综合与实践
【问题提出】
我们知道,过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆.那么,过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗?
【实验探究】
(1)获得猜想
观察图1至图4,分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆,提出猜想:
过的四边形的四个顶点能作一个圆.(请填写序号)
①对边相等;②一组对边平行;③对角线相等;④对角互补.

(2)推理证明
已知:在四边形$ABCD$中,$∠B+∠D=180°$.
求证:过点$A,B,C,D$可作一个圆.
证明:假设过点$A,B,C,D$不能作一个圆.
如图5,过$A,B,C$三点作$\odot O$,点$D$不在圆上.
若点$D$在$\odot O$外,$AD$与$\odot O$交于点$E$,连接$CE$,则$∠B+∠AEC=$①.
$\because ∠B+∠D=180°,\therefore ∠AEC=∠D.$
而$∠AEC$是$△ CDE$的外角,
$\therefore ∠AEC$②$∠D$.出现矛盾,故假设不成立.
$\therefore$点$D$在过$A,B,C$三点的圆上.
同理可证,点$D$在$\odot O$内的情况.
【应用结论】
(3)如图6,四边形$ABCD$中,对角线$AC,BD$交于点$E$,$∠ABC+∠ADC=180°$,$AC$平分$∠BAD$.若$∠BAC=30°$,求$∠CBD$的度数.

(1)④
(2)①$180°$ ②$＞$
(3)$\because ∠ABC+∠ADC=180°$,
$\therefore A,B,C,D$四点共圆. $\because AC$平分$∠BAD, ∠BAC=30°$,
$\therefore ∠BAC=∠DAC=30°. \therefore ∠CBD=∠DAC=30°.$

【分析】
1. 第(1)问：分析四个待判断图形的特征：菱形仅对角相等，非正方形的菱形对角不互补，四点不共圆；矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形组成的四边形，共同特征是对角互补，均满足四点共圆，因此对应条件为对角互补。
2. 第(2)问：采用反证法证明，若点D在圆外，A、B、C、E四点共圆，根据圆内接四边形性质可得对角和为180°；再结合三角形外角的性质，外角大于任意不相邻内角，可推出与已知条件矛盾的结论，即可证明假设不成立。
3. 第(3)问：先根据对角互补的四边形四点共圆，确定A、B、C、D共圆；再结合角平分线定义得到∠DAC的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等，即可求出∠CBD的度数。
【解析】
(1) 四类四边形中，仅对角互补的四边形四个顶点可共圆，因此选④。
(2) ① A、B、C、E在同一个圆上，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ B+∠ AEC=180°$；
② 三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角，$∠ AEC$是$△ CDE$的外角，因此$∠ AEC＞∠ D$，和推导得到的$∠ AEC=∠ D$矛盾。
(3) $\because ∠ ABC+∠ ADC=180°$，
$\therefore A,B,C,D$四点共圆。
$\because AC$平分$∠ BAD$，$∠ BAC=30°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC=30°$。
$\because ∠ CBD$和$∠ DAC$都是弧$CD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ CBD=∠ DAC=30°$。
【答案】
(1) ④
(2) ①$180°$ ②$＞$
(3) $30°$
【知识点】
四点共圆的判定；圆周角定理；反证法
【点评】
本题围绕四点共圆的条件展开，涵盖猜想、证明、应用三个环节，既考查了圆内接四边形性质、三角形外角性质、圆周角定理等基础知识点，也考查了逻辑推理能力和新知应用能力。
【难度系数】
0.7