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1.某圆形桌面，圆心为O，半径为50 cm，桌面上有一点P，则线段OP的长度可能是（
A.40 cm
B.60 cm
C.80 cm
D.90 cm
A
）A.40 cm
B.60 cm
C.80 cm
D.90 cm
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先回忆点与圆的位置关系相关知识：圆形桌面可看作以O为圆心、50cm为半径的圆，桌面上的点P要么在圆内，要么在圆上。根据点和圆的位置关系规律，可得到OP的长度取值范围，再对照选项选出符合范围的结果即可。
【解析】
由题意可知，圆形桌面对应⊙O，半径r=50cm。
∵点P在桌面上，
∴点P在⊙O内或在⊙O上。
根据点与圆的位置关系性质：若点在圆内，则点到圆心的距离d＜r；若点在圆上，则点到圆心的距离d=r。
因此OP的长度满足OP≤50cm。
对照选项：A选项40cm＜50cm，符合要求；B、C、D选项的长度均大于50cm，不符合要求。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题是点与圆位置关系的实际应用问题，解题核心是结合实际场景明确点P的位置范围，进而推导出线段OP的取值范围，整体考查基础，容易得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆点与圆的位置关系相关知识：圆形桌面可看作以O为圆心、50cm为半径的圆，桌面上的点P要么在圆内，要么在圆上。根据点和圆的位置关系规律，可得到OP的长度取值范围，再对照选项选出符合范围的结果即可。
【解析】
由题意可知，圆形桌面对应⊙O，半径r=50cm。
∵点P在桌面上，
∴点P在⊙O内或在⊙O上。
根据点与圆的位置关系性质：若点在圆内，则点到圆心的距离d＜r；若点在圆上，则点到圆心的距离d=r。
因此OP的长度满足OP≤50cm。
对照选项：A选项40cm＜50cm，符合要求；B、C、D选项的长度均大于50cm，不符合要求。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题是点与圆位置关系的实际应用问题，解题核心是结合实际场景明确点P的位置范围，进而推导出线段OP的取值范围，整体考查基础，容易得分。
【难度系数】
0.9
2.【开放性试题】已知点C在线段AB上，且AC=3，BC=4，以点C为圆心r为半径作圆，若点A，点B只有一个点在圆内，则r的值可以为
3.6（答案不唯一）
（任意写出一个满足题意的值即可）。答案
2. 3.6(答案不唯一)
解析
【分析】
首先回忆点与圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；等于半径时在圆上；大于半径时在圆外。题目要求点A、B只有一个在圆内，首先明确两点到圆心C的距离：AC=3，BC=4。首先排除B单独在圆内的情况：因为BC＞AC，若B在圆内则r＞4，此时AC=3＜r，A也必然在圆内，不符合“只有一个点在圆内”的要求，因此只能是A在圆内、B不在圆内，据此列不等式即可求出r的取值范围，在范围内任取一个值即可。
【解析】
根据点与圆的位置关系判定：设点到圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；d=r时，点在圆上；d＞r时，点在圆外。
已知AC=3，BC=4，要求点A、B只有一个在圆内：
① 若B在圆内，则r＞BC=4，此时AC=3＜4＜r，点A也在圆内，不符合要求，排除该情况；
② 若A在圆内、B不在圆内，则需满足$\{\begin{array}{l}AC＜r \\ BC≥ r\end{array} $，代入数值得$\{\begin{array}{l}3＜r \\ 4≥ r\end{array} $，即r的取值范围为$3＜r≤4$。
在该范围内任取一个值，例如3.6即可。
【答案】
3.6（答案不唯一，满足$3＜r≤4$即可）
【知识点】
点与圆的位置关系；取值范围求解
【点评】
本题是开放性基础题，解题关键是熟练掌握点与圆的位置关系的判定方法，通过分类讨论排除不可能的情况，准确得出半径的取值范围即可解题，易错点是容易忽略r=4时B在圆上，不属于圆内，同样符合题意。
【难度系数】
0.7
首先回忆点与圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；等于半径时在圆上；大于半径时在圆外。题目要求点A、B只有一个在圆内，首先明确两点到圆心C的距离：AC=3，BC=4。首先排除B单独在圆内的情况：因为BC＞AC，若B在圆内则r＞4，此时AC=3＜r，A也必然在圆内，不符合“只有一个点在圆内”的要求，因此只能是A在圆内、B不在圆内，据此列不等式即可求出r的取值范围，在范围内任取一个值即可。
【解析】
根据点与圆的位置关系判定：设点到圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；d=r时，点在圆上；d＞r时，点在圆外。
已知AC=3，BC=4，要求点A、B只有一个在圆内：
① 若B在圆内，则r＞BC=4，此时AC=3＜4＜r，点A也在圆内，不符合要求，排除该情况；
② 若A在圆内、B不在圆内，则需满足$\{\begin{array}{l}AC＜r \\ BC≥ r\end{array} $，代入数值得$\{\begin{array}{l}3＜r \\ 4≥ r\end{array} $，即r的取值范围为$3＜r≤4$。
在该范围内任取一个值，例如3.6即可。
【答案】
3.6（答案不唯一，满足$3＜r≤4$即可）
【知识点】
点与圆的位置关系；取值范围求解
【点评】
本题是开放性基础题，解题关键是熟练掌握点与圆的位置关系的判定方法，通过分类讨论排除不可能的情况，准确得出半径的取值范围即可解题，易错点是容易忽略r=4时B在圆上，不属于圆内，同样符合题意。
【难度系数】
0.7
3.“已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，求证：$∠ B＜90°$.”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“$∠ B≥90°$”，则这个假设与以下哪个选项相矛盾（
A.等边对等角
B.等角对等边
C.三角形的内角和定理
D.三角形的三边关系
C
）A.等边对等角
B.等角对等边
C.三角形的内角和定理
D.三角形的三边关系
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查反证法的解题逻辑，解题思路如下：首先回忆反证法的核心步骤，即先假设命题结论不成立，再通过推导得出和已知条件、已有定理冲突的矛盾点。首先结合已知条件AB=AC，可根据等腰三角形性质得到∠B=∠C，再结合假设∠B≥90°推导三个内角的和，即可判断出矛盾对应的定理。
【解析】
1. 明确反证法的假设：$∠ B≥90°$；
2. 由已知$AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠ B=∠ C$，因此$∠ C≥90°$；
3. 计算三角形三个内角的和：$∠ A+∠ B+∠ C≥∠ A+90°+90°=∠ A+180°$，由于三角形内角$∠ A＞0$，因此$∠ A+∠ B+∠ C＞180°$；
4. 上述推导结果和“三角形的内角和为$180°$”的定理矛盾，因此假设不成立，原命题得证。
综上该假设与三角形的内角和定理矛盾，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反证法；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题关键是结合已知几何性质推导假设下的结论，判断推导结果和已有定理的冲突点，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
本题考查反证法的解题逻辑，解题思路如下：首先回忆反证法的核心步骤，即先假设命题结论不成立，再通过推导得出和已知条件、已有定理冲突的矛盾点。首先结合已知条件AB=AC，可根据等腰三角形性质得到∠B=∠C，再结合假设∠B≥90°推导三个内角的和，即可判断出矛盾对应的定理。
【解析】
1. 明确反证法的假设：$∠ B≥90°$；
2. 由已知$AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠ B=∠ C$，因此$∠ C≥90°$；
3. 计算三角形三个内角的和：$∠ A+∠ B+∠ C≥∠ A+90°+90°=∠ A+180°$，由于三角形内角$∠ A＞0$，因此$∠ A+∠ B+∠ C＞180°$；
4. 上述推导结果和“三角形的内角和为$180°$”的定理矛盾，因此假设不成立，原命题得证。
综上该假设与三角形的内角和定理矛盾，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反证法；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题关键是结合已知几何性质推导假设下的结论，判断推导结果和已有定理的冲突点，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
4. 将图中的破轮子复原，已知弧上三点A,B,C.
(1)画出该轮的圆心；
(2)若$△ ABC$是等腰三角形，底边$BC=16\ \mathrm{cm}$，腰$AB=10\ \mathrm{cm}$，求轮子的半径$R$.
(1)画出该轮的圆心；
(2)若$△ ABC$是等腰三角形，底边$BC=16\ \mathrm{cm}$，腰$AB=10\ \mathrm{cm}$，求轮子的半径$R$.
答案
4.解:(1)如图,弦AB和AC的垂直平分线的交点O即为所求的圆心.
(2)如图,连接AO,OB,BC,BC交OA于点D.
∵BC=16 cm,
∴BD=8 cm.
∵AB=10 cm,
∴AD=6 cm. 设圆片的半径为R,在Rt△BOD中,OD=(R-6) cm,
∴R²=8²+(R-6)²,解得$R=\frac{25}{3}$.
∴轮子的半径R为$\frac{25}{3}$ cm.
解析
【分析】
(1) 要确定残缺圆的圆心，可依据圆的性质：圆心到圆上任意点的距离相等，因此圆心在任意弦的垂直平分线上，只需作出两条不同弦的垂直平分线，二者交点就是圆心。
(2) 求半径时，先结合等腰三角形三线合一和垂径定理，可得OA垂直平分BC，先计算出BD、AD的长度，再在直角三角形BOD中，用勾股定理建立关于半径R的方程，解方程即可得到半径值。
【解析】
(1) 分别作弦AB、弦AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求的圆心，如图所示。
(2) 连接AO、OB、BC，BC交OA于点D。
∵ △ABC是等腰三角形，底边$BC=16\ \mathrm{cm}$，结合垂径定理可得OA垂直平分BC，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=8\ \mathrm{cm}$，且$∠ ADB=90°$。
在$Rt△ ABD$中，$AB=10\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \mathrm{cm}$。
设轮子的半径为$R$，则$OB=R$，$OD=OA-AD=(R-6)\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ BOD$中，由勾股定理得$OB^2=BD^2+OD^2$，
代入得：$R^2=8^2+(R-6)^2$，
展开化简：$R^2=64+R^2-12R+36$，
解得$R=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1)
(2) 轮子的半径R为$\frac{25}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线性质
【点评】
本题结合圆的基本性质、等腰三角形特征与勾股定理，既考查了确定圆心的基础作图能力，又考查了用方程思想求解几何线段的方法，是圆相关计算的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定残缺圆的圆心，可依据圆的性质：圆心到圆上任意点的距离相等，因此圆心在任意弦的垂直平分线上，只需作出两条不同弦的垂直平分线，二者交点就是圆心。
(2) 求半径时，先结合等腰三角形三线合一和垂径定理，可得OA垂直平分BC，先计算出BD、AD的长度，再在直角三角形BOD中，用勾股定理建立关于半径R的方程，解方程即可得到半径值。
【解析】
(1) 分别作弦AB、弦AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求的圆心，如图所示。
(2) 连接AO、OB、BC，BC交OA于点D。
∵ △ABC是等腰三角形，底边$BC=16\ \mathrm{cm}$，结合垂径定理可得OA垂直平分BC，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=8\ \mathrm{cm}$，且$∠ ADB=90°$。
在$Rt△ ABD$中，$AB=10\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \mathrm{cm}$。
设轮子的半径为$R$，则$OB=R$，$OD=OA-AD=(R-6)\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ BOD$中，由勾股定理得$OB^2=BD^2+OD^2$，
代入得：$R^2=8^2+(R-6)^2$，
展开化简：$R^2=64+R^2-12R+36$，
解得$R=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1)
(2) 轮子的半径R为$\frac{25}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线性质
【点评】
本题结合圆的基本性质、等腰三角形特征与勾股定理，既考查了确定圆心的基础作图能力，又考查了用方程思想求解几何线段的方法，是圆相关计算的典型基础题。
【难度系数】
0.7
5.如图,在⊙O中,直径AB经过CD的中点E,已知CD=8,BE=2,则⊙O的半径是
第5题图 第6题图
5
.第5题图 第6题图
答案
5.5
解析
【分析】
首先观察图形特征：直径AB经过弦CD的中点，且AB与CD垂直，可直接运用垂径定理得到CE的长度。要求圆的半径，我们可以设半径为r，用含r的式子表示出直角三角形OCE的各边长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，E为CD的中点，且AB⊥CD，
根据垂径定理可得：$\boldsymbol{CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4}$。
设⊙O的半径为r，则$OC=OB=r$，
已知BE=2，因此$OE=OB-BE=r-2$。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：$OC^2=OE^2+CE^2$，
代入数值列方程：$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开得：$r^2=r^2-4r+4+16$，
化简移项得：$4r=20$，
解得：$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的典型基础题，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，熟练掌握垂径定理的应用场景能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征：直径AB经过弦CD的中点，且AB与CD垂直，可直接运用垂径定理得到CE的长度。要求圆的半径，我们可以设半径为r，用含r的式子表示出直角三角形OCE的各边长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，E为CD的中点，且AB⊥CD，
根据垂径定理可得：$\boldsymbol{CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4}$。
设⊙O的半径为r，则$OC=OB=r$，
已知BE=2，因此$OE=OB-BE=r-2$。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：$OC^2=OE^2+CE^2$，
代入数值列方程：$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开得：$r^2=r^2-4r+4+16$，
化简移项得：$4r=20$，
解得：$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的典型基础题，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，熟练掌握垂径定理的应用场景能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7
6.如图是一把大唐团扇的示意图，扇柄所在直线将扇面平分，小西为了使扇子更漂亮和耐用，在扇面$\odot O$中间增加了3根金丝线（虚线），扇子两端增加2根扇骨（$CD$，$EF$），金丝线和扇骨均垂直于直径$AB$且将$AB$均分.已知$CD$的长为10 cm，则扇骨$CD$与$EF$之间的距离为
$4\sqrt{5}$
cm.答案
6.$4\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：CD、EF和3根金丝线均垂直直径AB且将AB均分，CD长10cm。首先利用垂径定理得到CD长度的一半，再结合AB被均分的条件，得出CD到圆心O的距离与圆半径的数量关系，通过勾股定理列方程求出半径，最后根据EF和CD到圆心的距离即可求出两者的间距。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
1. 确定等分长度：直径$AB=2r$，由于垂直于$AB$的线将$AB$均分为6等份，因此每等份的长度为$\frac{2r}{6}=\frac{r}{3}\ \mathrm{cm}$。
2. 应用垂径定理：因为$CD⊥ AB$，所以$AB$平分$CD$，可得$CD$的一半长为$\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
3. 勾股定理求半径：$CD$到圆心$O$的距离为$2×\frac{r}{3}=\frac{2r}{3}\ \mathrm{cm}$，在由半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形中，由勾股定理得：
$(\frac{2r}{3})^2 + 5^2 = r^2$
展开计算：$\frac{4r^2}{9}+25=r^2$，移项得$\frac{5r^2}{9}=25$，解得$r^2=45$，即$r=3\sqrt{5}$（半径为正数，舍去负根）。
4. 计算$CD$与$EF$的间距：$EF$在圆心$O$上方，到$O$的距离也为$\frac{2r}{3}\ \mathrm{cm}$，因此$CD$和$EF$的距离为$\frac{2r}{3}+\frac{2r}{3}=\frac{4r}{3}$，代入$r=3\sqrt{5}$得：
$\frac{4}{3}×3\sqrt{5}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活中的团扇场景考查圆相关性质的应用，解题的关键是根据直径被均分的条件得到弦心距与半径的关系，再构造直角三角形求解，能很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确已知条件：CD、EF和3根金丝线均垂直直径AB且将AB均分，CD长10cm。首先利用垂径定理得到CD长度的一半，再结合AB被均分的条件，得出CD到圆心O的距离与圆半径的数量关系，通过勾股定理列方程求出半径，最后根据EF和CD到圆心的距离即可求出两者的间距。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
1. 确定等分长度：直径$AB=2r$，由于垂直于$AB$的线将$AB$均分为6等份，因此每等份的长度为$\frac{2r}{6}=\frac{r}{3}\ \mathrm{cm}$。
2. 应用垂径定理：因为$CD⊥ AB$，所以$AB$平分$CD$，可得$CD$的一半长为$\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
3. 勾股定理求半径：$CD$到圆心$O$的距离为$2×\frac{r}{3}=\frac{2r}{3}\ \mathrm{cm}$，在由半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形中，由勾股定理得：
$(\frac{2r}{3})^2 + 5^2 = r^2$
展开计算：$\frac{4r^2}{9}+25=r^2$，移项得$\frac{5r^2}{9}=25$，解得$r^2=45$，即$r=3\sqrt{5}$（半径为正数，舍去负根）。
4. 计算$CD$与$EF$的间距：$EF$在圆心$O$上方，到$O$的距离也为$\frac{2r}{3}\ \mathrm{cm}$，因此$CD$和$EF$的距离为$\frac{2r}{3}+\frac{2r}{3}=\frac{4r}{3}$，代入$r=3\sqrt{5}$得：
$\frac{4}{3}×3\sqrt{5}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活中的团扇场景考查圆相关性质的应用，解题的关键是根据直径被均分的条件得到弦心距与半径的关系，再构造直角三角形求解，能很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
7.如图，AB，CD是$\odot O$的直径，$AE=BD$.若$∠ AOE=32°$，则$∠ COE$的度数为
$64°$
.答案
7.$64°$
解析
【分析】
解题时首先利用同圆中相等的弦所对的圆心角相等这一性质，由已知AE=BD推出∠BOD与∠AOE度数相等；再根据直径相交形成的对顶角相等，得到∠AOC与∠BOD度数相等；最后观察图形可知∠COE是∠AOE与∠AOC的和，代入度数计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，弦$AE=BD$，
∴两条弦所对的圆心角相等，即$∠ BOD=∠ AOE=32°$。
∵AB、CD是$\odot O$的直径，交于圆心O，
∴$∠ AOC$与$∠ BOD$是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ AOC=∠ BOD=32°$。
∴$∠ COE=∠ AOE+∠ AOC=32°+32°=64°$。
【答案】
$64°$
【知识点】
同圆中弦与圆心角的关系、对顶角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是掌握圆中弦和对应圆心角的关系，结合对顶角相等完成角度的转化，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用同圆中相等的弦所对的圆心角相等这一性质，由已知AE=BD推出∠BOD与∠AOE度数相等；再根据直径相交形成的对顶角相等，得到∠AOC与∠BOD度数相等；最后观察图形可知∠COE是∠AOE与∠AOC的和，代入度数计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，弦$AE=BD$，
∴两条弦所对的圆心角相等，即$∠ BOD=∠ AOE=32°$。
∵AB、CD是$\odot O$的直径，交于圆心O，
∴$∠ AOC$与$∠ BOD$是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ AOC=∠ BOD=32°$。
∴$∠ COE=∠ AOE+∠ AOC=32°+32°=64°$。
【答案】
$64°$
【知识点】
同圆中弦与圆心角的关系、对顶角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是掌握圆中弦和对应圆心角的关系，结合对顶角相等完成角度的转化，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
8.(长沙中考)如图，AC，BC为$\odot O$的弦，连接OA，OB，OC.若$∠ AOB=40°$，$∠ OCA=30°$，则$∠ BCO$的度数为
$50°$
.答案
8.$50°$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，利用圆的半径相等，得到△OAC为等腰三角形，结合已知∠OCA的度数，求出∠AOC的度数；第二步，用∠AOC减去已知的∠AOB，得到∠BOC的度数；第三步，再次利用圆的半径相等得到△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和定理即可求出∠BCO的度数。
【解析】
∵OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC$，即$△ OAC$是等腰三角形，
∴$∠ OAC=∠ OCA=30°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AOC=180°-∠ OAC-∠ OCA=180°-30°-30°=120°$。
已知$∠ AOB=40°$，
∴$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=120°-40°=80°$。
又
∵OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OC$，即$△ OBC$是等腰三角形，
∴$∠ BCO=∠ CBO$，
∴$∠ BCO=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质和三角形知识的综合基础题，解题的核心是利用圆的半径相等构造等腰三角形，理清各个角度之间的数量关系即可求解，是圆相关角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，利用圆的半径相等，得到△OAC为等腰三角形，结合已知∠OCA的度数，求出∠AOC的度数；第二步，用∠AOC减去已知的∠AOB，得到∠BOC的度数；第三步，再次利用圆的半径相等得到△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和定理即可求出∠BCO的度数。
【解析】
∵OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC$，即$△ OAC$是等腰三角形，
∴$∠ OAC=∠ OCA=30°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AOC=180°-∠ OAC-∠ OCA=180°-30°-30°=120°$。
已知$∠ AOB=40°$，
∴$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=120°-40°=80°$。
又
∵OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OC$，即$△ OBC$是等腰三角形，
∴$∠ BCO=∠ CBO$，
∴$∠ BCO=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质和三角形知识的综合基础题，解题的核心是利用圆的半径相等构造等腰三角形，理清各个角度之间的数量关系即可求解，是圆相关角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
9.(陕西中考)如图，AB为$\odot O$的直径，$BC=BD$，$∠ CDB=24°$，则$∠ ACD$的度数为________。
答案
9.$66°$
解析
【分析】
解题时结合圆周角定理、圆的基本性质推导即可：首先回忆圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，同圆中等弦对等弧，直径对应的弧度数为180°。第一步先由已知的∠CDB求出它所对的弧BC的度数；第二步根据BC=BD得到弧BD的度数；第三步结合AB是直径求出弧AD的度数；最后由∠ACD对应弧AD，用圆周角定理求出∠ACD的度数即可。
【解析】
解：
∵∠CDB是弧BC所对的圆周角，∠CDB=24°
∴弧BC的度数为$2×24°=48°$（圆周角定理）
又
∵$BC=BD$
∴弧BC=弧BD（同圆中等弦对等弧）
∴弧BD的度数为$48°$
∵AB是$\odot O$的直径
∴弧AB的度数为$180°$
∴弧AD的度数=$180°-48°=132°$
∵∠ACD是弧AD所对的圆周角
∴$∠ ACD=\frac{1}{2}×132°=66°$
【答案】
$66°$
【知识点】
圆周角定理、等弦对等弧、直径的性质
【点评】
本题是圆章节的常规考题，核心考查圆周角与对应弧的度数转化关系，解题的关键是找准角度对应的弧，熟练掌握圆的基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时结合圆周角定理、圆的基本性质推导即可：首先回忆圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，同圆中等弦对等弧，直径对应的弧度数为180°。第一步先由已知的∠CDB求出它所对的弧BC的度数；第二步根据BC=BD得到弧BD的度数；第三步结合AB是直径求出弧AD的度数；最后由∠ACD对应弧AD，用圆周角定理求出∠ACD的度数即可。
【解析】
解：
∵∠CDB是弧BC所对的圆周角，∠CDB=24°
∴弧BC的度数为$2×24°=48°$（圆周角定理）
又
∵$BC=BD$
∴弧BC=弧BD（同圆中等弦对等弧）
∴弧BD的度数为$48°$
∵AB是$\odot O$的直径
∴弧AB的度数为$180°$
∴弧AD的度数=$180°-48°=132°$
∵∠ACD是弧AD所对的圆周角
∴$∠ ACD=\frac{1}{2}×132°=66°$
【答案】
$66°$
【知识点】
圆周角定理、等弦对等弧、直径的性质
【点评】
本题是圆章节的常规考题，核心考查圆周角与对应弧的度数转化关系，解题的关键是找准角度对应的弧，熟练掌握圆的基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
10.(广安中考)如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$∠ BCD=120°$，$\odot O$的半径为6，则BD的长为
$6\sqrt{3}$
。答案
10.$6\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：1. 先利用圆内接四边形对角互补的性质，求出∠BAD的度数；2. 结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，算出弦BD对应的圆心角∠BOD的度数；3. 构造过圆心垂直于BD的辅助线，结合垂径定理和等腰三角形三线合一的性质，将问题转化为解直角三角形，最终求出BD的长度。
【解析】
解：连接OB、OD，过点O作OE⊥BD于点E。
1. 求∠BAD的度数：
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵ ∠BCD=120°，
∴ ∠BAD=180°-120°=60°。
2. 求圆心角∠BOD的度数：
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠BOD=2∠BAD=2×60°=120°。
3. 求弦BD的长度：
∵ OB=OD=⊙O的半径=6，OE⊥BD，
∴ BE=DE，∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=60°（等腰三角形三线合一）。
在Rt△BOE中，∠OBE=30°，
∴ OE=$\frac{1}{2}$OB=3，
由勾股定理得：$BE=\sqrt{OB^2 - OE^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
∴ $BD=2BE=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题，解题核心是通过圆的相关性质将求弦长的问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题时注意辅助线的构造思路，是圆章节的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下步骤思考：1. 先利用圆内接四边形对角互补的性质，求出∠BAD的度数；2. 结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，算出弦BD对应的圆心角∠BOD的度数；3. 构造过圆心垂直于BD的辅助线，结合垂径定理和等腰三角形三线合一的性质，将问题转化为解直角三角形，最终求出BD的长度。
【解析】
解：连接OB、OD，过点O作OE⊥BD于点E。
1. 求∠BAD的度数：
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵ ∠BCD=120°，
∴ ∠BAD=180°-120°=60°。
2. 求圆心角∠BOD的度数：
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠BOD=2∠BAD=2×60°=120°。
3. 求弦BD的长度：
∵ OB=OD=⊙O的半径=6，OE⊥BD，
∴ BE=DE，∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=60°（等腰三角形三线合一）。
在Rt△BOE中，∠OBE=30°，
∴ OE=$\frac{1}{2}$OB=3，
由勾股定理得：$BE=\sqrt{OB^2 - OE^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
∴ $BD=2BE=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题，解题核心是通过圆的相关性质将求弦长的问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题时注意辅助线的构造思路，是圆章节的典型考题。
【难度系数】
0.7
11.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，对角线BD为$\odot O$的直径，$BC=CD$，在AD的延长线上取一点E，连接CE，使$CD=CE$。
(1)求证:$AB=AE$;
(2)若$AD=DE=2$，求BD的长.
(1)求证:$AB=AE$;
(2)若$AD=DE=2$，求BD的长.
答案
11.解:(1)证明:连接AC.
∵BC=CD,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$.
∴∠BAC=∠EAC.
∵CD=CE,
∴∠E=∠CDE.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ADC+∠CDE=180°,
∴∠ABC=∠CDE.
∴∠ABC=∠E. 在△ABC与△AEC中,
$\begin{cases}∠BAC=∠EAC,\\∠ABC=∠AEC,\\AC=AC,\end{cases}$
∴△ABC≌△AEC(AAS).
∴AB=AE.
(2)
∵AD=DE=2,
∴AE=AD+DE=2+2=4.
∴AB=AE=4.
∵BD为⊙O的直径,
∴∠BAD=90°. 在Rt△ABD中利用勾股定理,得BD=$\sqrt{AB^2+AD^2}$=$\sqrt{4^2+2^2}$=$2\sqrt{5}$.
∵BC=CD,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$.
∴∠BAC=∠EAC.
∵CD=CE,
∴∠E=∠CDE.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ADC+∠CDE=180°,
∴∠ABC=∠CDE.
∴∠ABC=∠E. 在△ABC与△AEC中,
$\begin{cases}∠BAC=∠EAC,\\∠ABC=∠AEC,\\AC=AC,\end{cases}$
∴△ABC≌△AEC(AAS).
∴AB=AE.
(2)
∵AD=DE=2,
∴AE=AD+DE=2+2=4.
∴AB=AE=4.
∵BD为⊙O的直径,
∴∠BAD=90°. 在Rt△ABD中利用勾股定理,得BD=$\sqrt{AB^2+AD^2}$=$\sqrt{4^2+2^2}$=$2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
（1）要证AB=AE，可通过证明△ABC和△AEC全等实现。首先由BC=CD可得对应弧相等，推出∠BAC=∠EAC；再结合CD=CE得∠E=∠CDE，利用圆内接四边形的性质和邻补角关系可证∠ABC=∠E，加上公共边AC，即可用AAS证明两三角形全等，得到AB=AE。
（2）先由AD=DE求出AE的长度，结合第一问结论得到AB的长；再根据BD是圆的直径，可得∠BAD=90°，最后在Rt△ABD中用勾股定理计算BD的长度即可。
【解析】
(1) 证明：连接AC.
∵ $BC=CD$，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠BAC=∠EAC$.
∵ $CD=CE$，
∴ $∠E=∠CDE$.
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ABC+∠ADC=180°$.
又
∵ $∠ADC+∠CDE=180°$，
∴ $∠ABC=∠CDE$，
∴ $∠ABC=∠E$.
在△ABC和△AEC中：
$\begin{cases}∠BAC=∠EAC, \\∠ABC=∠AEC, \\AC=AC,\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ AEC(\mathrm{AAS})$，
∴ $AB=AE$.
(2) 解：
∵ $AD=DE=2$，
∴ $AE=AD+DE=2+2=4$，
由(1)的结论得$AB=AE=4$.
∵ BD为$\odot O$的直径，
∴ $∠BAD=90°$.
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
【答案】
(1) 证明成立，$AB=AE$；
(2) $BD$的长为$2\sqrt{5}$.
【知识点】
圆内接四边形性质，全等三角形判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，解题关键是合理添加辅助线AC，利用圆周角、圆内接四边形的性质推导全等所需的角相等条件，第二问可直接利用第一问的结论简化计算，考查了学生综合运用几何知识的能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证AB=AE，可通过证明△ABC和△AEC全等实现。首先由BC=CD可得对应弧相等，推出∠BAC=∠EAC；再结合CD=CE得∠E=∠CDE，利用圆内接四边形的性质和邻补角关系可证∠ABC=∠E，加上公共边AC，即可用AAS证明两三角形全等，得到AB=AE。
（2）先由AD=DE求出AE的长度，结合第一问结论得到AB的长；再根据BD是圆的直径，可得∠BAD=90°，最后在Rt△ABD中用勾股定理计算BD的长度即可。
【解析】
(1) 证明：连接AC.
∵ $BC=CD$，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠BAC=∠EAC$.
∵ $CD=CE$，
∴ $∠E=∠CDE$.
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ABC+∠ADC=180°$.
又
∵ $∠ADC+∠CDE=180°$，
∴ $∠ABC=∠CDE$，
∴ $∠ABC=∠E$.
在△ABC和△AEC中：
$\begin{cases}∠BAC=∠EAC, \\∠ABC=∠AEC, \\AC=AC,\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ AEC(\mathrm{AAS})$，
∴ $AB=AE$.
(2) 解：
∵ $AD=DE=2$，
∴ $AE=AD+DE=2+2=4$，
由(1)的结论得$AB=AE=4$.
∵ BD为$\odot O$的直径，
∴ $∠BAD=90°$.
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
【答案】
(1) 证明成立，$AB=AE$；
(2) $BD$的长为$2\sqrt{5}$.
【知识点】
圆内接四边形性质，全等三角形判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，解题关键是合理添加辅助线AC，利用圆周角、圆内接四边形的性质推导全等所需的角相等条件，第二问可直接利用第一问的结论简化计算，考查了学生综合运用几何知识的能力。
【难度系数】
0.6
