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12.如图，$\odot O$的直径$AB$长为4，$AB$垂直平分圆内的线段$CD$，$∠ CAD=60°$，$OC=\sqrt{2}$，以点$O$为圆心，$OC$为半径画扇形$OCD$，下列结论正确的是（
A.$∠ COD=120°$
B.$AD=2\sqrt{3}$
C.阴影部分的面积是$\frac{5}{6}π$
D.$\overset{\frown}{CD}$的长是$\frac{\sqrt{2}}{2}π$
C
）A.$∠ COD=120°$
B.$AD=2\sqrt{3}$
C.阴影部分的面积是$\frac{5}{6}π$
D.$\overset{\frown}{CD}$的长是$\frac{\sqrt{2}}{2}π$
答案
12.C
解析
【分析】
解题时先利用垂直平分线的性质和60°内角判断△ACD为等边三角形，得到∠CAB=30°；再设AB与CD交于点E，结合勾股定理、直角三角形中30°角的性质列方程求出CE和OE的长度，进而求出∠COD的度数，最后分别计算各选项对应的角度、线段长、面积、弧长，逐一排除错误选项即可。
【解析】
设AB与CD交于点E。
1. 判定等边三角形：
∵AB垂直平分CD，
∴AC=AD，AB⊥CD，CE=DE。
又
∵∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAE=∠DAE=30°。
2. 列方程求解线段长：
已知⊙O直径AB=4，故半径OA=2。设OE=x，CE=y。
在Rt△ACE中，∠CAE=30°，
∴AE=√3 CE，而AE=AO+OE=2+x，即$2 + x = \sqrt{3} y$ ①。
在Rt△OCE中，由勾股定理得$OE^2 + CE^2 = OC^2$，已知$OC=\sqrt{2}$，即$x^2 + y^2 = 2$ ②。
将①变形为$x=\sqrt{3} y - 2$代入②，解得$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$。
3. 求∠COD度数：
在Rt△OCE中，$\cos∠COE=\frac{OE}{OC}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\cos75°$，故∠COE=75°，因此∠COD=2∠COE=150°。
4. 逐一判断选项：
A. ∠COD=120°，实际为150°，错误；
B. $AD=AC=2y=\sqrt{3}+1≠2\sqrt{3}$，错误；
C. 阴影为扇形OCD，面积$S=\frac{nπr^2}{360}=\frac{150×π×(\sqrt{2})^2}{360}=\frac{5π}{6}$，正确；
D. $\overset{\frown}{CD}$的长$l=\frac{nπr}{180}=\frac{150×π×\sqrt{2}}{180}=\frac{5\sqrt{2}π}{6}≠\frac{\sqrt{2}π}{2}$，错误。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，等边三角形判定，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的性质、特殊三角形的判定与性质、扇形相关计算，解题的关键是利用直角三角形的性质建立方程求出相关线段长度，进而得到圆心角的度数。
【难度系数】
0.6
解题时先利用垂直平分线的性质和60°内角判断△ACD为等边三角形，得到∠CAB=30°；再设AB与CD交于点E，结合勾股定理、直角三角形中30°角的性质列方程求出CE和OE的长度，进而求出∠COD的度数，最后分别计算各选项对应的角度、线段长、面积、弧长，逐一排除错误选项即可。
【解析】
设AB与CD交于点E。
1. 判定等边三角形：
∵AB垂直平分CD，
∴AC=AD，AB⊥CD，CE=DE。
又
∵∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAE=∠DAE=30°。
2. 列方程求解线段长：
已知⊙O直径AB=4，故半径OA=2。设OE=x，CE=y。
在Rt△ACE中，∠CAE=30°，
∴AE=√3 CE，而AE=AO+OE=2+x，即$2 + x = \sqrt{3} y$ ①。
在Rt△OCE中，由勾股定理得$OE^2 + CE^2 = OC^2$，已知$OC=\sqrt{2}$，即$x^2 + y^2 = 2$ ②。
将①变形为$x=\sqrt{3} y - 2$代入②，解得$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$。
3. 求∠COD度数：
在Rt△OCE中，$\cos∠COE=\frac{OE}{OC}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\cos75°$，故∠COE=75°，因此∠COD=2∠COE=150°。
4. 逐一判断选项：
A. ∠COD=120°，实际为150°，错误；
B. $AD=AC=2y=\sqrt{3}+1≠2\sqrt{3}$，错误；
C. 阴影为扇形OCD，面积$S=\frac{nπr^2}{360}=\frac{150×π×(\sqrt{2})^2}{360}=\frac{5π}{6}$，正确；
D. $\overset{\frown}{CD}$的长$l=\frac{nπr}{180}=\frac{150×π×\sqrt{2}}{180}=\frac{5\sqrt{2}π}{6}≠\frac{\sqrt{2}π}{2}$，错误。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，等边三角形判定，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的性质、特殊三角形的判定与性质、扇形相关计算，解题的关键是利用直角三角形的性质建立方程求出相关线段长度，进而得到圆心角的度数。
【难度系数】
0.6
13. 圆锥绣球是绣球科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚. 如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型，其底面周长为 $20π$ cm，高度为 24 cm，则此圆锥的侧面积为
$260π$
$cm^2$.（结果保留 $π$）答案
13.$260π$
解析
【分析】
要计算圆锥的侧面积，首先明确圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（其中$r$是底面半径，$l$是母线长）。解题可分三步进行：第一步，根据已知底面周长求出底面半径$r$；第二步，结合圆锥的高，利用勾股定理求出母线长$l$；第三步，将$r$和$l$代入侧面积公式得到最终结果。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$。
1. 计算底面半径：
已知底面周长$C=2π r=20π$，
解得$r=\frac{20π}{2π}=10\ \mathrm{cm}$。
2. 计算母线长：
圆锥的高$h=24\ \mathrm{cm}$，圆锥的底面半径、高、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26\ \mathrm{cm}$。
3. 计算侧面积：
代入圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$，
得$S_{侧}=π×10×26=260π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$260π$
【知识点】
圆的周长计算；勾股定理；圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是掌握圆锥各参数之间的对应关系，只要牢记相关公式，理清各量的联系就能正确求解。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥的侧面积，首先明确圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（其中$r$是底面半径，$l$是母线长）。解题可分三步进行：第一步，根据已知底面周长求出底面半径$r$；第二步，结合圆锥的高，利用勾股定理求出母线长$l$；第三步，将$r$和$l$代入侧面积公式得到最终结果。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$。
1. 计算底面半径：
已知底面周长$C=2π r=20π$，
解得$r=\frac{20π}{2π}=10\ \mathrm{cm}$。
2. 计算母线长：
圆锥的高$h=24\ \mathrm{cm}$，圆锥的底面半径、高、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26\ \mathrm{cm}$。
3. 计算侧面积：
代入圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$，
得$S_{侧}=π×10×26=260π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$260π$
【知识点】
圆的周长计算；勾股定理；圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是掌握圆锥各参数之间的对应关系，只要牢记相关公式，理清各量的联系就能正确求解。
【难度系数】
0.7
14.项目式学习
项目背景:收藏于山西博物院和大同市博物馆的北魏木板漆画,被国家文物局列为首批禁止出国(境)展览的文物之一,现用作
国际交流的木板漆画多为近代资深画家所作.实践团队围绕"木板漆画"开展项目式学习活动,美术小组负责查阅漆画的材料与工艺,历史小组负责查阅漆画的发展史与地域特色,数学小组的活动报告如下.
项目主题：漆画的尺寸测量
驱动问题：在不接触漆画的情况下,如何测量圆形漆画的直径
活动内容：利用垂径定理等有关知识进行测量与计算
活动方案：图1为置于展示架上的一幅"壶口瀑布"漆画,因其材料珍贵,作者仅愿提供展示架用于测量,展示架上标有与圆形漆画相关的位置的记号.数学小组还原展示架与漆画的位置关系,绘制了图2所示的示意图,支架AB,CD分别与直线l(桌面)垂直于B,D两点,支架MN平行于桌面,A,C,E为支架与漆画$\odot O$相接触的点,连接OA,AC,过点O作$OF ⊥ AC$于点G,交直线l于点F,OF经过点E
数据测量：支架AB=CD=3 cm,接触点E与桌面的距离EF=1 cm,支架AB,CD间的距离AC=20 cm
交流展示：…
根据上述报告,解决下列问题:
(1)由所测数据,可得$GE=$
(2)求该木板漆画的直径.
项目背景:收藏于山西博物院和大同市博物馆的北魏木板漆画,被国家文物局列为首批禁止出国(境)展览的文物之一,现用作
国际交流的木板漆画多为近代资深画家所作.实践团队围绕"木板漆画"开展项目式学习活动,美术小组负责查阅漆画的材料与工艺,历史小组负责查阅漆画的发展史与地域特色,数学小组的活动报告如下.
项目主题：漆画的尺寸测量
驱动问题：在不接触漆画的情况下,如何测量圆形漆画的直径
活动内容：利用垂径定理等有关知识进行测量与计算
活动方案：图1为置于展示架上的一幅"壶口瀑布"漆画,因其材料珍贵,作者仅愿提供展示架用于测量,展示架上标有与圆形漆画相关的位置的记号.数学小组还原展示架与漆画的位置关系,绘制了图2所示的示意图,支架AB,CD分别与直线l(桌面)垂直于B,D两点,支架MN平行于桌面,A,C,E为支架与漆画$\odot O$相接触的点,连接OA,AC,过点O作$OF ⊥ AC$于点G,交直线l于点F,OF经过点E
数据测量：支架AB=CD=3 cm,接触点E与桌面的距离EF=1 cm,支架AB,CD间的距离AC=20 cm
交流展示：…
根据上述报告,解决下列问题:
(1)由所测数据,可得$GE=$
2
cm,$AG=$10
cm;(2)求该木板漆画的直径.
答案
14.解:(1)2 10
(2)设木板漆画⊙O的半径为r cm,则OA=OE=r cm,OG=OE-GE=(r-2) cm,由勾股定理,得10²+(r-2)²=r²,解得r=26.
∴⊙O的直径为2r=26×2=52(cm).答:该木板漆画的直径为52 cm.
(2)设木板漆画⊙O的半径为r cm,则OA=OE=r cm,OG=OE-GE=(r-2) cm,由勾股定理,得10²+(r-2)²=r²,解得r=26.
∴⊙O的直径为2r=26×2=52(cm).答:该木板漆画的直径为52 cm.
解析
【分析】
对于第(1)问，首先由AB、CD均垂直桌面且长度相等，可判定四边形ABDC是矩形，得AC平行于桌面，AC到桌面的距离等于AB的长度3cm；已知E到桌面的距离EF=1cm，两者作差即可得GE的长度；再根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，直接计算可得AG的长度。对于第(2)问，设圆的半径为r，用含r的式子表示出Rt△OAG的各边长，再利用勾股定理列方程求解半径，乘2即可得到直径。
【解析】
(1)
∵AB⊥直线l，CD⊥直线l，AB=CD=3cm，
∴四边形ABDC是矩形，
∴AC//直线l，AC到桌面的距离等于AB的长度为3cm。
∵EF=1cm是E点到桌面的距离，OF⊥AC，
∴GE = 3 - 1 = 2cm。
根据垂径定理，OF⊥弦AC，OF过圆心O，
∴G是AC的中点，
∴AG = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×20 = 10cm。
(2) 设$\odot O$的半径为r cm，则OA=OE=r cm，
∴OG = OE - GE = (r - 2)cm。
在Rt△OAG中，由勾股定理得：
$AG^2 + OG^2 = OA^2$，
代入数据得：$10^2 + (r-2)^2 = r^2$，
展开计算：$100 + r^2 - 4r + 4 = r^2$，
整理得：$4r = 104$，
解得：$r = 26$，
∴$\odot O$的直径为$2r = 2×26 = 52$cm。
【答案】
(1) 2，10；
(2) 该木板漆画的直径为52 cm。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合实际测量的真实情境，将几何知识融入实践问题中，解题的核心是把实际场景转化为熟悉的几何模型，通过垂径定理构造直角三角形，再利用方程思想求解半径，很好地考查了知识的灵活应用能力和建模能力。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问，首先由AB、CD均垂直桌面且长度相等，可判定四边形ABDC是矩形，得AC平行于桌面，AC到桌面的距离等于AB的长度3cm；已知E到桌面的距离EF=1cm，两者作差即可得GE的长度；再根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，直接计算可得AG的长度。对于第(2)问，设圆的半径为r，用含r的式子表示出Rt△OAG的各边长，再利用勾股定理列方程求解半径，乘2即可得到直径。
【解析】
(1)
∵AB⊥直线l，CD⊥直线l，AB=CD=3cm，
∴四边形ABDC是矩形，
∴AC//直线l，AC到桌面的距离等于AB的长度为3cm。
∵EF=1cm是E点到桌面的距离，OF⊥AC，
∴GE = 3 - 1 = 2cm。
根据垂径定理，OF⊥弦AC，OF过圆心O，
∴G是AC的中点，
∴AG = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×20 = 10cm。
(2) 设$\odot O$的半径为r cm，则OA=OE=r cm，
∴OG = OE - GE = (r - 2)cm。
在Rt△OAG中，由勾股定理得：
$AG^2 + OG^2 = OA^2$，
代入数据得：$10^2 + (r-2)^2 = r^2$，
展开计算：$100 + r^2 - 4r + 4 = r^2$，
整理得：$4r = 104$，
解得：$r = 26$，
∴$\odot O$的直径为$2r = 2×26 = 52$cm。
【答案】
(1) 2，10；
(2) 该木板漆画的直径为52 cm。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合实际测量的真实情境，将几何知识融入实践问题中，解题的核心是把实际场景转化为熟悉的几何模型，通过垂径定理构造直角三角形，再利用方程思想求解半径，很好地考查了知识的灵活应用能力和建模能力。
【难度系数】
0.7
