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1.如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（
A.相离
B.相切
C.相交
D.不确定
C
）A.相离
B.相切
C.相交
D.不确定
答案
1.C
解析
【分析】
要判断圆与直线的位置关系，首先回忆直线与圆三种位置关系的判定方法：可通过二者公共点的个数区分，没有公共点为相离，只有1个公共点为相切，有2个公共点为相交。接下来观察题图，海平面是直线，太阳是圆，可见海平面穿过了太阳，说明二者存在2个公共点，由此可确定位置关系。
【解析】
直线与圆的位置关系根据公共点个数判定规则如下：
1. 相离：直线与圆没有公共点；
2. 相切：直线与圆有且仅有1个公共点；
3. 相交：直线与圆有2个公共点。
观察题图可知，海平面（直线）穿过太阳（圆），二者共有2个公共点，因此圆与直线的位置关系是相交，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题结合生活实景考察直线与圆的位置关系的判定，解题关键是明确不同位置关系对应的公共点特征，避免被视觉错觉误导，仔细观察直线是否穿过圆即可准确判断。
【难度系数】
0.8
要判断圆与直线的位置关系，首先回忆直线与圆三种位置关系的判定方法：可通过二者公共点的个数区分，没有公共点为相离，只有1个公共点为相切，有2个公共点为相交。接下来观察题图，海平面是直线，太阳是圆，可见海平面穿过了太阳，说明二者存在2个公共点，由此可确定位置关系。
【解析】
直线与圆的位置关系根据公共点个数判定规则如下：
1. 相离：直线与圆没有公共点；
2. 相切：直线与圆有且仅有1个公共点；
3. 相交：直线与圆有2个公共点。
观察题图可知，海平面（直线）穿过太阳（圆），二者共有2个公共点，因此圆与直线的位置关系是相交，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题结合生活实景考察直线与圆的位置关系的判定，解题关键是明确不同位置关系对应的公共点特征，避免被视觉错觉误导，仔细观察直线是否穿过圆即可准确判断。
【难度系数】
0.8
2.已知$\odot O$的半径为4，点O到直线m的距离为d.若直线m与$\odot O$公共点的个数为2，则d的值可能为（
A.5
B.4.5
C.4
D.3.5
D
）A.5
B.4.5
C.4
D.3.5
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先根据直线与圆公共点的个数判断直线和圆的位置关系，再结合该位置关系下圆心到直线的距离d和圆半径r的大小规则，推导d的取值范围，最后对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
直线与圆的位置关系可通过公共点个数、圆心到直线距离d与半径r的大小关系判定：
1. 当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交，此时满足$d ＜ r$；
2. 已知$\odot O$半径$r=4$，代入可得$d ＜ 4$；
3. 对照选项：A选项5＞4、B选项4.5＞4、C选项4=4，均不符合要求，只有D选项3.5＜4，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系
2. 直线与圆公共点特征
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对直线与圆不同位置关系对应的公共点个数、d与r的大小关系的识记，掌握对应判定规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据直线与圆公共点的个数判断直线和圆的位置关系，再结合该位置关系下圆心到直线的距离d和圆半径r的大小规则，推导d的取值范围，最后对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
直线与圆的位置关系可通过公共点个数、圆心到直线距离d与半径r的大小关系判定：
1. 当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交，此时满足$d ＜ r$；
2. 已知$\odot O$半径$r=4$，代入可得$d ＜ 4$；
3. 对照选项：A选项5＞4、B选项4.5＞4、C选项4=4，均不符合要求，只有D选项3.5＜4，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系
2. 直线与圆公共点特征
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对直线与圆不同位置关系对应的公共点个数、d与r的大小关系的识记，掌握对应判定规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 已知$\odot O$的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与$\odot O$的位置关系是 （
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
C
）A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
答案
3.C
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握直线与圆位置关系的判定方法：我们可以通过比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小，判断直线和圆的位置关系：当$d＜r$时，直线与圆相交；当$d=r$时，直线与圆相切；当$d＞r$时，直线与圆相离。解题时先从题干提取$d$和$r$的数值，再比较二者大小，对应判定规则即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，$\odot O$的半径$r=5$，圆心$O$到直线$l$的距离$d=6$。
因为$6＞5$，即$d＞r$，根据直线与圆的位置关系判定规则，此时直线与圆相离。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础概念考查题，只要牢记三类位置关系对应的$d$与$r$的大小关系，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是掌握直线与圆位置关系的判定方法：我们可以通过比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小，判断直线和圆的位置关系：当$d＜r$时，直线与圆相交；当$d=r$时，直线与圆相切；当$d＞r$时，直线与圆相离。解题时先从题干提取$d$和$r$的数值，再比较二者大小，对应判定规则即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，$\odot O$的半径$r=5$，圆心$O$到直线$l$的距离$d=6$。
因为$6＞5$，即$d＞r$，根据直线与圆的位置关系判定规则，此时直线与圆相离。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础概念考查题，只要牢记三类位置关系对应的$d$与$r$的大小关系，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
4.如图,已知$\odot O$的半径为6,圆心O到一条直线的距离为3,则这条直线可能是（
A.$l_1$
B.$l_2$
C.$l_3$
D.$l_4$
D
）A.$l_1$
B.$l_2$
C.$l_3$
D.$l_4$
答案
4.D
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆直线与圆的三种位置关系的判定规则：通过比较圆心到直线的距离$d$和圆半径$r$的大小，就能判断直线和圆的位置关系。已知题目中圆半径$r=6$，圆心到所求直线的距离$d=3$，可得$d＜r$，说明这条直线和圆相交（有2个公共点），接下来只需观察图中四条直线哪条和圆相交即可得出答案。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线的距离为$d$，直线与圆的位置关系判定如下：
1. 当$d＞r$时，直线与圆相离，无公共点；
2. 当$d=r$时，直线与圆相切，有1个公共点；
3. 当$d＜r$时，直线与圆相交，有2个公共点。
由题意得$r=6$，所求直线对应的$d=3$，因为$3＜6$，所以该直线与$\odot O$相交，和圆有2个公共点。
观察图形：$l_1$、$l_3$与$\odot O$无公共点，属于相离，不符合要求；$l_2$与$\odot O$只有1个公共点，属于相切，不符合要求；$l_4$与$\odot O$有2个公共点，属于相交，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的判断，核心是熟记圆心到直线的距离和半径的大小关系对应的位置特征，结合图形即可直观判断，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要回忆直线与圆的三种位置关系的判定规则：通过比较圆心到直线的距离$d$和圆半径$r$的大小，就能判断直线和圆的位置关系。已知题目中圆半径$r=6$，圆心到所求直线的距离$d=3$，可得$d＜r$，说明这条直线和圆相交（有2个公共点），接下来只需观察图中四条直线哪条和圆相交即可得出答案。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线的距离为$d$，直线与圆的位置关系判定如下：
1. 当$d＞r$时，直线与圆相离，无公共点；
2. 当$d=r$时，直线与圆相切，有1个公共点；
3. 当$d＜r$时，直线与圆相交，有2个公共点。
由题意得$r=6$，所求直线对应的$d=3$，因为$3＜6$，所以该直线与$\odot O$相交，和圆有2个公共点。
观察图形：$l_1$、$l_3$与$\odot O$无公共点，属于相离，不符合要求；$l_2$与$\odot O$只有1个公共点，属于相切，不符合要求；$l_4$与$\odot O$有2个公共点，属于相交，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的判断，核心是熟记圆心到直线的距离和半径的大小关系对应的位置特征，结合图形即可直观判断，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
5. 在平面直角坐标系中,点 M 的坐标为$(-2,3)$,以 2 为半径画$\odot M$,则以下结论正确的是 (
A.$\odot M$与 x 轴相交,与 y 轴相切
B.$\odot M$与 x 轴相切,与 y 轴相离
C.$\odot M$与 x 轴相离,与 y 轴相交
D.$\odot M$与 x 轴相离,与 y 轴相切
D
)A.$\odot M$与 x 轴相交,与 y 轴相切
B.$\odot M$与 x 轴相切,与 y 轴相离
C.$\odot M$与 x 轴相离,与 y 轴相交
D.$\odot M$与 x 轴相离,与 y 轴相切
答案
5.D
解析
【分析】
要判断圆与x轴、y轴的位置关系，需用到直线与圆位置关系的判定方法：比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小，d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题中先求圆心M到x轴、y轴的距离，再分别与半径2比较，即可得出对应位置关系，选出正确选项。
【解析】
已知点M坐标为$(-2,3)$，$\odot M$半径$r=2$：
1. 圆心到x轴的距离为点M纵坐标的绝对值，即$d_x=|3|=3$，
因为$3＞2$（$d_x＞r$），所以$\odot M$与x轴相离；
2. 圆心到y轴的距离为点M横坐标的绝对值，即$d_y=|-2|=2$，
因为$2=2$（$d_y=r$），所以$\odot M$与y轴相切。
综上，$\odot M$与x轴相离，与y轴相切，故选D。
【答案】
D
【知识点】
点到坐标轴的距离；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是准确计算圆心到坐标轴的距离，再结合半径大小判断位置关系，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断圆与x轴、y轴的位置关系，需用到直线与圆位置关系的判定方法：比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小，d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题中先求圆心M到x轴、y轴的距离，再分别与半径2比较，即可得出对应位置关系，选出正确选项。
【解析】
已知点M坐标为$(-2,3)$，$\odot M$半径$r=2$：
1. 圆心到x轴的距离为点M纵坐标的绝对值，即$d_x=|3|=3$，
因为$3＞2$（$d_x＞r$），所以$\odot M$与x轴相离；
2. 圆心到y轴的距离为点M横坐标的绝对值，即$d_y=|-2|=2$，
因为$2=2$（$d_y=r$），所以$\odot M$与y轴相切。
综上，$\odot M$与x轴相离，与y轴相切，故选D。
【答案】
D
【知识点】
点到坐标轴的距离；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是准确计算圆心到坐标轴的距离，再结合半径大小判断位置关系，难度较低。
【难度系数】
0.8
6.(教材P150练习T2变式)如图，∠ACB=30°，O是CB上一点，OC=6，则以4为半径的⊙O与射线CA的公共点的个数为 (
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
C
)A.0
B.1
C.2
D.无法确定
答案
6.C
解析
【分析】
要判断⊙O与射线CA的公共点个数，需先明确圆心O到直线CA的距离，再与圆的半径比较，判断直线与圆的位置关系，最后结合射线的范围确认公共点数量。第一步过点O作CA的垂线段，利用30°直角三角形的性质求出垂线段长度；第二步将垂线段长度和半径比较，得到直线与圆的位置关系；第三步结合点C在圆外的特征，确认两个交点都在射线CA上即可。
【解析】
过点O作OH⊥CA于点H，
在Rt△COH中，∠C=30°，OC=6，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$OH=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×6=3$，
已知⊙O的半径$r=4$，
$\because OH=3＜4=r$，
$\therefore$ 直线CA与⊙O相交，有2个交点。
又$\because OC=6＞4=r$，即点C在⊙O外，
$\therefore$ 直线CA与⊙O的2个交点都在射线CA上，
因此⊙O与射线CA的公共点个数为2。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题核心考查直线与圆位置关系的判定，解题的关键是掌握“通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断位置”的方法，解题时要注意区分直线和射线的范围，避免漏判。
【难度系数】
0.7
要判断⊙O与射线CA的公共点个数，需先明确圆心O到直线CA的距离，再与圆的半径比较，判断直线与圆的位置关系，最后结合射线的范围确认公共点数量。第一步过点O作CA的垂线段，利用30°直角三角形的性质求出垂线段长度；第二步将垂线段长度和半径比较，得到直线与圆的位置关系；第三步结合点C在圆外的特征，确认两个交点都在射线CA上即可。
【解析】
过点O作OH⊥CA于点H，
在Rt△COH中，∠C=30°，OC=6，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$OH=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×6=3$，
已知⊙O的半径$r=4$，
$\because OH=3＜4=r$，
$\therefore$ 直线CA与⊙O相交，有2个交点。
又$\because OC=6＞4=r$，即点C在⊙O外，
$\therefore$ 直线CA与⊙O的2个交点都在射线CA上，
因此⊙O与射线CA的公共点个数为2。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题核心考查直线与圆位置关系的判定，解题的关键是掌握“通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断位置”的方法，解题时要注意区分直线和射线的范围，避免漏判。
【难度系数】
0.7
7.已知$\odot O$的半径为3 cm，P是直线$l$上一点，且$OP=3$ cm，则直线$l$与圆$O$的位置关系为（
A.相切
B.相交
C.相离
D.不能确定
D
）A.相切
B.相交
C.相离
D.不能确定
答案
7.D
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。本题已知圆半径r=3cm，给出的OP=3cm是圆心到直线l上一点P的线段长度，并非圆心到直线l的垂距。需分情况讨论OP与直线l的位置关系：如果OP垂直于直线l，此时OP就是垂距d，d=r，直线与圆相切；如果OP不垂直于直线l，根据垂线段最短，圆心到直线的垂距d＜OP=3cm，即d＜r，直线与圆相交。由于题目未说明OP与直线l是否垂直，因此无法确定直线l与圆的位置关系。
【解析】
设圆心O到直线l的距离为d，已知⊙O半径r=3cm。
根据垂线段最短的性质，圆心到直线l的垂距d≤OP=3cm：
1. 当OP⊥l时，d=OP=3cm=r，此时直线l与⊙O相切；
2. 当OP与l不垂直时，d＜OP=3cm，即d＜r，此时直线l与⊙O相交。
题目未给出OP与l是否垂直的条件，因此无法确定直线l与⊙O的位置关系。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；垂线段最短；点到直线的距离
【点评】
本题易误选A，错因是直接将OP当作圆心到直线的距离，忽略了点到直线的距离是垂线段长度这一前提，解题时要牢牢抓住直线与圆位置关系的判定依据，即圆心到直线的垂距与半径的大小比较。
【难度系数】
0.6
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。本题已知圆半径r=3cm，给出的OP=3cm是圆心到直线l上一点P的线段长度，并非圆心到直线l的垂距。需分情况讨论OP与直线l的位置关系：如果OP垂直于直线l，此时OP就是垂距d，d=r，直线与圆相切；如果OP不垂直于直线l，根据垂线段最短，圆心到直线的垂距d＜OP=3cm，即d＜r，直线与圆相交。由于题目未说明OP与直线l是否垂直，因此无法确定直线l与圆的位置关系。
【解析】
设圆心O到直线l的距离为d，已知⊙O半径r=3cm。
根据垂线段最短的性质，圆心到直线l的垂距d≤OP=3cm：
1. 当OP⊥l时，d=OP=3cm=r，此时直线l与⊙O相切；
2. 当OP与l不垂直时，d＜OP=3cm，即d＜r，此时直线l与⊙O相交。
题目未给出OP与l是否垂直的条件，因此无法确定直线l与⊙O的位置关系。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；垂线段最短；点到直线的距离
【点评】
本题易误选A，错因是直接将OP当作圆心到直线的距离，忽略了点到直线的距离是垂线段长度这一前提，解题时要牢牢抓住直线与圆位置关系的判定依据，即圆心到直线的垂距与半径的大小比较。
【难度系数】
0.6
8. 三个半径均为6 cm的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为8 cm，则这个圆可以是
$\odot B$或$\odot C$
。答案
8.$\odot B$或$\odot C$
解析
【分析】
解题思路：先明确已知条件：三个圆半径均为6cm，要找出存在点到直线l距离为8cm的圆。我们可以先根据每个圆的圆心到直线l的距离，结合圆的半径，求出该圆上所有点到直线l的距离的取值范围，再判断8cm是否在该范围内即可。其中圆上点到定直线的最小距离为$\left|圆心到直线的距离-半径\right|$（若结果为负则最小距离为0），最大距离为圆心到直线的距离+半径。
【解析】
解：已知三个圆的半径均为$r=6\mathrm{cm}$。
1. 分析$\odot A$：
圆心$A$在直线$l$上，因此圆心$A$到直线$l$的距离$d_A=0$，
可得$\odot A$上任意一点到直线$l$的距离的取值范围为$0≤ d ≤ 6\mathrm{cm}$，
由于$8\mathrm{cm}＞6\mathrm{cm}$，故$\odot A$不符合要求。
2. 分析$\odot C$：
$\odot C$与直线$l$相切，因此圆心$C$到直线$l$的距离$d_C=r=6\mathrm{cm}$，
可得$\odot C$上任意一点到直线$l$的距离的取值范围为$0≤ d ≤ 6+6=12\mathrm{cm}$，
$8\mathrm{cm}$在该范围内，故$\odot C$符合要求。
3. 分析$\odot B$：
$\odot B$与$\odot A$外切，因此圆心距$AB=6+6=12\mathrm{cm}$，圆心$A$在直线$l$上，
可知圆心$B$到直线$l$的距离大于$6\mathrm{cm}$，因此$\odot B$上点到直线$l$的距离范围为$d_B-6≤ d ≤ d_B+6$，结合图形可知该范围包含$8\mathrm{cm}$，故$\odot B$符合要求。
综上，符合条件的圆是$\odot B$或$\odot C$。
【答案】
$\odot B$或$\odot C$
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到直线的距离；圆的基本性质
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的应用，核心是掌握圆上的点到定直线的距离范围的计算方法，结合已知距离比对即可判断，注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
解题思路：先明确已知条件：三个圆半径均为6cm，要找出存在点到直线l距离为8cm的圆。我们可以先根据每个圆的圆心到直线l的距离，结合圆的半径，求出该圆上所有点到直线l的距离的取值范围，再判断8cm是否在该范围内即可。其中圆上点到定直线的最小距离为$\left|圆心到直线的距离-半径\right|$（若结果为负则最小距离为0），最大距离为圆心到直线的距离+半径。
【解析】
解：已知三个圆的半径均为$r=6\mathrm{cm}$。
1. 分析$\odot A$：
圆心$A$在直线$l$上，因此圆心$A$到直线$l$的距离$d_A=0$，
可得$\odot A$上任意一点到直线$l$的距离的取值范围为$0≤ d ≤ 6\mathrm{cm}$，
由于$8\mathrm{cm}＞6\mathrm{cm}$，故$\odot A$不符合要求。
2. 分析$\odot C$：
$\odot C$与直线$l$相切，因此圆心$C$到直线$l$的距离$d_C=r=6\mathrm{cm}$，
可得$\odot C$上任意一点到直线$l$的距离的取值范围为$0≤ d ≤ 6+6=12\mathrm{cm}$，
$8\mathrm{cm}$在该范围内，故$\odot C$符合要求。
3. 分析$\odot B$：
$\odot B$与$\odot A$外切，因此圆心距$AB=6+6=12\mathrm{cm}$，圆心$A$在直线$l$上，
可知圆心$B$到直线$l$的距离大于$6\mathrm{cm}$，因此$\odot B$上点到直线$l$的距离范围为$d_B-6≤ d ≤ d_B+6$，结合图形可知该范围包含$8\mathrm{cm}$，故$\odot B$符合要求。
综上，符合条件的圆是$\odot B$或$\odot C$。
【答案】
$\odot B$或$\odot C$
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到直线的距离；圆的基本性质
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的应用，核心是掌握圆上的点到定直线的距离范围的计算方法，结合已知距离比对即可判断，注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
9. 如图, 已知 $Rt△ ABC$ 的斜边 $AB=8\ \mathrm{cm}$, $AC=4\ \mathrm{cm}$.
(1)以点 $C$ 为圆心作圆, 当半径为多长时, 直线 $AB$ 与 $\odot C$ 相切?
(2)以点 $C$ 为圆心, 分别以 $2\ \mathrm{cm}$ 和 $4\ \mathrm{cm}$ 为半径作两个圆, 这两个圆与直线 $AB$ 分别有怎样的位置关系?
(1)以点 $C$ 为圆心作圆, 当半径为多长时, 直线 $AB$ 与 $\odot C$ 相切?
(2)以点 $C$ 为圆心, 分别以 $2\ \mathrm{cm}$ 和 $4\ \mathrm{cm}$ 为半径作两个圆, 这两个圆与直线 $AB$ 分别有怎样的位置关系?
答案
9.解:(1)过点 C 作 $CD⊥ AB$ 于点 D. 在 $Rt△ ABC$ 中, $\because AB=8\ \mathrm{cm},AC=4\ \mathrm{cm},\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}(\mathrm{cm}).$
$\because \frac{1}{2}CD· AB=\frac{1}{2}AC· BC,\therefore CD=\frac{4× 4\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}(\mathrm{cm}).$
$\therefore$ 当半径为 $2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$ 时,直线 $AB$ 与 $\odot C$ 相切.
(2) $\because 2\sqrt{3}＞2,2\sqrt{3}＜4,\therefore$ 以点 $C$ 为圆心,以 $2\ \mathrm{cm}$ 为半径的圆与直线 $AB$ 相离;以点 $C$ 为圆心,以 $4\ \mathrm{cm}$ 为半径的圆与直线 $AB$ 相交.
$\because \frac{1}{2}CD· AB=\frac{1}{2}AC· BC,\therefore CD=\frac{4× 4\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}(\mathrm{cm}).$
$\therefore$ 当半径为 $2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$ 时,直线 $AB$ 与 $\odot C$ 相切.
(2) $\because 2\sqrt{3}＞2,2\sqrt{3}＜4,\therefore$ 以点 $C$ 为圆心,以 $2\ \mathrm{cm}$ 为半径的圆与直线 $AB$ 相离;以点 $C$ 为圆心,以 $4\ \mathrm{cm}$ 为半径的圆与直线 $AB$ 相交.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确直线与圆的三种位置关系的判定依据：设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，当d=r时，直线与圆相切；d＞r时相离；d＜r时相交。
对于(1)问，要使直线AB与⊙C相切，就需要半径r等于点C到直线AB的距离，因此我们需要先求出C到AB的垂线段长度。在直角三角形中，我们可以先用勾股定理求出BC的长度，再用等面积法（直角三角形面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算）求出斜边上的高，也就是C到AB的距离，这个距离就是相切时的半径。
对于(2)问，只需要将给出的两个半径分别和求得的距离d比较大小，就能对应得到直线和圆的位置关系。
【解析】
(1) 过点C作$CD⊥AB$于点D，即CD为点C到直线AB的距离。
在$Rt△ABC$中，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
根据三角形面积相等，可得：
$\frac{1}{2}·CD·AB=\frac{1}{2}·AC·BC$
代入数值化简得：
$CD=\frac{AC×BC}{AB}=\frac{4×4\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
根据直线与圆相切的条件，当半径$r=CD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$时，直线AB与$\odot C$相切。
(2) 由(1)得圆心C到直线AB的距离$d=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$：
① 当半径$r_1=2\ \mathrm{cm}$时，$2\sqrt{3}＞2$，即$d＞r_1$，因此直线AB与$\odot C$相离；
② 当半径$r_2=4\ \mathrm{cm}$时，$2\sqrt{3}＜4$，即$d＜r_2$，因此直线AB与$\odot C$相交。
【答案】
(1) 当半径为$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$时，直线AB与$\odot C$相切；
(2) 以$2\ \mathrm{cm}$为半径的圆与直线AB相离，以$4\ \mathrm{cm}$为半径的圆与直线AB相交。
【知识点】
直线与圆的位置关系；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题核心是牢记圆心到直线的距离与半径的大小对应不同的位置关系，同时要熟练掌握直角三角形中用等面积法求斜边上高的方法，这类题型是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确直线与圆的三种位置关系的判定依据：设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，当d=r时，直线与圆相切；d＞r时相离；d＜r时相交。
对于(1)问，要使直线AB与⊙C相切，就需要半径r等于点C到直线AB的距离，因此我们需要先求出C到AB的垂线段长度。在直角三角形中，我们可以先用勾股定理求出BC的长度，再用等面积法（直角三角形面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算）求出斜边上的高，也就是C到AB的距离，这个距离就是相切时的半径。
对于(2)问，只需要将给出的两个半径分别和求得的距离d比较大小，就能对应得到直线和圆的位置关系。
【解析】
(1) 过点C作$CD⊥AB$于点D，即CD为点C到直线AB的距离。
在$Rt△ABC$中，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
根据三角形面积相等，可得：
$\frac{1}{2}·CD·AB=\frac{1}{2}·AC·BC$
代入数值化简得：
$CD=\frac{AC×BC}{AB}=\frac{4×4\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
根据直线与圆相切的条件，当半径$r=CD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$时，直线AB与$\odot C$相切。
(2) 由(1)得圆心C到直线AB的距离$d=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$：
① 当半径$r_1=2\ \mathrm{cm}$时，$2\sqrt{3}＞2$，即$d＞r_1$，因此直线AB与$\odot C$相离；
② 当半径$r_2=4\ \mathrm{cm}$时，$2\sqrt{3}＜4$，即$d＜r_2$，因此直线AB与$\odot C$相交。
【答案】
(1) 当半径为$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$时，直线AB与$\odot C$相切；
(2) 以$2\ \mathrm{cm}$为半径的圆与直线AB相离，以$4\ \mathrm{cm}$为半径的圆与直线AB相交。
【知识点】
直线与圆的位置关系；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题核心是牢记圆心到直线的距离与半径的大小对应不同的位置关系，同时要熟练掌握直角三角形中用等面积法求斜边上高的方法，这类题型是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
