19. 如图,已知 $ \angle A= \angle CDG $,$ \angle BDG+\angle BFE= 180^{\circ} $,试说明：$ \angle ABD= \angle E $.

$\because \angle A=\angle CDG,\therefore AB// DG,\therefore \angle ABD=\angle BDG,\angle E=\angle AFE,\because \angle BDG+\angle BFE=180^{\circ },\therefore \angle ABD+\angle BFE=180^{\circ },\therefore EF// BD,\therefore \angle AFE=\angle ABD,\therefore \angle ABD=\angle E.$

20. 根据要求,完成下面的证明过程.
如图,点 $ B $,$ F $,$ C $,$ E $ 在一条直线上,$ BF= CE $,$ OA= OD $,$ AC// FD $,$ AD $ 交 $ BE $ 于 $ O $. 求证：$ AB// DE $.
证明：因为 $ AC// FD $,
所以 $ \angle CAO= \angle FDO $(______),
在 $ \triangle ACO $ 与 $ \triangle DFO $ 中,
$ \begin{cases} \angle CAO= \angle FDO, \\ AO= DO, \\ \angle COA= \angle FOD, \end{cases} $
所以 $ \triangle ACO≌\triangle DFO $(______),
所以 $ OF= OC $(______),
又因为 $ BF= CE $,
所以 $ BF+ $______$ =CE+ $______,
所以 $ BO= EO $,
在 $ \triangle ABO $ 与 $ \triangle DEO $ 中,
$ \begin{cases} BO= EO, \\ \angle AOB= \angle DOE, \\ OA= OD, \end{cases} $
所以 $ \triangle ABO≌\triangle DEO $(______),
所以 ______,
所以 $ AB// DE $(______).

两直线平行,内错角相等 ASA 全等三角形的对应边相等 OF OC SAS $\angle B=\angle E$ 内错角相等,两直线平行

21. 【问题情境】
我们身边很多事物都蕴含着数学知识,班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对儿童公园内的摩天轮进行实地调研. 摩天轮上均匀分布 $ 60 $ 个吊舱,顺时针旋转一周需要 $ 20 $ 分钟.

【实践过程】
小组成员使用秒表和手机的测距功能,记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度 $ (h) $ 和所用的时间 $ (x) $ 的数据,并绘制成如图 $ 1 $.
【问题研究】
请根据图 $ 1 $ 中信息回答：
(1)在这个变化过程中,自变量是______,因变量是______.
(2)摩天轮最高点距地面______米,摩天轮最低点距地面______米.
【问题解决】
(3)如图 $ 2 $,摩天轮某个吊舱从点 $ A $ 旋转到点 $ B $ 需 $ 5 $ 分钟,求出这个吊舱从点 $ A $ 顺时针旋转到点 $ B $ 所走的路径的长度.(结果保留 $ \pi $)

(1) $x$ $h$ (2) 103 3 (3) $25\pi$