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自主导学
| 类型 | 特点 | 常见实际问题 | n个元素情况下的总数 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 单循环 | 每两个元素之间算一次 | 握手问题、签合同问题、照相问题
|
| 双循环 | 每两个元素之间算两次 | 互赠贺卡、互发信息 |
| 多边形对角线 | 每两个元素之间算一次 | 凸n边形对角线条数问题 |
| 类型 | 特点 | 常见实际问题 | n个元素情况下的总数 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 单循环 | 每两个元素之间算一次 | 握手问题、签合同问题、照相问题
| $\frac{1}{2}n(n-1)$
|| 双循环 | 每两个元素之间算两次 | 互赠贺卡、互发信息 |
$n(n-1)$
|| 多边形对角线 | 每两个元素之间算一次 | 凸n边形对角线条数问题 |
$\frac{1}{2}n(n-1)$
|答案
单循环n个元素总数：$\frac{1}{2}n(n-1)$
双循环n个元素总数：$n(n-1)$
凸n边形对角线条数：$\frac{1}{2}n(n-1)$
双循环n个元素总数：$n(n-1)$
凸n边形对角线条数：$\frac{1}{2}n(n-1)$
解析
【分析】
这三类都属于常见的计数类应用问题，可通过分步计数思路推导公式：
1. 单循环问题：先考虑每个元素要和除自身外的其余n-1个元素各产生1次关联，初步计数为$n(n-1)$，但每两个元素的关联被重复统计了2次，而单循环要求每两个元素仅算1次，因此要除以2消去重复。
2. 双循环问题：每两个元素之间的两次关联是相互独立的（比如A给B发信息和B给A发信息是两个不同事件），不存在重复计数，因此直接保留$n(n-1)$即可。
3. 凸n边形对角线相关计数：本题按两两元素仅算1次的规则，和单循环计数逻辑一致，按对应规则推导即可。
【解析】
1. 单循环总数推导：
n个元素中，每个元素可与剩余$n-1$个元素产生1次互动，直接统计得$n(n-1)$，每对元素的互动被重复计算2次，单循环要求每对仅计1次，因此总数为：
$\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2}n(n-1)$
2. 双循环总数推导：
每对元素的两次互动为独立事件，无重复统计，因此总数为：
$n(n-1)$
3. 凸n边形对应计数推导：
n个顶点两两连线，每两点仅计1次，逻辑和单循环一致，因此总数为：
$\frac{1}{2}n(n-1)$
【答案】
$\frac{1}{2}n(n-1)$；$n(n-1)$；$\frac{1}{2}n(n-1)$
【知识点】
计数规律探究、列代数式、实际问题建模
【点评】
本题侧重考察生活中计数类问题的规律推导，核心是区分不同场景下是否存在重复计数，掌握单双循环的计数逻辑后可以快速解决握手、赠礼、几何计数等同类应用题。
【难度系数】
0.7
这三类都属于常见的计数类应用问题，可通过分步计数思路推导公式：
1. 单循环问题：先考虑每个元素要和除自身外的其余n-1个元素各产生1次关联，初步计数为$n(n-1)$，但每两个元素的关联被重复统计了2次，而单循环要求每两个元素仅算1次，因此要除以2消去重复。
2. 双循环问题：每两个元素之间的两次关联是相互独立的（比如A给B发信息和B给A发信息是两个不同事件），不存在重复计数，因此直接保留$n(n-1)$即可。
3. 凸n边形对角线相关计数：本题按两两元素仅算1次的规则，和单循环计数逻辑一致，按对应规则推导即可。
【解析】
1. 单循环总数推导：
n个元素中，每个元素可与剩余$n-1$个元素产生1次互动，直接统计得$n(n-1)$，每对元素的互动被重复计算2次，单循环要求每对仅计1次，因此总数为：
$\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2}n(n-1)$
2. 双循环总数推导：
每对元素的两次互动为独立事件，无重复统计，因此总数为：
$n(n-1)$
3. 凸n边形对应计数推导：
n个顶点两两连线，每两点仅计1次，逻辑和单循环一致，因此总数为：
$\frac{1}{2}n(n-1)$
【答案】
$\frac{1}{2}n(n-1)$；$n(n-1)$；$\frac{1}{2}n(n-1)$
【知识点】
计数规律探究、列代数式、实际问题建模
【点评】
本题侧重考察生活中计数类问题的规律推导，核心是区分不同场景下是否存在重复计数，掌握单双循环的计数逻辑后可以快速解决握手、赠礼、几何计数等同类应用题。
【难度系数】
0.7
例 某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都比赛一场).
(1)如果有4支球队参加比赛，那么共进行
(2)如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
解 (1) $\frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$(场).
故答案为6.
(2)设有$x$支球队参加比赛，
依题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=36$，
解得$x_1=9, x_2=-8$(不合题意，舍去).
因此，如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛.
方法感悟 单、双循环比赛：$n$支球队参赛，双循环总次数为$n(n-1)$，单循环总次数为$\frac{1}{2}n(n-1)$.
(1)如果有4支球队参加比赛，那么共进行
6
场比赛；(2)如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
解 (1) $\frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$(场).
故答案为6.
(2)设有$x$支球队参加比赛，
依题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=36$，
解得$x_1=9, x_2=-8$(不合题意，舍去).
因此，如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛.
方法感悟 单、双循环比赛：$n$支球队参赛，双循环总次数为$n(n-1)$，单循环总次数为$\frac{1}{2}n(n-1)$.
答案
(1). 6
(2). 设有$x$支球队参加比赛，依题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=36$，解得$x_1=9, x_2=-8$(不合题意，舍去)，因此有9支球队参加比赛。
(2). 设有$x$支球队参加比赛，依题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=36$，解得$x_1=9, x_2=-8$(不合题意，舍去)，因此有9支球队参加比赛。
解析
【分析】
本题考查单循环赛制的场次计算，解题核心是理解单循环的计数逻辑：每两队仅赛1场，若直接用队伍数乘每队需比赛的场次，每场比赛会被重复统计2次，因此总场次公式为$\frac{1}{2}n(n-1)$（n为参赛队伍数）。(1)问直接将队伍数4代入公式即可计算总场次；(2)问已知总场次，设参赛队伍数为x，代入公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
(1) 已知参赛队伍数n=4，代入单循环总场次公式：
$\frac{1}{2} × 4 × (4-1) = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$（场）
(2) 设有$x$支球队参加比赛，根据题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1) = 36$
整理得：$x^2 - x - 72 = 0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-8$
由于球队数量为正整数，因此$x=-8$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $\boxed{6}$
(2) $\boxed{9}$支
【知识点】
单循环比赛计数，一元二次方程的应用，实际问题验根
【点评】
本题是生活场景类的基础应用题，重点考查对重复计数逻辑的理解，解题时只要熟记单循环的场次计算公式，结合实际意义检验方程的根，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题考查单循环赛制的场次计算，解题核心是理解单循环的计数逻辑：每两队仅赛1场，若直接用队伍数乘每队需比赛的场次，每场比赛会被重复统计2次，因此总场次公式为$\frac{1}{2}n(n-1)$（n为参赛队伍数）。(1)问直接将队伍数4代入公式即可计算总场次；(2)问已知总场次，设参赛队伍数为x，代入公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
(1) 已知参赛队伍数n=4，代入单循环总场次公式：
$\frac{1}{2} × 4 × (4-1) = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$（场）
(2) 设有$x$支球队参加比赛，根据题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1) = 36$
整理得：$x^2 - x - 72 = 0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-8$
由于球队数量为正整数，因此$x=-8$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $\boxed{6}$
(2) $\boxed{9}$支
【知识点】
单循环比赛计数，一元二次方程的应用，实际问题验根
【点评】
本题是生活场景类的基础应用题，重点考查对重复计数逻辑的理解，解题时只要熟记单循环的场次计算公式，结合实际意义检验方程的根，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
1. 在数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次.若设参会学生有x名，则可列方程为(
A.$x(x+1)=253$
B.$x(x-1)=253$
C.$\frac{1}{2}x(x+1)=253$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=253$
D
).A.$x(x+1)=253$
B.$x(x-1)=253$
C.$\frac{1}{2}x(x+1)=253$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=253$
答案
1. D
解析
【分析】
首先明确握手问题的计数逻辑：每名学生都要和除自己之外的其他参会学生握手，若直接用总人数乘每人握手次数，每一次握手会被重复计算2次，因此需要除以2去掉重复计数的部分，再结合已知的总握手次数即可列出对应方程。
【解析】
设参会学生有x名：
1. 每名学生需要和除自己外的$(x-1)$名学生握手，若不考虑重复，总握手次数为$x(x-1)$次；
2. 由于每两名学生之间的1次握手被双向重复计算了2次（甲和乙握手、乙和甲握手属于同一次握手），因此实际握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；
3. 已知共握手253次，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=253$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；重复计数处理
【点评】
本题是典型的计数类应用题，解题核心是注意握手行为的双向性，避免重复计数，熟练掌握该类问题的模型后可以快速列方程求解。
【难度系数】
0.8
首先明确握手问题的计数逻辑：每名学生都要和除自己之外的其他参会学生握手，若直接用总人数乘每人握手次数，每一次握手会被重复计算2次，因此需要除以2去掉重复计数的部分，再结合已知的总握手次数即可列出对应方程。
【解析】
设参会学生有x名：
1. 每名学生需要和除自己外的$(x-1)$名学生握手，若不考虑重复，总握手次数为$x(x-1)$次；
2. 由于每两名学生之间的1次握手被双向重复计算了2次（甲和乙握手、乙和甲握手属于同一次握手），因此实际握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；
3. 已知共握手253次，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=253$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；重复计数处理
【点评】
本题是典型的计数类应用题，解题核心是注意握手行为的双向性，避免重复计数，熟练掌握该类问题的模型后可以快速列方程求解。
【难度系数】
0.8
2. 某社区计划组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要进行双循环比赛. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排5天，每天安排4场比赛. 设该社区邀请x个队参赛，则可列方程为(
A.$x(x+1)=4×5$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=4×5$
C.$x(x-1)=4×5$
D.$\frac{1}{2}x(x+1)=4×5$
C
).A.$x(x+1)=4×5$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=4×5$
C.$x(x-1)=4×5$
D.$\frac{1}{2}x(x+1)=4×5$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先计算出比赛的总场数，再结合双循环赛制的场次计算规则列出等量关系即可。首先根据赛程安排，5天每天4场，可直接求出总比赛场数为4×5；接下来明确双循环赛制的含义：每两个参赛队之间要进行2场比赛，x个队中每个队都要和其余(x-1)个队各赛2场，因此总场次可表示为x(x-1)，最后令两个表示总场次的式子相等即可列出方程。
【解析】
第一步：计算总比赛场数
已知赛程安排5天，每天安排4场比赛，因此总比赛场数为：$4×5=20$场。
第二步：计算双循环赛制下x个队的总场次
双循环赛制中，每两个队之间要进行2场比赛，每个参赛队需要和除自己之外的$(x-1)$个队各赛2场，因此x个队的总比赛场数为$x(x-1)$场。
第三步：列方程
根据总比赛场数相等，可列方程：$x(x-1)=4×5$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 比赛场次计算
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是比赛类实际应用的基础题型，解题核心是区分单循环和双循环赛制的场次计算逻辑，避免混淆是否需要除以2，找到总场次的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先计算出比赛的总场数，再结合双循环赛制的场次计算规则列出等量关系即可。首先根据赛程安排，5天每天4场，可直接求出总比赛场数为4×5；接下来明确双循环赛制的含义：每两个参赛队之间要进行2场比赛，x个队中每个队都要和其余(x-1)个队各赛2场，因此总场次可表示为x(x-1)，最后令两个表示总场次的式子相等即可列出方程。
【解析】
第一步：计算总比赛场数
已知赛程安排5天，每天安排4场比赛，因此总比赛场数为：$4×5=20$场。
第二步：计算双循环赛制下x个队的总场次
双循环赛制中，每两个队之间要进行2场比赛，每个参赛队需要和除自己之外的$(x-1)$个队各赛2场，因此x个队的总比赛场数为$x(x-1)$场。
第三步：列方程
根据总比赛场数相等，可列方程：$x(x-1)=4×5$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 比赛场次计算
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是比赛类实际应用的基础题型，解题核心是区分单循环和双循环赛制的场次计算逻辑，避免混淆是否需要除以2，找到总场次的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 暑假期间，某市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动. 活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出132份礼物，则参加此次活动的同学人数为(
A.10人
B.11人
C.12人
D.14人
C
).A.10人
B.11人
C.12人
D.14人
答案
3. C
解析
【分析】
这是一元二次方程的实际应用问题，解题时首先明确互赠礼物的规则：每名同学不需要给自己送礼物，因此每名同学要给其余（总人数-1）名同学各送1份礼物，总礼物数=总人数×每人送出的礼物数，据此列一元二次方程求解，最后结合人数为正整数的实际意义舍去不符合的根即可。
【解析】
设参加此次活动的同学人数为$ x $人。
由题意得，每名同学需向除自己外的$ (x-1) $人各送1份礼物，因此总送出礼物数为$ x(x-1) $份，可列方程：
$x(x-1)=132$
整理得：
$x^2 - x - 132 = 0$
因式分解得：
$(x-12)(x+11)=0$
解得：$ x_1=12 $，$ x_2=-11 $。
因为人数不能为负数，故舍去$ x_2=-11 $，即参加活动的同学人数为12人。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用；一元二次方程求解
【点评】
本题属于常见的生活类应用题，解题核心是准确理解“互赠礼物”的数量关系，注意和“握手问题”的区别（互赠礼物是双向计数，无需除以2），最后要验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一元二次方程的实际应用问题，解题时首先明确互赠礼物的规则：每名同学不需要给自己送礼物，因此每名同学要给其余（总人数-1）名同学各送1份礼物，总礼物数=总人数×每人送出的礼物数，据此列一元二次方程求解，最后结合人数为正整数的实际意义舍去不符合的根即可。
【解析】
设参加此次活动的同学人数为$ x $人。
由题意得，每名同学需向除自己外的$ (x-1) $人各送1份礼物，因此总送出礼物数为$ x(x-1) $份，可列方程：
$x(x-1)=132$
整理得：
$x^2 - x - 132 = 0$
因式分解得：
$(x-12)(x+11)=0$
解得：$ x_1=12 $，$ x_2=-11 $。
因为人数不能为负数，故舍去$ x_2=-11 $，即参加活动的同学人数为12人。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用；一元二次方程求解
【点评】
本题属于常见的生活类应用题，解题核心是准确理解“互赠礼物”的数量关系，注意和“握手问题”的区别（互赠礼物是双向计数，无需除以2），最后要验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
4. 若平面上不重合的n个点最多可以确定45条直线，则n的值是(
A.8
B.9
C.10
D.11
C
)。A.8
B.9
C.10
D.11
答案
4. C
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确平面上不重合的n个点确定最多直线的前提：任意三点不共线，若存在三点共线会减少确定的直线数量。接下来推导最多直线数的公式：每个点可与其余(n-1)个点各连1条直线，共得到n(n-1)条直线，但每条直线会被其两个端点各重复计算1次，因此最多可确定的直线数为$\frac{n(n-1)}{2}$。最后将最大直线数45代入公式，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到n的值。
【解析】
平面内不重合的n个点，当任意三点不共线时，确定的直线数量最多。
每个点可与剩余(n-1)个点连接形成直线，共统计得$n(n-1)$条，由于每条直线被重复计算2次，因此最多可确定直线的数量为：$\frac{n(n-1)}{2}$。
根据题意列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=45$
整理得：$n^2 -n -90=0$
因式分解得：$(n-10)(n+9)=0$
解得：$n_1=10$，$n_2=-9$
∵点的数量为正整数，
∴舍去$n=-9$，即$n=10$。
【答案】
C
【知识点】
1. 两点确定一条直线
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题考查直线性质的实际应用，解题关键是正确推导出n个点最多确定直线的数量公式，求解方程后需注意结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确平面上不重合的n个点确定最多直线的前提：任意三点不共线，若存在三点共线会减少确定的直线数量。接下来推导最多直线数的公式：每个点可与其余(n-1)个点各连1条直线，共得到n(n-1)条直线，但每条直线会被其两个端点各重复计算1次，因此最多可确定的直线数为$\frac{n(n-1)}{2}$。最后将最大直线数45代入公式，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到n的值。
【解析】
平面内不重合的n个点，当任意三点不共线时，确定的直线数量最多。
每个点可与剩余(n-1)个点连接形成直线，共统计得$n(n-1)$条，由于每条直线被重复计算2次，因此最多可确定直线的数量为：$\frac{n(n-1)}{2}$。
根据题意列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=45$
整理得：$n^2 -n -90=0$
因式分解得：$(n-10)(n+9)=0$
解得：$n_1=10$，$n_2=-9$
∵点的数量为正整数，
∴舍去$n=-9$，即$n=10$。
【答案】
C
【知识点】
1. 两点确定一条直线
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题考查直线性质的实际应用，解题关键是正确推导出n个点最多确定直线的数量公式，求解方程后需注意结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
