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14.(本小题满分8分)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=∠ ABC$,$BE\bot AC$于点$E$,点$D$在$AB$上,且$△ BDE$是等边三角形,求$∠ C$的度数.
答案
14. 解: $\because △ BDE$ 是等边三角形, $\therefore ∠ DBE = 60°$.
$\because BE ⊥ AC, \therefore ∠ BEA = 90°. \therefore ∠ A = 90° - ∠ DBE = 30°. \because ∠ C = ∠ ABC, \therefore ∠ C = \frac{180° - ∠ A}{2} = 75°$.
$\because BE ⊥ AC, \therefore ∠ BEA = 90°. \therefore ∠ A = 90° - ∠ DBE = 30°. \because ∠ C = ∠ ABC, \therefore ∠ C = \frac{180° - ∠ A}{2} = 75°$.
解析
【分析】
解题时先从已知的特殊三角形入手，首先△BDE是等边三角形，根据等边三角形内角为60°的性质可得到∠DBE的度数；再结合BE⊥AC的条件，可知△ABE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠A的度数；最后在△ABC中，已知∠C=∠ABC，结合三角形内角和为180°的性质，就能计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵△BDE是等边三角形，
∴∠DBE = 60°。
∵BE⊥AC，
∴∠BEA = 90°，
∴∠A = 90° - ∠DBE = 30°。
∵∠C = ∠ABC，三角形内角和为180°，
∴∠C = $\frac{180° - ∠A}{2}$ = $\frac{180° - 30°}{2}$ = 75°。
【答案】
$75°$
【知识点】
等边三角形的性质；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题核心是依次利用特殊三角形的性质逐步推导未知角的度数，逻辑链条清晰，属于基础得分题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的特殊三角形入手，首先△BDE是等边三角形，根据等边三角形内角为60°的性质可得到∠DBE的度数；再结合BE⊥AC的条件，可知△ABE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠A的度数；最后在△ABC中，已知∠C=∠ABC，结合三角形内角和为180°的性质，就能计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵△BDE是等边三角形，
∴∠DBE = 60°。
∵BE⊥AC，
∴∠BEA = 90°，
∴∠A = 90° - ∠DBE = 30°。
∵∠C = ∠ABC，三角形内角和为180°，
∴∠C = $\frac{180° - ∠A}{2}$ = $\frac{180° - 30°}{2}$ = 75°。
【答案】
$75°$
【知识点】
等边三角形的性质；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题核心是依次利用特殊三角形的性质逐步推导未知角的度数，逻辑链条清晰，属于基础得分题型。
【难度系数】
0.7
15.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,点A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3).
(1)求△ABC的面积;
(2)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A₁B₁C₁;
(3)写出点A₁,B₁,C₁的坐标.
(1)求△ABC的面积;
(2)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A₁B₁C₁;
(3)写出点A₁,B₁,C₁的坐标.
答案
15. 解:(1)$\because A(-1,5),B(-1,0), \therefore AB = 5, AB // y$ 轴. $\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{15}{2}$. (2)如图, $△ A_1 B_1 C_1$ 即为所求作。
(3)$A_1(1,5),B_1(1,0),C_1(4,3)$.解析
【分析】
(1) 求△ABC的面积时，先观察A、B两点坐标特征：横坐标相同，说明线段AB与y轴平行，可直接用纵坐标之差求出AB的长度作为底；再看点C到AB的水平距离作为高，代入三角形面积公式即可求解。
(2) 作关于y轴对称的图形，依据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，先找到A、B、C三点的对称点，再依次连接三点即可得到对应图形。
(3) 直接利用y轴对称的点的坐标变化规律，将原三点的横坐标取相反数、纵坐标保持不变，就能写出对应对称点的坐标。
【解析】
(1) 已知点A(-1,5)，B(-1,0)，两点横坐标相等，因此线段AB平行于y轴，AB的长度为$|5-0|=5$。
点C到AB的距离为两点横坐标差的绝对值：$|-1 - (-4)|=3$，即△ABC中AB边上的高为3。
根据三角形面积公式，得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{15}{2}$。
(2) 分别确定点A、B、C关于y轴的对称点：将三点的横坐标变为相反数，纵坐标不变，得到A₁、B₁、C₁，再顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
(3) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变。
由A(-1,5)得A₁(1,5)；由B(-1,0)得B₁(1,0)；由C(-4,3)得C₁(4,3)。
【答案】
(1)$\frac{15}{2}$
(2)如图, $△ A_1 B_1 C_1$ 即为所求作。
(3)$A_1(1,5),B_1(1,0),C_1(4,3)$
【知识点】
三角形面积计算，轴对称的坐标特征，轴对称作图
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查坐标系中几何图形的面积计算、轴对称变换的作图及坐标变化规律，掌握关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 求△ABC的面积时，先观察A、B两点坐标特征：横坐标相同，说明线段AB与y轴平行，可直接用纵坐标之差求出AB的长度作为底；再看点C到AB的水平距离作为高，代入三角形面积公式即可求解。
(2) 作关于y轴对称的图形，依据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，先找到A、B、C三点的对称点，再依次连接三点即可得到对应图形。
(3) 直接利用y轴对称的点的坐标变化规律，将原三点的横坐标取相反数、纵坐标保持不变，就能写出对应对称点的坐标。
【解析】
(1) 已知点A(-1,5)，B(-1,0)，两点横坐标相等，因此线段AB平行于y轴，AB的长度为$|5-0|=5$。
点C到AB的距离为两点横坐标差的绝对值：$|-1 - (-4)|=3$，即△ABC中AB边上的高为3。
根据三角形面积公式，得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{15}{2}$。
(2) 分别确定点A、B、C关于y轴的对称点：将三点的横坐标变为相反数，纵坐标不变，得到A₁、B₁、C₁，再顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
(3) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变。
由A(-1,5)得A₁(1,5)；由B(-1,0)得B₁(1,0)；由C(-4,3)得C₁(4,3)。
【答案】
(1)$\frac{15}{2}$
(2)如图, $△ A_1 B_1 C_1$ 即为所求作。
(3)$A_1(1,5),B_1(1,0),C_1(4,3)$
【知识点】
三角形面积计算，轴对称的坐标特征，轴对称作图
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查坐标系中几何图形的面积计算、轴对称变换的作图及坐标变化规律，掌握关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键。
【难度系数】
0.8
16.(本小题满分12分)如图,已知点P在∠AOB的内部,且点P与点M关于OA对称,PM交OA于点Q,点P与点N关于OB对称,PN交OB于点R,MN分别交OA,OB于点E,F.
(1)连接PE,PF,若MN=15,求△PEF的周长;
(2)若PM=PN,求证:OP平分∠AOB.
(1)连接PE,PF,若MN=15,求△PEF的周长;
(2)若PM=PN,求证:OP平分∠AOB.
答案
16.(1) 解: $\because$ 点 P 与点 M 关于 OA 对称, $\therefore ME = PE$. 同理可得 $FN = PF$. $\therefore △ PEF$ 的周长为 $PE + PF + EF = ME + FN + EF = MN = 15$. (2) 证明: $\because$ 点 P 与点 M 关于 OA 对称,点 P 与点 N 关于 OB 对称, $\therefore PM ⊥ OA, PN ⊥ OB, PQ = MQ, PR = NR. \because PM = PN, \therefore PQ = PR. \therefore OP$ 平分 $∠ AOB$.
解析
【分析】
(1) 要求△PEF的周长，首先思考轴对称的性质：若两点关于某条直线对称，则对称轴是这两点连线的垂直平分线，垂直平分线上任意一点到两个对称点的距离相等。据此可得ME=PE，FN=PF，此时△PEF的周长可转化为MN的长度，代入已知MN=15即可求解。
(2) 要证明OP平分∠AOB，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，只需证明点P到OA、OB的距离相等。由轴对称性质可知PM⊥OA、PN⊥OB，PQ、PR分别是点P到OA、OB的距离，结合PM=PN可推出PQ=PR，即可得证。
【解析】
(1) 解：$\because$ 点P与点M关于OA对称，
$\therefore$ OA垂直平分PM，可得$ME = PE$。
同理，点P与点N关于OB对称，OB垂直平分PN，可得$FN = PF$。
$\therefore △PEF$的周长为 $PE + PF + EF = ME + FN + EF = MN$，
$\because MN=15$，
$\therefore △PEF$的周长为15。
(2) 证明：$\because$ 点P与点M关于OA对称，点P与点N关于OB对称，
$\therefore PM ⊥ OA, PN ⊥ OB, PQ = MQ, PR = NR$，
$\because PM = PN$，
$\therefore PQ = PR$，
又$\because PQ⊥OA$，$PR⊥OB$，
$\therefore OP$平分$∠AOB$。
【答案】
(1) $\boxed{15}$
(2) 证明如上，OP平分$∠ AOB$成立。
【知识点】
轴对称的性质，角平分线的判定，三角形周长计算
【点评】
本题属于几何基础应用题，核心是利用轴对称的性质实现线段的等量转化以及距离关系的推导，解题时要熟练掌握轴对称和角平分线的相关性质，这类题型是几何部分的常见考点，侧重对基础概念的灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1) 要求△PEF的周长，首先思考轴对称的性质：若两点关于某条直线对称，则对称轴是这两点连线的垂直平分线，垂直平分线上任意一点到两个对称点的距离相等。据此可得ME=PE，FN=PF，此时△PEF的周长可转化为MN的长度，代入已知MN=15即可求解。
(2) 要证明OP平分∠AOB，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，只需证明点P到OA、OB的距离相等。由轴对称性质可知PM⊥OA、PN⊥OB，PQ、PR分别是点P到OA、OB的距离，结合PM=PN可推出PQ=PR，即可得证。
【解析】
(1) 解：$\because$ 点P与点M关于OA对称，
$\therefore$ OA垂直平分PM，可得$ME = PE$。
同理，点P与点N关于OB对称，OB垂直平分PN，可得$FN = PF$。
$\therefore △PEF$的周长为 $PE + PF + EF = ME + FN + EF = MN$，
$\because MN=15$，
$\therefore △PEF$的周长为15。
(2) 证明：$\because$ 点P与点M关于OA对称，点P与点N关于OB对称，
$\therefore PM ⊥ OA, PN ⊥ OB, PQ = MQ, PR = NR$，
$\because PM = PN$，
$\therefore PQ = PR$，
又$\because PQ⊥OA$，$PR⊥OB$，
$\therefore OP$平分$∠AOB$。
【答案】
(1) $\boxed{15}$
(2) 证明如上，OP平分$∠ AOB$成立。
【知识点】
轴对称的性质，角平分线的判定，三角形周长计算
【点评】
本题属于几何基础应用题，核心是利用轴对称的性质实现线段的等量转化以及距离关系的推导，解题时要熟练掌握轴对称和角平分线的相关性质，这类题型是几何部分的常见考点，侧重对基础概念的灵活运用。
【难度系数】
0.7
