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4. 某景区2023年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为(
A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
B
).A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
答案
4. B
解析
【分析】这是一道平均增长率的应用题，解题核心是掌握平均增长率的等量关系：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ=增长n年后的量。首先明确已知量：2023年的游客量25万人是初始量，经过2年到2025年的游客量36万人是最终量，增长年数n=2。我们可设年平均增长率为x，代入等量关系列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负解即可得到正确结果。
【解析】设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x。
根据题意列方程：
$25(1+x)^2=36$
方程两边同时除以25，得：
$(1+x)^2=\frac{36}{25}$
开平方得：
$1+x=\pm\frac{6}{5}$
解得：
$x_1=\frac{6}{5}-1=0.2=20\%$，$x_2=-\frac{6}{5}-1=-2.2$（增长率不能为负，不符合实际，舍去）
因此年平均增长率为20%。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用；平均增长率计算
【点评】本题是平均增长率类基础常考题，解题关键是准确找到等量关系列方程，求解后要注意结合实际情况舍去不符合的解，牢记相关公式就能快速解答。
【难度系数】0.8
【解析】设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x。
根据题意列方程：
$25(1+x)^2=36$
方程两边同时除以25，得：
$(1+x)^2=\frac{36}{25}$
开平方得：
$1+x=\pm\frac{6}{5}$
解得：
$x_1=\frac{6}{5}-1=0.2=20\%$，$x_2=-\frac{6}{5}-1=-2.2$（增长率不能为负，不符合实际，舍去）
因此年平均增长率为20%。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用；平均增长率计算
【点评】本题是平均增长率类基础常考题，解题关键是准确找到等量关系列方程，求解后要注意结合实际情况舍去不符合的解，牢记相关公式就能快速解答。
【难度系数】0.8
5. 近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降.某药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则可列出方程
160(1-x)²=40
.答案
5. 160(1-x)²=40
解析
【分析】
这是一道降价百分率的应用题，解题时先明确每次降价的计算基数：第一次降价是在原价160元的基础上下降x，降价后的价格为原价乘(1-降价百分率)；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再下降x，因此第二次降价后的价格为第一次降价后的价格再乘(1-降价百分率)，最后结合两次降价后售价为40元即可列出方程。
【解析】
第一步：计算第一次降价后的药品价格：
原价为160元，平均每次降价百分率为x，因此第一次降价后每盒价格为$\boldsymbol{160(1-x)}$元。
第二步：计算第二次降价后的药品价格：
第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此第二次降价后每盒价格为$160(1-x) × (1-x) = \boldsymbol{160(1-x)^2}$元。
第三步：根据两次降价后价格为40元列等式：
可得方程$160(1-x)^2=40$。
【答案】
$160(1-x)^2=40$
【知识点】
降价率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于百分率变化类基础应用题，解题核心是明确每次价格调整的基数，掌握“变化后量=变化前量×(1±变化率)^变化次数”的通用公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道降价百分率的应用题，解题时先明确每次降价的计算基数：第一次降价是在原价160元的基础上下降x，降价后的价格为原价乘(1-降价百分率)；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再下降x，因此第二次降价后的价格为第一次降价后的价格再乘(1-降价百分率)，最后结合两次降价后售价为40元即可列出方程。
【解析】
第一步：计算第一次降价后的药品价格：
原价为160元，平均每次降价百分率为x，因此第一次降价后每盒价格为$\boldsymbol{160(1-x)}$元。
第二步：计算第二次降价后的药品价格：
第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此第二次降价后每盒价格为$160(1-x) × (1-x) = \boldsymbol{160(1-x)^2}$元。
第三步：根据两次降价后价格为40元列等式：
可得方程$160(1-x)^2=40$。
【答案】
$160(1-x)^2=40$
【知识点】
降价率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于百分率变化类基础应用题，解题核心是明确每次价格调整的基数，掌握“变化后量=变化前量×(1±变化率)^变化次数”的通用公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 某网络学习平台2023年的新注册用户数为100万，2025年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为$ x(x＞0) $，则$ x= $
30%
(用百分数表示).答案
6. 30%
解析
【分析】
这是平均增长率类的应用题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的核心等量关系：初始量×(1+年平均增长率)^增长年数=最终量。本题中2023年新注册用户数为初始量100万，2023年到2025年间隔2年，即增长年数为2，最终量是2025年的169万，代入等量关系可列出关于x的一元二次方程；接着解方程，注意增长率x＞0，要舍去不符合实际意义的负根；最后将求得的小数结果转化为百分数即可。
【解析】
2023年到2025年共经过2年，根据平均增长率公式列方程：
$100(1+x)^2=169$
方程两边同时除以100，得：
$(1+x)^2=1.69$
开平方得：
$1+x=\pm1.3$
因为$x＞0$，所以$1+x＞0$，舍去负根$1+x=-1.3$，仅取$1+x=1.3$，解得：
$x=1.3-1=0.3$
转化为百分数：$0.3×100\%=30\%$
【答案】
30%
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率问题
【点评】
本题是增长率类的基础题型，重点考查对平均增长率等量关系的掌握，解题时需注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.85
这是平均增长率类的应用题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的核心等量关系：初始量×(1+年平均增长率)^增长年数=最终量。本题中2023年新注册用户数为初始量100万，2023年到2025年间隔2年，即增长年数为2，最终量是2025年的169万，代入等量关系可列出关于x的一元二次方程；接着解方程，注意增长率x＞0，要舍去不符合实际意义的负根；最后将求得的小数结果转化为百分数即可。
【解析】
2023年到2025年共经过2年，根据平均增长率公式列方程：
$100(1+x)^2=169$
方程两边同时除以100，得：
$(1+x)^2=1.69$
开平方得：
$1+x=\pm1.3$
因为$x＞0$，所以$1+x＞0$，舍去负根$1+x=-1.3$，仅取$1+x=1.3$，解得：
$x=1.3-1=0.3$
转化为百分数：$0.3×100\%=30\%$
【答案】
30%
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率问题
【点评】
本题是增长率类的基础题型，重点考查对平均增长率等量关系的掌握，解题时需注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.85
7. 某超市购进甲、乙两种商品，2023年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2025年每件的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2025年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2025年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品.
答案
7. (1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据题意得125(1-x)²=80，解得x₁=0.2=20%，x₂=1.8(不符合题意，舍去). 因此，乙种商品每件进价的年平均下降率为20%
(2)设购进y件甲种商品，则购进(100-y)件乙种商品，根据题意得(125-25×2)y+80(100-y)≤7 800，解得y≥40，
∴y的最小值为40. 因此，最少购进40件甲种商品
(2)设购进y件甲种商品，则购进(100-y)件乙种商品，根据题意得(125-25×2)y+80(100-y)≤7 800，解得y≥40，
∴y的最小值为40. 因此，最少购进40件甲种商品
解析
【分析】
(1) 对于下降率问题，通用公式为：最终值=初始值×(1-下降率)^n，其中n为变化的年数。本题中乙商品2023年进价（初始值）为125元，2025年（经过2年）进价为80元，设下降率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意下降率的取值范围是0＜x＜1，需舍去不符合实际的根。
(2) 首先计算2025年甲商品的进价：2023到2025共2年，每年进价降25元，因此2025年甲进价为125-2×25=75元。本题存在不等关系：购进甲的总费用+购进乙的总费用≤7800元，设购进甲商品y件，则乙为(100-y)件，代入不等关系列一元一次不等式，解不等式后取最小正整数解即为甲的最少购进数量。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据题意列方程：
$125(1-x)^2=80$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（下降率不能大于1，不符合题意，舍去）。
(2) 2025年甲种商品的每件进价为$125-25×2=75$元。
设购进y件甲种商品，则购进乙种商品$(100-y)$件，根据总资金不超过7800元列不等式：
$75y + 80(100-y) ≤ 7800$
解得$y≥40$，因此y的最小值为40。
【答案】
(1) 乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
(2) 最少购进40件甲种商品。
【知识点】
1. 一元二次方程增长率应用
2. 一元一次不等式实际应用
【点评】
本题属于实际应用类常规题型，考查将实际问题转化为数学方程、不等式的能力，解题时需注意变化率的取值合理性，以及不等式的解要符合实际场景要求。
【难度系数】
0.8
(1) 对于下降率问题，通用公式为：最终值=初始值×(1-下降率)^n，其中n为变化的年数。本题中乙商品2023年进价（初始值）为125元，2025年（经过2年）进价为80元，设下降率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意下降率的取值范围是0＜x＜1，需舍去不符合实际的根。
(2) 首先计算2025年甲商品的进价：2023到2025共2年，每年进价降25元，因此2025年甲进价为125-2×25=75元。本题存在不等关系：购进甲的总费用+购进乙的总费用≤7800元，设购进甲商品y件，则乙为(100-y)件，代入不等关系列一元一次不等式，解不等式后取最小正整数解即为甲的最少购进数量。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据题意列方程：
$125(1-x)^2=80$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（下降率不能大于1，不符合题意，舍去）。
(2) 2025年甲种商品的每件进价为$125-25×2=75$元。
设购进y件甲种商品，则购进乙种商品$(100-y)$件，根据总资金不超过7800元列不等式：
$75y + 80(100-y) ≤ 7800$
解得$y≥40$，因此y的最小值为40。
【答案】
(1) 乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
(2) 最少购进40件甲种商品。
【知识点】
1. 一元二次方程增长率应用
2. 一元一次不等式实际应用
【点评】
本题属于实际应用类常规题型，考查将实际问题转化为数学方程、不等式的能力，解题时需注意变化率的取值合理性，以及不等式的解要符合实际场景要求。
【难度系数】
0.8
8. 某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售.为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果的销售量$y$(单位:kg)与每千克降价$x$(单位:元)($0＜x＜20$)之间满足一次函数关系，其图象如图25.3-9所示.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
答案
(1) 设y关于x的函数解析式为y=kx+b，当x=2，y=120；当x=4，y=140。
∴$\begin{cases}2k+b=120,\\4k+b=140.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=10,\\b=100.\end{cases}$
∴y关于x的函数解析式为y=10x+100
(2) 由题意得$(60-40-x)·(10x+100)=2\ 090$，整理得$x^2-10x+9=0$，解得$x_1=1,x_2=9$。
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x=9。因此，商贸公司要想获利2 090元，则这种干果每千克应降价9元。
∴$\begin{cases}2k+b=120,\\4k+b=140.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=10,\\b=100.\end{cases}$
∴y关于x的函数解析式为y=10x+100
(2) 由题意得$(60-40-x)·(10x+100)=2\ 090$，整理得$x^2-10x+9=0$，解得$x_1=1,x_2=9$。
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x=9。因此，商贸公司要想获利2 090元，则这种干果每千克应降价9元。
解析
【分析】
(1) 求一次函数解析式使用待定系数法，先从图象中提取两组x、y的对应值：x=2时y=120，x=4时y=140，将两组值代入一次函数一般式$y=kx+b$，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b即可得到函数解析式，注意x的取值范围为$0＜x＜20$。
(2) 销售总利润=每千克利润×销售量，每千克利润为原售价减进价再减去降价金额，即$(60-40-x)$元，销售量为第一问求得的y的表达式，两者乘积等于2090元，列出一元二次方程求解后，结合“让顾客得到更大实惠”的要求，选择降价更多的解即可。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
由图象可知：当$x=2$时，$y=120$；当$x=4$时，$y=140$，
代入得：$\begin{cases}2k+b=120\\4k+b=140\end{cases}$，
解得：$\begin{cases}k=10\\b=100\end{cases}$，
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=10x+100\ (0＜x＜20)$。
(2) 根据总利润的等量关系列方程：
$(60-40-x)(10x+100)=2090$，
整理得：$x^2-10x+9=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=9$，
∵要让顾客得到更大的实惠，应选择降价更多的方案，
∴$x=9$。
【答案】
(1) $y=10x+100\ (0＜x＜20)$；
(2) 9元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；销售利润问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合一次函数与一元二次方程解决实际销售问题，既考查了函数解析式的求解方法，也考查了利润问题的数量关系应用，解题时要注意结合实际情境对解进行取舍。
【难度系数】
0.7
(1) 求一次函数解析式使用待定系数法，先从图象中提取两组x、y的对应值：x=2时y=120，x=4时y=140，将两组值代入一次函数一般式$y=kx+b$，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b即可得到函数解析式，注意x的取值范围为$0＜x＜20$。
(2) 销售总利润=每千克利润×销售量，每千克利润为原售价减进价再减去降价金额，即$(60-40-x)$元，销售量为第一问求得的y的表达式，两者乘积等于2090元，列出一元二次方程求解后，结合“让顾客得到更大实惠”的要求，选择降价更多的解即可。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
由图象可知：当$x=2$时，$y=120$；当$x=4$时，$y=140$，
代入得：$\begin{cases}2k+b=120\\4k+b=140\end{cases}$，
解得：$\begin{cases}k=10\\b=100\end{cases}$，
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=10x+100\ (0＜x＜20)$。
(2) 根据总利润的等量关系列方程：
$(60-40-x)(10x+100)=2090$，
整理得：$x^2-10x+9=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=9$，
∵要让顾客得到更大的实惠，应选择降价更多的方案，
∴$x=9$。
【答案】
(1) $y=10x+100\ (0＜x＜20)$；
(2) 9元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；销售利润问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合一次函数与一元二次方程解决实际销售问题，既考查了函数解析式的求解方法，也考查了利润问题的数量关系应用，解题时要注意结合实际情境对解进行取舍。
【难度系数】
0.7
9. 某钢铁厂一月份生产钢铁560 t，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1 860 t，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（
A.$560(1+x)^2=1\ 860$
B.$560+560(1+x)+560(1+2x)=1\ 860$
C.$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1\ 860$
D.$560+560(1+2x)^2=1\ 860$
C
）。A.$560(1+x)^2=1\ 860$
B.$560+560(1+x)+560(1+2x)=1\ 860$
C.$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1\ 860$
D.$560+560(1+2x)^2=1\ 860$
答案
9. C
解析
【分析】
解题时首先要明确第一季度是一月、二月、三月共3个月的产量总和，再结合月平均增长率的计算规则依次表示出每个月的钢铁产量：①一月产量已知为560t；②二月产量是在一月基础上增长x，即560(1+x)；③三月产量是在二月基础上增长x，即560(1+x)²。最后根据三个月总产量为1860t的等量关系列方程，再对应选项判断即可。
【解析】
已知一月生产钢铁560t，月平均增长率为x：
1. 二月份的产量为：$560(1+x)$ t
2. 三月份的产量为：$560(1+x) × (1+x) = 560(1+x)^2$ t
3. 第一季度总产量为一月、二月、三月产量之和，共1860t，因此列方程得：
$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用；平均增长率问题
【点评】
本题属于增长率类基础应用题，解题的关键是准确梳理每个时间段的产量表达式，注意不要遗漏一月份的产量，也不要将复利式的增长率错误计算为线性增长。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确第一季度是一月、二月、三月共3个月的产量总和，再结合月平均增长率的计算规则依次表示出每个月的钢铁产量：①一月产量已知为560t；②二月产量是在一月基础上增长x，即560(1+x)；③三月产量是在二月基础上增长x，即560(1+x)²。最后根据三个月总产量为1860t的等量关系列方程，再对应选项判断即可。
【解析】
已知一月生产钢铁560t，月平均增长率为x：
1. 二月份的产量为：$560(1+x)$ t
2. 三月份的产量为：$560(1+x) × (1+x) = 560(1+x)^2$ t
3. 第一季度总产量为一月、二月、三月产量之和，共1860t，因此列方程得：
$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用；平均增长率问题
【点评】
本题属于增长率类基础应用题，解题的关键是准确梳理每个时间段的产量表达式，注意不要遗漏一月份的产量，也不要将复利式的增长率错误计算为线性增长。
【难度系数】
0.8
