17.(本小题满分12分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$AD$是边$BC$上的中线,点$E$在边$AB$上,且$BD=BE$,边$CD$的垂直平分线$MF$交$AC$于点$F$,交$BC$于点$M$,连接$DE$,$DF$.
(1)求$∠ ADE$的度数;
(2)求证:$△ ADF$是等边三角形.

17.(1) 解: $\because AB = AC, ∠ BAC = 120°, \therefore ∠ B = ∠ C = \frac{1}{2} × (180° - ∠ BAC) = 30°. \because BD = BE, \therefore ∠ BDE = ∠ BED = \frac{1}{2} × (180° - ∠ B) = 75°. \because AB = AC, AD$ 是边 BC 上的中线, $\therefore AD ⊥ BC. \therefore ∠ ADB = 90°. \therefore ∠ ADE = ∠ ADB - ∠ BDE = 15°$. (2) 证明: $\because MF$ 垂直平分 CD, $\therefore DF = CF$. 由(1)知 $∠ C = 30°, \therefore ∠ FDC = ∠ C = 30°. \therefore ∠ AFD = ∠ C + ∠ FDC = 60°. \because AB = AC, AD$ 是边 BC 上的中线, $∠ BAC = 120°, \therefore ∠ DAF = \frac{1}{2} ∠ BAC = 60°. \therefore ∠ ADF = 180° - ∠ AFD - ∠ DAF = 60°. \therefore ∠ ADF = ∠ DAF = ∠ AFD. \therefore △ ADF$ 是等边三角形.

【分析】
(1) 解题思路：首先利用等腰三角形两底角相等的性质，结合已知$∠ BAC=120°$，求出底角$∠ B$的度数；再由$BD=BE$可知$△ BDE$为等腰三角形，据此求出$∠ BDE$的度数；最后根据等腰三角形“三线合一”的性质，得到$AD⊥ BC$即$∠ ADB=90°$，用$∠ ADB$减去$∠ BDE$即可求出$∠ ADE$的度数。
(2) 解题思路：首先根据线段垂直平分线的性质，得到$DF=CF$，推出$∠ FDC=∠ C$，结合三角形外角的性质求出$∠ AFD=60°$；再利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到$AD$平分$∠ BAC$，求出$∠ DAF=60°$；最后根据三角形内角和求出$∠ ADF=60°$，由三个内角均为$60°$的三角形是等边三角形即可完成证明。
【解析】
(1) 解：$\because AB = AC, ∠ BAC = 120°$,
$\therefore ∠ B = ∠ C = \frac{1}{2} × (180° - ∠ BAC) = 30°$.
$\because BD = BE$,
$\therefore ∠ BDE = ∠ BED = \frac{1}{2} × (180° - ∠ B) = 75°$.
$\because AB = AC$, $AD$是边$BC$上的中线,
$\therefore AD ⊥ BC$, 即$∠ ADB = 90°$.
$\therefore ∠ ADE = ∠ ADB - ∠ BDE = 90° - 75° = 15°$.
(2) 证明：$\because MF$垂直平分$CD$,
$\therefore DF = CF$.
由(1)知$∠ C = 30°$,
$\therefore ∠ FDC = ∠ C = 30°$.
$\therefore ∠ AFD = ∠ C + ∠ FDC = 30° + 30° = 60°$.
$\because AB = AC$, $AD$是边$BC$上的中线, $∠ BAC = 120°$,
$\therefore ∠ DAF = \frac{1}{2} ∠ BAC = 60°$.
$\therefore ∠ ADF = 180° - ∠ AFD - ∠ DAF = 180° - 60° - 60° = 60°$.
$\therefore ∠ ADF = ∠ DAF = ∠ AFD$.
$\therefore △ ADF$是等边三角形.
【答案】
(1) $15°$；
(2) $△ ADF$是等边三角形，证明成立。
【知识点】
等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查特殊三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用等腰三角形“三线合一”、线段垂直平分线的性质等知识点，理清角之间的数量关系即可顺利求解，是巩固特殊三角形相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7

18.(本小题满分12分)如图,在等边三角形ABC中,点D在边BC上,点E在AC的延长线上,DE=DA.
(1)求证:∠BAD=∠EDC;
(2)点E关于直线BC对称的点为M,连接DM,AM.
①依题意补全图形.
②若点D在边BC上运动(点D不与点B,C重合),则AD与AM始终相等吗?请说明理由.

18.(1) 证明: $\because DE = DA, \therefore ∠ E = ∠ DAC. \because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ BAC = ∠ ACD = 60°$, 即 $∠ BAD + ∠ DAC = ∠ E + ∠ EDC = 60°. \therefore ∠ BAD = ∠ EDC$. (2) 解: ① 如图所示。 ② AD 与 AM 始终相等. 理由如下: $\because$ 点 M 与点 E 关于直线 BC 对称, $\therefore DM = DE, ∠ EDC = ∠ MDC. \because DE = DA, \therefore DM = DA. \because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ B = 60°$. 由(1), 得 $∠ BAD = ∠ EDC, \therefore ∠ MDC = ∠ BAD. \because$ 在 $△ ABD$ 中, $∠ BAD + ∠ ADB = 180° - ∠ B = 120°, \therefore ∠ MDC + ∠ ADB = 120°. \therefore ∠ ADM = 180° - (∠ MDC + ∠ ADB) = 60°. \therefore △ ADM$ 是等边三角形. $\therefore AD = AM$, 即 AD 与 AM 始终相等.

【分析】
(1) 要证明∠BAD=∠EDC，首先根据等腰三角形等边对等角的性质，由DE=DA得∠E=∠DAC；再结合等边三角形内角为60°的性质，可知∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°，同时利用三角形外角性质，△DCE中∠ACD是外角，即∠ACD=∠E+∠EDC=60°，最后通过等量代换即可证得两角相等。
(2) ①补全图形时，根据轴对称的作图方法：过点E作BC所在直线的垂线，延长垂线至M，使M到BC的距离等于E到BC的距离，再连接DM、AM即可。②要判断AD与AM是否始终相等，先由轴对称性质得到DM=DE、∠EDC=∠MDC，结合已知DE=DA可推得DM=DA；再结合(1)的结论∠BAD=∠EDC，代换得到∠MDC=∠BAD，结合△ABD的内角和可推导出∠ADM=60°，即可判定△ADM为等边三角形，从而得到AD=AM。
【解析】
(1) 证明：
$\because DE = DA$，
$\therefore ∠E = ∠DAC$。
$\because △ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠BAC = ∠ACD = 60°$，
即$∠BAD + ∠DAC = 60°$，且由三角形外角性质得$∠E + ∠EDC = ∠ACD = 60°$，
$\therefore ∠BAD = ∠EDC$。
(2) ① 依题意补全图形如下：

② AD与AM始终相等，理由如下：
$\because$ 点M与点E关于直线BC对称，
$\therefore DM = DE$，$∠EDC = ∠MDC$。
$\because DE = DA$，
$\therefore DM = DA$。
$\because △ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠B = 60°$。
由(1)得$∠BAD = ∠EDC$，
$\therefore ∠MDC = ∠BAD$。
$\because$ 在$△ABD$中，$∠BAD + ∠ADB = 180° - ∠B = 120°$，
$\therefore ∠MDC + ∠ADB = 120°$，
$\therefore ∠ADM = 180° - (∠MDC + ∠ADB) = 60°$。
$\therefore △ADM$是等边三角形，
$\therefore AD = AM$，即AD与AM始终相等。
【答案】
(1) 证明: $\because DE = DA, \therefore ∠ E = ∠ DAC. \because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ BAC = ∠ ACD = 60°$, 即 $∠ BAD + ∠ DAC = ∠ E + ∠ EDC = 60°. \therefore ∠ BAD = ∠ EDC$.
(2) 解: ① 如图所示。
② AD 与 AM 始终相等. 理由如下: $\because$ 点 M 与点 E 关于直线 BC 对称, $\therefore DM = DE, ∠ EDC = ∠ MDC. \because DE = DA, \therefore DM = DA. \because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ B = 60°$. 由(1), 得 $∠ BAD = ∠ EDC, \therefore ∠ MDC = ∠ BAD. \because$ 在 $△ ABD$ 中, $∠ BAD + ∠ ADB = 180° - ∠ B = 120°, \therefore ∠ MDC + ∠ ADB = 120°. \therefore ∠ ADM = 180° - (∠ MDC + ∠ ADB) = 60°. \therefore △ ADM$ 是等边三角形. $\therefore AD = AM$, 即 AD 与 AM 始终相等.
【知识点】
等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，融合了等腰三角形、等边三角形、轴对称的相关知识点，解题核心是通过角的等量代换推出特殊角，进而判定等边三角形得到边的等量关系，对几何逻辑推理能力有较好的考查作用。
【难度系数】
0.7