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9.命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是
两个锐角互余的三角形是直角三角形
.答案
9. 两个锐角互余的三角形是直角三角形
解析
【分析】
要写出一个命题的逆命题，首先要明确原命题的题设（条件）和结论，我们可以先把原命题改写为“如果……那么……”的形式，方便区分两部分内容。原命题“直角三角形的两个锐角互余”改写后为“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余”，其中“如果”后的内容是题设，“那么”后的内容是结论。根据逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换位置，再整理为通顺的命题即可得到答案。
【解析】
1. 拆分原命题的题设和结论：
将原命题改写为“如果……那么……”形式：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角互余。
由此可得：题设为“一个三角形是直角三角形”，结论为“这个三角形的两个锐角互余”。
2. 互换题设和结论，整理得到逆命题：
互换后内容为“如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”，简化后即为最终逆命题。
【答案】
两个锐角互余的三角形是直角三角形
【知识点】
逆命题的定义、命题的构成
【点评】
本题属于命题相关的基础题型，解题核心是准确区分原命题的题设与结论，互换时注意语句表述通顺、逻辑合理，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要写出一个命题的逆命题，首先要明确原命题的题设（条件）和结论，我们可以先把原命题改写为“如果……那么……”的形式，方便区分两部分内容。原命题“直角三角形的两个锐角互余”改写后为“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余”，其中“如果”后的内容是题设，“那么”后的内容是结论。根据逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换位置，再整理为通顺的命题即可得到答案。
【解析】
1. 拆分原命题的题设和结论：
将原命题改写为“如果……那么……”形式：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角互余。
由此可得：题设为“一个三角形是直角三角形”，结论为“这个三角形的两个锐角互余”。
2. 互换题设和结论，整理得到逆命题：
互换后内容为“如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”，简化后即为最终逆命题。
【答案】
两个锐角互余的三角形是直角三角形
【知识点】
逆命题的定义、命题的构成
【点评】
本题属于命题相关的基础题型，解题核心是准确区分原命题的题设与结论，互换时注意语句表述通顺、逻辑合理，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
10.如图,在等边三角形ABC中,AB=4,BD⊥AB,CD//AB,则CD的长为
(第10题图)
(第11题图)
(第12题图)
2
.(第10题图)
(第11题图)
(第12题图)
答案
10. 2
解析
【分析】
解题时先利用等边三角形的性质得到BC的长度与∠ABC的度数，再结合BD⊥AB求出∠CBD的度数；接着根据CD//AB的平行线性质推出△BCD是直角三角形，最后利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质计算CD的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=4
∴BC=AB=4，∠ABC=60°
∵BD⊥AB
∴∠ABD=90°
∴∠CBD=∠ABD - ∠ABC=90°-60°=30°
∵CD//AB
∴∠ABD + ∠BDC=180°
∴∠BDC=180°-90°=90°，即△BCD为直角三角形
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，斜边BC=4
∴CD=½BC=½×4=2
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是结合已知条件推导出△BCD是含30°角的直角三角形，熟练运用相关几何性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用等边三角形的性质得到BC的长度与∠ABC的度数，再结合BD⊥AB求出∠CBD的度数；接着根据CD//AB的平行线性质推出△BCD是直角三角形，最后利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质计算CD的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=4
∴BC=AB=4，∠ABC=60°
∵BD⊥AB
∴∠ABD=90°
∴∠CBD=∠ABD - ∠ABC=90°-60°=30°
∵CD//AB
∴∠ABD + ∠BDC=180°
∴∠BDC=180°-90°=90°，即△BCD为直角三角形
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，斜边BC=4
∴CD=½BC=½×4=2
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是结合已知条件推导出△BCD是含30°角的直角三角形，熟练运用相关几何性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
11.如图,等腰三角形ABD与等腰三角形BCD有公共底边BD,连接AC,交BD于点O.若AC=12,OB=5,则四边形ABCD的面积为
60
.答案
11. 60
解析
【分析】
首先根据等腰三角形“三线合一”的性质，有公共底边BD的两个等腰三角形△ABD和△BCD，可知点A、C都在BD的垂直平分线上，因此AC垂直平分BD，可得BD=2OB，且AC⊥BD。接下来四边形ABCD的面积可拆分为△ABD和△BCD的面积之和，两个三角形的底均为BD，高分别为AO、OC，二者相加正好是AC的长度，代入对应数值即可求出面积。
【解析】
∵△ABD是等腰三角形，BD为底边，
∴AB=AD，点A在BD的垂直平分线上；
同理，△BCD是等腰三角形，BD为底边，
∴CB=CD，点C在BD的垂直平分线上；
∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，BD=2OB。
已知OB=5，
∴BD=2×5=10，又AC=12，
四边形ABCD的面积：
$\begin{aligned}S_{ABCD}&=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}\\&=\frac{1}{2}× BD× AO+\frac{1}{2}× BD× OC\\&=\frac{1}{2}× BD×(AO+OC)\\&=\frac{1}{2}× BD× AC\\&=\frac{1}{2}×10×12\\&=60\end{aligned}$
【答案】
60
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，割补法求面积
【点评】
本题解题的关键是利用等腰三角形的性质判断出AC与BD互相垂直，再通过割补法将四边形面积转化为两个同底三角形的面积和，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
首先根据等腰三角形“三线合一”的性质，有公共底边BD的两个等腰三角形△ABD和△BCD，可知点A、C都在BD的垂直平分线上，因此AC垂直平分BD，可得BD=2OB，且AC⊥BD。接下来四边形ABCD的面积可拆分为△ABD和△BCD的面积之和，两个三角形的底均为BD，高分别为AO、OC，二者相加正好是AC的长度，代入对应数值即可求出面积。
【解析】
∵△ABD是等腰三角形，BD为底边，
∴AB=AD，点A在BD的垂直平分线上；
同理，△BCD是等腰三角形，BD为底边，
∴CB=CD，点C在BD的垂直平分线上；
∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，BD=2OB。
已知OB=5，
∴BD=2×5=10，又AC=12，
四边形ABCD的面积：
$\begin{aligned}S_{ABCD}&=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}\\&=\frac{1}{2}× BD× AO+\frac{1}{2}× BD× OC\\&=\frac{1}{2}× BD×(AO+OC)\\&=\frac{1}{2}× BD× AC\\&=\frac{1}{2}×10×12\\&=60\end{aligned}$
【答案】
60
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，割补法求面积
【点评】
本题解题的关键是利用等腰三角形的性质判断出AC与BD互相垂直，再通过割补法将四边形面积转化为两个同底三角形的面积和，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
12.如图,在$△ ABC$中,$AB=3$,$BC=4$,$AC=5$,$AB⊥ BC$,$P$,$Q$分别是边$BC$,$AC$上的动点(点$P$,$Q$不与端点重合),则$AP+PQ$的最小值为________.
答案
$\frac{24}{5}$
解析
【分析】
首先由三边长度可知△ABC是直角三角形，∠B=90°。本题属于最短路径问题，解题核心是利用轴对称转化线段：作点A关于直线BC的对称点A'，根据轴对称性质可得AP=A'P，那么AP+PQ就转化为A'P+PQ。根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，当A'、P、Q三点共线且A'Q垂直于AC时，A'P+PQ的和最小，最小值就是点A'到直线AC的垂线段长度，再通过面积法计算该长度即可。
【解析】
1. 判定△ABC的性质：已知AB=3，BC=4，AC=5，且AB⊥BC，故△ABC为直角三角形。
2. 作点A关于直线BC的对称点A'，由轴对称的性质可知，A'B=AB=3，AP=A'P，因此$AP+PQ = A'P + PQ$。
3. 根据垂线段最短，当A'、P、Q三点共线且$A'Q⊥ AC$时，$A'P+PQ$的最小值即为线段A'Q的长度。
4. 用面积法计算A'Q：
$△ AA'C$的面积可表示为：$S_{△ AA'C}=\frac{1}{2} × AA' × BC$，其中$AA'=AB+A'B=6$，$BC=4$，代入得$S_{△ AA'C}=\frac{1}{2} × 6 × 4=12$。
同时$△ AA'C$的面积也可表示为：$S_{△ AA'C}=\frac{1}{2} × AC × A'Q$，其中$AC=5$，代入得：
$\frac{1}{2} × 5 × A'Q =12$
解得$A'Q=\frac{24}{5}$。
即$AP+PQ$的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
轴对称的性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题是最短路径的经典变形题，将轴对称性质、垂线段最短和三角形面积计算结合考查，解题的关键是通过对称将折线段的和转化为点到直线的垂线段，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.55
首先由三边长度可知△ABC是直角三角形，∠B=90°。本题属于最短路径问题，解题核心是利用轴对称转化线段：作点A关于直线BC的对称点A'，根据轴对称性质可得AP=A'P，那么AP+PQ就转化为A'P+PQ。根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，当A'、P、Q三点共线且A'Q垂直于AC时，A'P+PQ的和最小，最小值就是点A'到直线AC的垂线段长度，再通过面积法计算该长度即可。
【解析】
1. 判定△ABC的性质：已知AB=3，BC=4，AC=5，且AB⊥BC，故△ABC为直角三角形。
2. 作点A关于直线BC的对称点A'，由轴对称的性质可知，A'B=AB=3，AP=A'P，因此$AP+PQ = A'P + PQ$。
3. 根据垂线段最短，当A'、P、Q三点共线且$A'Q⊥ AC$时，$A'P+PQ$的最小值即为线段A'Q的长度。
4. 用面积法计算A'Q：
$△ AA'C$的面积可表示为：$S_{△ AA'C}=\frac{1}{2} × AA' × BC$，其中$AA'=AB+A'B=6$，$BC=4$，代入得$S_{△ AA'C}=\frac{1}{2} × 6 × 4=12$。
同时$△ AA'C$的面积也可表示为：$S_{△ AA'C}=\frac{1}{2} × AC × A'Q$，其中$AC=5$，代入得：
$\frac{1}{2} × 5 × A'Q =12$
解得$A'Q=\frac{24}{5}$。
即$AP+PQ$的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
轴对称的性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题是最短路径的经典变形题，将轴对称性质、垂线段最短和三角形面积计算结合考查，解题的关键是通过对称将折线段的和转化为点到直线的垂线段，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.55
三、解答题(共6小题,共64分)
13.(本小题满分10分)(1)画出下列图形所有的对称轴；
(2)如图,直线AB//CD,若∠1=60°,∠2=30°,求证:△FCE是等腰三角形.
13.(本小题满分10分)(1)画出下列图形所有的对称轴；
(2)如图,直线AB//CD,若∠1=60°,∠2=30°,求证:△FCE是等腰三角形.
答案
13.(1) 解:如图所示。
(2) 证明: $\because AB // CD, \therefore ∠ DFE = ∠ 1 = 60°$.
$\because ∠ DFE = ∠ 2 + ∠ E, ∠ 2 = 30°, \therefore ∠ E = 30°. \therefore ∠ 2 = ∠ E. \therefore CF = EF. \therefore △ FCE$ 是等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 本题考查对称轴的画法，首先明确对称轴定义：沿某条直线对折后，直线两侧的图形完全重合，这条直线就是图形的对称轴。观察第一个相交圆的图形：两圆圆心在同一直线上，沿连心线对折后图形完全重合，因此这条直线是它的对称轴；观察第二个四向箭头的图形：分别沿水平直线、竖直直线、两条倾斜45°的直线对折，图形两侧都能完全重合，这四条就是它的对称轴，按要求画出即可。
(2) 要证明△FCE是等腰三角形，根据等腰三角形判定定理，只需证明该三角形有两个内角相等或两条边相等即可。结合已知条件AB//CD，首先利用平行线的同位角相等得到∠DFE的度数，再利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）求出∠E的度数，对比∠2和∠E的度数，若相等即可得证。
【解析】
(1) 根据对称轴的定义，第一个图形的对称轴为过两圆圆心的水平直线；第二个图形的对称轴为水平、竖直、两条倾斜45°的直线，画出的对称轴如图所示。
(2) 证明：
$\because AB // CD$，
$\therefore ∠DFE = ∠1 = 60°$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠DFE$是$△FCE$的外角，
$\therefore ∠DFE = ∠2 + ∠E$（三角形外角等于不相邻两内角和），
又$\because ∠2 = 30°$，
$\therefore ∠E = ∠DFE - ∠2 = 60° - 30° = 30°$，
$\therefore ∠2 = ∠E$，
$\therefore CF = EF$（等角对等边），
$\therefore △FCE$是等腰三角形。
【答案】
13.(1) 解:如图所示。
(2) 证明: $\because AB // CD, \therefore ∠ DFE = ∠ 1 = 60°$.
$\because ∠ DFE = ∠ 2 + ∠ E, ∠ 2 = 30°, \therefore ∠ E = 30°. \therefore ∠ 2 = ∠ E. \therefore CF = EF. \therefore △ FCE$ 是等腰三角形.
【知识点】
对称轴的识别、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，兼顾了画图操作和逻辑证明的考察，画图时需准确识别轴对称图形的所有对称轴，避免漏画；证明部分需熟练掌握平行线、三角形外角、等腰三角形相关性质，证明过程逻辑要清晰、步骤要规范。
【难度系数】
0.85
(1) 本题考查对称轴的画法，首先明确对称轴定义：沿某条直线对折后，直线两侧的图形完全重合，这条直线就是图形的对称轴。观察第一个相交圆的图形：两圆圆心在同一直线上，沿连心线对折后图形完全重合，因此这条直线是它的对称轴；观察第二个四向箭头的图形：分别沿水平直线、竖直直线、两条倾斜45°的直线对折，图形两侧都能完全重合，这四条就是它的对称轴，按要求画出即可。
(2) 要证明△FCE是等腰三角形，根据等腰三角形判定定理，只需证明该三角形有两个内角相等或两条边相等即可。结合已知条件AB//CD，首先利用平行线的同位角相等得到∠DFE的度数，再利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）求出∠E的度数，对比∠2和∠E的度数，若相等即可得证。
【解析】
(1) 根据对称轴的定义，第一个图形的对称轴为过两圆圆心的水平直线；第二个图形的对称轴为水平、竖直、两条倾斜45°的直线，画出的对称轴如图所示。
(2) 证明：
$\because AB // CD$，
$\therefore ∠DFE = ∠1 = 60°$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠DFE$是$△FCE$的外角，
$\therefore ∠DFE = ∠2 + ∠E$（三角形外角等于不相邻两内角和），
又$\because ∠2 = 30°$，
$\therefore ∠E = ∠DFE - ∠2 = 60° - 30° = 30°$，
$\therefore ∠2 = ∠E$，
$\therefore CF = EF$（等角对等边），
$\therefore △FCE$是等腰三角形。
【答案】
13.(1) 解:如图所示。
(2) 证明: $\because AB // CD, \therefore ∠ DFE = ∠ 1 = 60°$.
$\because ∠ DFE = ∠ 2 + ∠ E, ∠ 2 = 30°, \therefore ∠ E = 30°. \therefore ∠ 2 = ∠ E. \therefore CF = EF. \therefore △ FCE$ 是等腰三角形.
【知识点】
对称轴的识别、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，兼顾了画图操作和逻辑证明的考察，画图时需准确识别轴对称图形的所有对称轴，避免漏画；证明部分需熟练掌握平行线、三角形外角、等腰三角形相关性质，证明过程逻辑要清晰、步骤要规范。
【难度系数】
0.85
