘以每人收到的红包数，据此列出一元二次方程求解即可，注意人数为正整数，要舍去不符合实际意义的根。
【解析】
解：设该群一共有$ x $人。
根据题意，每个人可收到除自己外其余$ (x-1) $人发的红包，因此所有人共收到的红包总数为$ x(x-1) $，可得方程：
$x(x-1)=90$
整理得：
$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：
$(x-10)(x+9)=0$
解得：$ x_1=10 $，$ x_2=-9 $。
由于人数不能为负数，故舍去$ x_2=-9 $，因此$ x=10 $。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的应用；列方程解应用题
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题的关键是正确理解题意，找准总红包数和人数之间的等量关系，解方程后需结合实际情况对根进行取舍，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要理清总收到红包数和群人数之间的等量关系：假设群内有x人，每个人不能抢自己发的红包，因此每个人能收到其他(x-1)人发的红包，总收到的红包数就是人数乘以每人收到的红包数，据此列出一元二次方程求解即可，注意人数为正整数，要舍去不符合实际意义的根。
【解析】
解：设该群一共有$ x $人。
根据题意，每个人可收到除自己外其余$ (x-1) $人发的红包，因此所有人共收到的红包总数为$ x(x-1) $，可得方程：
$x(x-1)=90$
整理得：
$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：
$(x-10)(x+9)=0$
解得：$ x_1=10 $，$ x_2=-9 $。
由于人数不能为负数，故舍去$ x_2=-9 $，因此$ x=10 $。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的应用；列方程解应用题
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题的关键是正确理解题意，找准总红包数和人数之间的等量关系，解方程后需结合实际情况对根进行取舍，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.7
8. 同一平面内两条直线相交最多有1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点.
(1)4条直线两两相交最多有
(2)多少条直线两两相交最多有28个交点？
(1)4条直线两两相交最多有
6
个交点；(2)多少条直线两两相交最多有28个交点？
答案
8. (1) 6 (2) 设n条直线两两相交最多有28个交点，由题意得$\frac{n(n-1)}{2}=28$，解得n=8
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先从简单情况归纳规律：要让交点最多，需保证任意两条直线都相交，且任意三条直线不共点。2条直线最多1个交点，增加第3条直线时，它和前2条都相交，新增2个交点，共3个；增加第4条直线时，它和前3条都相交，新增3个交点，以此类推，n条直线两两相交的最多交点数就是1+2+3+…+(n-1)，求和后可得公式为$\frac{n(n-1)}{2}$。
第(1)问直接将n=4代入公式计算即可；第(2)问设直线条数为n，根据交点总数为28列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
我们先通过归纳推导n条直线两两相交最多交点数的公式：
2条直线相交最多有$1=\frac{2×1}{2}$个交点；
3条直线两两相交最多有$1+2=3=\frac{3×2}{2}$个交点；
4条直线两两相交最多有$1+2+3=6=\frac{4×3}{2}$个交点；
由此可得，n条直线两两相交最多有$1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$个交点。
(1) 当$n=4$时，最多交点数为$\frac{4×(4-1)}{2}=6$；
(2) 设n条直线两两相交最多有28个交点，根据题意列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=28$
整理得：$n^2-n-56=0$
因式分解得：$(n-8)(n+7)=0$
解得$n_1=8$，$n_2=-7$
因为直线条数为正整数，所以舍去$n=-7$，即$n=8$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{8}$条
【知识点】
1. 直线相交交点计数规律
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先通过特殊情况归纳出n条直线两两相交最多交点数的通用公式，再利用公式求解具体问题，解方程时要注意结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，我们可以先从简单情况归纳规律：要让交点最多，需保证任意两条直线都相交，且任意三条直线不共点。2条直线最多1个交点，增加第3条直线时，它和前2条都相交，新增2个交点，共3个；增加第4条直线时，它和前3条都相交，新增3个交点，以此类推，n条直线两两相交的最多交点数就是1+2+3+…+(n-1)，求和后可得公式为$\frac{n(n-1)}{2}$。
第(1)问直接将n=4代入公式计算即可；第(2)问设直线条数为n，根据交点总数为28列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
我们先通过归纳推导n条直线两两相交最多交点数的公式：
2条直线相交最多有$1=\frac{2×1}{2}$个交点；
3条直线两两相交最多有$1+2=3=\frac{3×2}{2}$个交点；
4条直线两两相交最多有$1+2+3=6=\frac{4×3}{2}$个交点；
由此可得，n条直线两两相交最多有$1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$个交点。
(1) 当$n=4$时，最多交点数为$\frac{4×(4-1)}{2}=6$；
(2) 设n条直线两两相交最多有28个交点，根据题意列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=28$
整理得：$n^2-n-56=0$
因式分解得：$(n-8)(n+7)=0$
解得$n_1=8$，$n_2=-7$
因为直线条数为正整数，所以舍去$n=-7$，即$n=8$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{8}$条
【知识点】
1. 直线相交交点计数规律
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先通过特殊情况归纳出n条直线两两相交最多交点数的通用公式，再利用公式求解具体问题，解方程时要注意结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.75
9. 乒乓球是我们的国球,某班举行乒乓球赛,比赛采用单循环赛制(即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场),如图25.3-10是小米和小诚对比赛总场数的统计.
(1)小诚的说法有道理吗?请通过计算说明.
(2)赛后经查询,小米的统计正确.因为有一人身体不适,参加4场比赛后中途退赛,求原来有多少人参加比赛.
图25.3-10
(1)小诚的说法有道理吗?请通过计算说明.
(2)赛后经查询,小米的统计正确.因为有一人身体不适,参加4场比赛后中途退赛,求原来有多少人参加比赛.
图25.3-10
答案
(1) 小诚的说法有道理．理由如下：设有x人报名参赛，由题意，得$\frac{x(x-1)}{2}=32$，整理得$x^2 -x -64=0$．解得$x_1=\frac{1+\sqrt{257}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{257}}{2}$．$\because x_1$与$x_2$都不是整数，$\therefore$ 方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理
(2) 设原来有x人参加比赛，由题意，得$\frac{(x-1)(x-2)}{2}+4=32$，整理得$x^2 -3x -54=0$．解得$x_1=9$，$x_2=-6$(不符合题意，舍去)．$\therefore$ 原来有9人参加比赛
(2) 设原来有x人参加比赛，由题意，得$\frac{(x-1)(x-2)}{2}+4=32$，整理得$x^2 -3x -54=0$．解得$x_1=9$，$x_2=-6$(不符合题意，舍去)．$\therefore$ 原来有9人参加比赛
解析
【分析】
(1)要判断小诚说法是否正确，首先明确单循环赛总场数的计算规律：若有x名参赛者，每两人之间赛1场，总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$。我们可以假设总场数为32列方程，若方程的解不是正整数（参赛人数必须为正整数），就说明总场数不可能是32，小诚的说法有道理。
(2)已知实际总场数为32，有1人仅参加4场后退赛，说明剩余$x-1$人之间的单循环比赛全部完成，这部分场数为$\frac{(x-1)(x-2)}{2}$，再加上退赛人员参加的4场就等于总场数32，列方程求解后取正整数解即可。
【解析】
(1) 小诚的说法有道理，理由如下：
设有$x$人报名参赛，根据单循环赛总场数公式可得：
$\frac{x(x-1)}{2}=32$
整理得：$x^2 -x -64=0$
解得：$x_1=\frac{1+\sqrt{257}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{257}}{2}$
$\because x$代表参赛人数，必须为正整数，而两个解都不是整数，不符合实际意义
$\therefore$ 总场数不可能是32场，小诚的说法有道理。
(2) 设原来有$x$人参加比赛，中途退赛1人后，剩余$x-1$人之间的单循环赛场数为$\frac{(x-1)(x-2)}{2}$，加上退赛人员参加的4场总场数为32，列方程得：
$\frac{(x-1)(x-2)}{2}+4=32$
整理得：$x^2 -3x -54=0$
因式分解得：$(x-9)(x+6)=0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-6$
$\because$ 参赛人数不能为负数，故舍去$x_2=-6$
$\therefore$ 原来有9人参加比赛。
【答案】
(1) 小诚的说法有道理；
(2) 原来有9人参加比赛。
【知识点】
单循环赛制计算，一元二次方程求解，实际问题与方程
【点评】
本题结合体育比赛场景考查一元二次方程的实际应用，解题核心是掌握单循环赛的场数计算规律，同时要注意实际问题中方程的解要符合现实意义，能有效提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1)要判断小诚说法是否正确，首先明确单循环赛总场数的计算规律：若有x名参赛者，每两人之间赛1场，总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$。我们可以假设总场数为32列方程，若方程的解不是正整数（参赛人数必须为正整数），就说明总场数不可能是32，小诚的说法有道理。
(2)已知实际总场数为32，有1人仅参加4场后退赛，说明剩余$x-1$人之间的单循环比赛全部完成，这部分场数为$\frac{(x-1)(x-2)}{2}$，再加上退赛人员参加的4场就等于总场数32，列方程求解后取正整数解即可。
【解析】
(1) 小诚的说法有道理，理由如下：
设有$x$人报名参赛，根据单循环赛总场数公式可得：
$\frac{x(x-1)}{2}=32$
整理得：$x^2 -x -64=0$
解得：$x_1=\frac{1+\sqrt{257}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{257}}{2}$
$\because x$代表参赛人数，必须为正整数，而两个解都不是整数，不符合实际意义
$\therefore$ 总场数不可能是32场，小诚的说法有道理。
(2) 设原来有$x$人参加比赛，中途退赛1人后，剩余$x-1$人之间的单循环赛场数为$\frac{(x-1)(x-2)}{2}$，加上退赛人员参加的4场总场数为32，列方程得：
$\frac{(x-1)(x-2)}{2}+4=32$
整理得：$x^2 -3x -54=0$
因式分解得：$(x-9)(x+6)=0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-6$
$\because$ 参赛人数不能为负数，故舍去$x_2=-6$
$\therefore$ 原来有9人参加比赛。
【答案】
(1) 小诚的说法有道理；
(2) 原来有9人参加比赛。
【知识点】
单循环赛制计算，一元二次方程求解，实际问题与方程
【点评】
本题结合体育比赛场景考查一元二次方程的实际应用，解题核心是掌握单循环赛的场数计算规律，同时要注意实际问题中方程的解要符合现实意义，能有效提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
