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1. 课堂上，老师让同学们四等分AB，萌萌作出了如图所示的图形，仔细观察，你同意萌萌的画法吗？为什么？
答案
不同意萌萌的画法，因为萌萌等分的不是弧，而是线段AT,TB，正确的画法如图所示.作法:①作AB的垂直平分线NT,②作∠BTN与∠ATN的平分线.
解析
【分析】
要判断萌萌的画法是否正确，首先需明确本题要求是四等分半圆的弧AB。首先回忆弧等分的判定依据：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。因此四等分弧AB的本质是将弧AB对应的180°圆心角平分为4个45°的圆心角。再看萌萌的画法：她是将线段AB四等分，过线段AB的四等分点作AB的垂线交弧于点，误以为这样得到的弧是等弧，但这种画法得到的各段弧对应的圆心角并不相等，因此无法实现弧的四等分。正确的思路是先作AB的垂直平分线得到90°的两段弧，再作两个90°角的角平分线，即可得到四个45°的圆心角，对应四段等弧。
【解析】
首先分析萌萌的画法错误：
题目要求四等分弧AB（AB为半圆直径），萌萌的操作是将线段AB四等分，过各分点作AB的垂线交弧AB于M、N、P，该方法得到的四段弧对应的圆心角大小不相等，因此四段弧长度不等，没有完成四等分弧AB的要求。
正确的四等分弧AB的作法：
1. 作AB的垂直平分线NT，交弧AB于点N，此时∠ATN=∠BTN=90°，可得弧AN=弧BN，将半圆平分为2等份；
2. 分别作∠ATN和∠BTN的角平分线，交弧AN、弧BN于点M、P，此时∠ATM=∠MTN=∠NTP=∠PTB=45°，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得弧AM=弧MN=弧NP=弧PB，实现四等分弧AB。
【答案】
不同意萌萌的画法，因为萌萌等分的不是弧，而是线段AT,TB，正确的画法如图所示.作法:①作AB的垂直平分线NT,②作∠BTN与∠ATN的平分线.
【知识点】
1. 同圆圆心角与弧的关系
2. 垂直平分线的作法
3. 角平分线的作法
【点评】
本题易混淆线段等分和弧等分的概念，解题的核心是明确弧等分的判定依据，即同圆中相等的圆心角对应相等的弧，同时需要熟练掌握垂直平分线、角平分线的尺规作图方法。
【难度系数】
0.7
要判断萌萌的画法是否正确，首先需明确本题要求是四等分半圆的弧AB。首先回忆弧等分的判定依据：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。因此四等分弧AB的本质是将弧AB对应的180°圆心角平分为4个45°的圆心角。再看萌萌的画法：她是将线段AB四等分，过线段AB的四等分点作AB的垂线交弧于点，误以为这样得到的弧是等弧，但这种画法得到的各段弧对应的圆心角并不相等，因此无法实现弧的四等分。正确的思路是先作AB的垂直平分线得到90°的两段弧，再作两个90°角的角平分线，即可得到四个45°的圆心角，对应四段等弧。
【解析】
首先分析萌萌的画法错误：
题目要求四等分弧AB（AB为半圆直径），萌萌的操作是将线段AB四等分，过各分点作AB的垂线交弧AB于M、N、P，该方法得到的四段弧对应的圆心角大小不相等，因此四段弧长度不等，没有完成四等分弧AB的要求。
正确的四等分弧AB的作法：
1. 作AB的垂直平分线NT，交弧AB于点N，此时∠ATN=∠BTN=90°，可得弧AN=弧BN，将半圆平分为2等份；
2. 分别作∠ATN和∠BTN的角平分线，交弧AN、弧BN于点M、P，此时∠ATM=∠MTN=∠NTP=∠PTB=45°，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得弧AM=弧MN=弧NP=弧PB，实现四等分弧AB。
【答案】
不同意萌萌的画法，因为萌萌等分的不是弧，而是线段AT,TB，正确的画法如图所示.作法:①作AB的垂直平分线NT,②作∠BTN与∠ATN的平分线.
【知识点】
1. 同圆圆心角与弧的关系
2. 垂直平分线的作法
3. 角平分线的作法
【点评】
本题易混淆线段等分和弧等分的概念，解题的核心是明确弧等分的判定依据，即同圆中相等的圆心角对应相等的弧，同时需要熟练掌握垂直平分线、角平分线的尺规作图方法。
【难度系数】
0.7
2. 司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖(如图 1). 司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20 cm，根据八个方位将圆形八等分(图2中的点A～H)，连接DG，BH并延长交于点P.
(1)点P位于点D的北偏东
(2)求PH的长；
(3)连接BG，比较线段BG与PH的大小(写出你作出判断的理由).
(1)点P位于点D的北偏东
67.5°
的方向上；(2)求PH的长；
(3)连接BG，比较线段BG与PH的大小(写出你作出判断的理由).
答案
(1)67.5°
(2)连接DH,则DH为直径,
∴∠DBP=90°,DH=20 cm.由(1)知,∠BDP=67.5°,
∴∠P=90°-67.5°=22.5°.
∵∠GOH=360°÷8=45°,
∴∠HDG=1/2×45°=22.5°.
∴PH=DH=20 cm.
(3)PH＞BG,理由如下:连接OG,BF,过点G作GM⊥BF交BF于点M.
∵∠GOM=45°,OG=10 cm,
∴GM=OM=5√2 cm.
∴BM=OB+OM=(10+5√2)(cm).在Rt△BGM中,BG²=BM²+GM²=200+100√2＜400.
∵PH²=400,
∴PH²＞BG².
∴PH＞BG.
(2)连接DH,则DH为直径,
∴∠DBP=90°,DH=20 cm.由(1)知,∠BDP=67.5°,
∴∠P=90°-67.5°=22.5°.
∵∠GOH=360°÷8=45°,
∴∠HDG=1/2×45°=22.5°.
∴PH=DH=20 cm.
(3)PH＞BG,理由如下:连接OG,BF,过点G作GM⊥BF交BF于点M.
∵∠GOM=45°,OG=10 cm,
∴GM=OM=5√2 cm.
∴BM=OB+OM=(10+5√2)(cm).在Rt△BGM中,BG²=BM²+GM²=200+100√2＜400.
∵PH²=400,
∴PH²＞BG².
∴PH＞BG.
解析
【分析】
(1) 先明确八等分圆周后每段弧对应的圆心角为$360°÷8=45°$，结合方位角的定义，通过圆周角的性质计算DP与点D正北方向的夹角即可得到结果。
(2) 求PH的长度时，先连接直径DH，利用“直径所对的圆周角为直角”得到直角三角形，再通过角度计算推导得到等角，利用等角对等边的性质即可推出PH和直径DH相等，进而求出PH。
(3) 比较BG和PH的大小，因为PH长度已知，可通过作垂线构造直角三角形，用勾股定理求出BG长度的平方，和PH的平方比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 八等分圆周后每相邻两点对应的圆心角为$45°$，结合方位角的计算规则，可得点P位于点D的北偏东$67.5°$的方向上。
(2) 连接DH，由八等分圆周的特征可知DH为圆O的直径，
$\therefore∠ DHP=90°$，$DH=20\ \mathrm{cm}$。
由(1)可知$∠ BDP=67.5°$，
$\therefore∠ P=90°-67.5°=22.5°$。
$\because$弧HG对应的圆心角$∠ GOH=360°÷8=45°$，
$\therefore$同弧所对的圆周角$∠ HDG=\frac{1}{2}×45°=22.5°$，
$\therefore∠ P=∠ HDG$，
$\therefore PH=DH=20\ \mathrm{cm}$。
(3) $PH＞BG$，理由如下：
连接OG，过点G作$GM⊥ BH$交BH于点M，
$\because∠ GOM=45°$，$OG=10\ \mathrm{cm}$，
$\therefore GM=OM=OG·\sin45°=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BM=OB+OM=(10+5\sqrt{2})\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ BGM$中，由勾股定理得：
$BG^2=BM^2+GM^2=(10+5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=200+100\sqrt{2}\approx341.4＜400$，
$\because PH=20\ \mathrm{cm}$，$\therefore PH^2=400$，
$\therefore PH^2＞BG^2$，即$PH＞BG$。
【答案】
(1) $67.5°$
(2) $20\ \mathrm{cm}$
(3) $PH＞BG$
【知识点】
方位角的识别，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题结合我国古代司南的传统文化背景设计问题，将圆的性质、几何计算和方位角知识结合考查，解题核心是充分利用圆周八等分的角度特征，灵活运用圆的性质和勾股定理转化边角关系，既巩固了基础知识点，也能引导学生了解传统文化。
【难度系数】
0.6
(1) 先明确八等分圆周后每段弧对应的圆心角为$360°÷8=45°$，结合方位角的定义，通过圆周角的性质计算DP与点D正北方向的夹角即可得到结果。
(2) 求PH的长度时，先连接直径DH，利用“直径所对的圆周角为直角”得到直角三角形，再通过角度计算推导得到等角，利用等角对等边的性质即可推出PH和直径DH相等，进而求出PH。
(3) 比较BG和PH的大小，因为PH长度已知，可通过作垂线构造直角三角形，用勾股定理求出BG长度的平方，和PH的平方比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 八等分圆周后每相邻两点对应的圆心角为$45°$，结合方位角的计算规则，可得点P位于点D的北偏东$67.5°$的方向上。
(2) 连接DH，由八等分圆周的特征可知DH为圆O的直径，
$\therefore∠ DHP=90°$，$DH=20\ \mathrm{cm}$。
由(1)可知$∠ BDP=67.5°$，
$\therefore∠ P=90°-67.5°=22.5°$。
$\because$弧HG对应的圆心角$∠ GOH=360°÷8=45°$，
$\therefore$同弧所对的圆周角$∠ HDG=\frac{1}{2}×45°=22.5°$，
$\therefore∠ P=∠ HDG$，
$\therefore PH=DH=20\ \mathrm{cm}$。
(3) $PH＞BG$，理由如下：
连接OG，过点G作$GM⊥ BH$交BH于点M，
$\because∠ GOM=45°$，$OG=10\ \mathrm{cm}$，
$\therefore GM=OM=OG·\sin45°=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BM=OB+OM=(10+5\sqrt{2})\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ BGM$中，由勾股定理得：
$BG^2=BM^2+GM^2=(10+5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=200+100\sqrt{2}\approx341.4＜400$，
$\because PH=20\ \mathrm{cm}$，$\therefore PH^2=400$，
$\therefore PH^2＞BG^2$，即$PH＞BG$。
【答案】
(1) $67.5°$
(2) $20\ \mathrm{cm}$
(3) $PH＞BG$
【知识点】
方位角的识别，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题结合我国古代司南的传统文化背景设计问题，将圆的性质、几何计算和方位角知识结合考查，解题核心是充分利用圆周八等分的角度特征，灵活运用圆的性质和勾股定理转化边角关系，既巩固了基础知识点，也能引导学生了解传统文化。
【难度系数】
0.6
3. 等分圆是指将一个圆周均匀分割成多个相同长度的弧段，每个弧段对应的圆心角相等.小南学习了等分圆后，尝试着编了一道题:如图，已知$\odot O$的半径长为2，点A,B,C,D,E,F将$\odot O$六等分，连接AB,AF,CA,CF，发现CF恰好过圆心O，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点G，连接FG.
(1)$∠ OCG=$
(2)在(1)的结论下，求FG的长；
(3)求图中阴影部分的面积.
(1)$∠ OCG=$
90
$°$；(2)在(1)的结论下，求FG的长；
(3)求图中阴影部分的面积.
答案
(1)90
(2)连接OA,OB.
∵∠AOB=360°÷6=60°,AO=BO,
∴△BOC是等边三角形,
∴∠OCB=60°.
∵半径为2,
∴BC=2.
∵∠OCG=90°,
∴∠BCG=90°-60°=30°.
∵FC=2CO=4,CG⊥AB,
∴在Rt△BCG中,CG=√3.
∴FG=√(CG²+CF²)=√(3+16)=√19.
(3)在Rt△ACF中,∠ACF=30°,CF=4,
∴AF=1/2 CF=2,AC=2√3.在Rt△ACG中,∠CAG=30°,AC=2√3,
∴CG=1/2 AC=√3,AG=3.连接BC,则S△ABC=S△OBC,
∴S阴影部分=S△ACG - S扇形BOC=1/2×√3×3 - (60π×2²)/360= 3/2√3 - 2/3 π.
(2)连接OA,OB.
∵∠AOB=360°÷6=60°,AO=BO,
∴△BOC是等边三角形,
∴∠OCB=60°.
∵半径为2,
∴BC=2.
∵∠OCG=90°,
∴∠BCG=90°-60°=30°.
∵FC=2CO=4,CG⊥AB,
∴在Rt△BCG中,CG=√3.
∴FG=√(CG²+CF²)=√(3+16)=√19.
(3)在Rt△ACF中,∠ACF=30°,CF=4,
∴AF=1/2 CF=2,AC=2√3.在Rt△ACG中,∠CAG=30°,AC=2√3,
∴CG=1/2 AC=√3,AG=3.连接BC,则S△ABC=S△OBC,
∴S阴影部分=S△ACG - S扇形BOC=1/2×√3×3 - (60π×2²)/360= 3/2√3 - 2/3 π.
解析
【分析】
(1) 已知⊙O被六等分，每段弧对应的圆心角为$360°÷6=60°$，可推导得$AB// OC$，结合$CG⊥ AB$，可得$CG⊥ OC$，即可求出$∠ OCG$的度数；
(2) 求$FG$的长时，观察可得$△ FCG$是直角三角形，已知$CF$为直径长4，只需算出$CG$的长度即可：先证$△ BOC$是等边三角形得到$BC=2$，结合$∠ BCG=30°$，在$Rt△ BCG$中求出$CG=\sqrt{3}$，最后用勾股定理计算$FG$即可；
(3) 阴影为不规则图形，用割补法求解：先证明$S_{△ ABC}=S_{△ OBC}$，因此阴影面积等于$Rt△ ACG$的面积减去扇形$OBC$的面积，分别计算两个规则图形的面积作差即可。
【解析】
(1) $\because$点$A,B,C,D,E,F$将$\odot O$六等分，每段弧对应圆心角为$60°$，可证$AB// OC$，
又$\because CG⊥ AB$，$\therefore CG⊥ OC$，即$∠ OCG=90°$。
(2) 连接$OA,OB$，
$\because ∠ AOB=360°÷6=60°$，$AO=BO$，
$\therefore △ AOB$是等边三角形，同理$△ BOC$也是等边三角形，
$\therefore ∠ OCB=60°$，$BC=2$，
$\because ∠ OCG=90°$，$\therefore ∠ BCG=90°-60°=30°$，
$\because CF$是$\odot O$的直径，$\therefore CF=2×2=4$，
在$Rt△ BCG$中，$∠ G=90°$，$∠ BCG=30°$，$BC=2$，
$\therefore BG=1$，$CG=\sqrt{BC^2-BG^2}=\sqrt{3}$，
在$Rt△ FCG$中，$∠ FCG=90°$，
$\therefore FG=\sqrt{CG^2+CF^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{19}$。
(3) 在$Rt△ ACF$中，$∠ ACF=30°$，$CF=4$，
$\therefore AF=\frac{1}{2}CF=2$，$AC=2\sqrt{3}$，
在$Rt△ ACG$中，$∠ CAG=30°$，$AC=2\sqrt{3}$，
$\therefore CG=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，$AG=3$，
连接$BC$，$\because AB// OC$，$△ ABC$和$△ OBC$同底等高，$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ OBC}$，
$\therefore S_{阴影}=S_{△ ACG}-S_{扇形BOC}=\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}-\frac{60π×2^2}{360}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2π}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90}$
(2) $\boldsymbol{\sqrt{19}}$
(3) $\boldsymbol{\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2π}{3}}$
【知识点】
等分圆的性质，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质、特殊直角三角形的性质以及不规则图形面积的计算，解题关键是合理运用割补法将阴影面积转化为规则图形面积的差，需要熟练掌握等分圆中角度、线段的特殊关系。
【难度系数】
0.6
(1) 已知⊙O被六等分，每段弧对应的圆心角为$360°÷6=60°$，可推导得$AB// OC$，结合$CG⊥ AB$，可得$CG⊥ OC$，即可求出$∠ OCG$的度数；
(2) 求$FG$的长时，观察可得$△ FCG$是直角三角形，已知$CF$为直径长4，只需算出$CG$的长度即可：先证$△ BOC$是等边三角形得到$BC=2$，结合$∠ BCG=30°$，在$Rt△ BCG$中求出$CG=\sqrt{3}$，最后用勾股定理计算$FG$即可；
(3) 阴影为不规则图形，用割补法求解：先证明$S_{△ ABC}=S_{△ OBC}$，因此阴影面积等于$Rt△ ACG$的面积减去扇形$OBC$的面积，分别计算两个规则图形的面积作差即可。
【解析】
(1) $\because$点$A,B,C,D,E,F$将$\odot O$六等分，每段弧对应圆心角为$60°$，可证$AB// OC$，
又$\because CG⊥ AB$，$\therefore CG⊥ OC$，即$∠ OCG=90°$。
(2) 连接$OA,OB$，
$\because ∠ AOB=360°÷6=60°$，$AO=BO$，
$\therefore △ AOB$是等边三角形，同理$△ BOC$也是等边三角形，
$\therefore ∠ OCB=60°$，$BC=2$，
$\because ∠ OCG=90°$，$\therefore ∠ BCG=90°-60°=30°$，
$\because CF$是$\odot O$的直径，$\therefore CF=2×2=4$，
在$Rt△ BCG$中，$∠ G=90°$，$∠ BCG=30°$，$BC=2$，
$\therefore BG=1$，$CG=\sqrt{BC^2-BG^2}=\sqrt{3}$，
在$Rt△ FCG$中，$∠ FCG=90°$，
$\therefore FG=\sqrt{CG^2+CF^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{19}$。
(3) 在$Rt△ ACF$中，$∠ ACF=30°$，$CF=4$，
$\therefore AF=\frac{1}{2}CF=2$，$AC=2\sqrt{3}$，
在$Rt△ ACG$中，$∠ CAG=30°$，$AC=2\sqrt{3}$，
$\therefore CG=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，$AG=3$，
连接$BC$，$\because AB// OC$，$△ ABC$和$△ OBC$同底等高，$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ OBC}$，
$\therefore S_{阴影}=S_{△ ACG}-S_{扇形BOC}=\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}-\frac{60π×2^2}{360}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2π}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90}$
(2) $\boldsymbol{\sqrt{19}}$
(3) $\boldsymbol{\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2π}{3}}$
【知识点】
等分圆的性质，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质、特殊直角三角形的性质以及不规则图形面积的计算，解题关键是合理运用割补法将阴影面积转化为规则图形面积的差，需要熟练掌握等分圆中角度、线段的特殊关系。
【难度系数】
0.6
