10.若直线$ l $与半径为$ r $的$ \odot O $相交，且点$ O $到直线$ l $的距离为5，则半径$ r $的取值范围是（）

A.$ r＞5 $
B.$ r=5 $
C.$ 0＜r＜5 $
D.$ 0＜r≤5 $

10.A

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆直线和圆的三种位置关系对应的判定规则：圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系决定了直线与圆的位置。当直线和圆相交时，满足圆心到直线的距离小于半径。我们已知圆心O到直线l的距离是5，代入相交的判定条件就能求出r的取值范围。
【解析】
设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r。
直线与圆的位置关系判定规则如下：
1. 若$d ＞ r$，直线与圆相离；
2. 若$d = r$，直线与圆相切；
3. 若$d ＜ r$，直线与圆相交。
由题意可知，直线l与⊙O相交，且$d=5$，因此满足$d ＜ r$，即$5 ＜ r$，也就是$r＞5$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础概念应用题，只要熟练掌握直线与圆三种位置关系对应的距离和半径的大小关系，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9

11.【应用意识】已知$\odot O$的半径为$r$，点$O$到直线$l$的距离为$d$，若$r$，$d$是方程$x^2 - 4x + m = 0$的两根，当直线$l$与$\odot O$相切时，$m$的值为。

11.4

【分析】
解题首先需要明确直线与圆相切的核心性质：直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，即$d=r$。已知$r$、$d$是给定一元二次方程的两根，说明该方程有两个相等的实数根，接下来结合一元二次方程根的判别式或者根与系数的关系即可求出$m$的值。
【解析】
解：
∵ 直线$l$与$\odot O$相切，
∴ 圆心$O$到直线$l$的距离等于圆的半径，即$d=r$。
∵ $r$、$d$是方程$x^2 - 4x + m = 0$的两根，
∴ 该一元二次方程有两个相等的实数根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根，
本题中$a=1$，$b=-4$，$c=m$，代入得：
$\Delta=(-4)^2 - 4×1× m=16-4m=0$
解得$m=4$。
【答案】
4
【知识点】
直线与圆相切的性质；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于几何与代数的基础综合题，解题关键是掌握直线与圆相切的性质，再结合一元二次方程根的相关知识求解，考察知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.8

12. 如图,在半径为5 cm的⊙O中,直线l交⊙O于A,B两点,且弦AB=8 cm,要使直线l与⊙O相切,则需要将直线l向下平移（）

A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm

12.B

【分析】
解题思路如下：首先，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，因此我们需要先求出当前圆心O到直线l的距离，再计算该距离与半径的差值，即为直线l向下平移的距离。第一步，过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理得到半弦长；第二步，结合半径通过勾股定理算出圆心到直线l的当前距离；第三步，用半径减去该距离得到平移长度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
由垂径定理可得，C为AB的中点，因此$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
已知⊙O的半径$OA=5\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，根据勾股定理：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$。
当直线l与⊙O相切时，圆心O到直线l的距离等于半径$5\ \mathrm{cm}$，因此直线l需要向下平移的距离为$5-3=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，切线的性质
【点评】
本题属于基础几何应用题，将垂径定理、勾股定理与直线和圆相切的性质结合考查，解题的核心是明确平移前后圆心到直线的距离变化规律，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

13. 在同一平面内,已知$\odot O$的半径为 2,圆心 O到直线$l$的距离为 3,点$P$为圆上的一个动点,则点$P$到直线$l$的最大距离是 （）

A.2
B.5
C.6
D.8

13.B

【分析】首先判断直线与圆的位置关系：已知圆心到直线的距离为3，圆半径为2，3＞2，因此直线和圆相离。要找圆上动点到直线的最大距离，可利用“点到直线的距离为垂线段长度”的性质，过圆心作直线的垂线，沿垂线远离直线的方向与圆的交点到直线的距离最大，该距离等于圆心到直线的距离加圆的半径。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=2$，圆心$O$到直线$l$的距离$d=3$。
$\because 3＞2$，即$d＞r$，$\therefore$直线$l$与$\odot O$相离。
过$O$作$OA⊥$直线$l$，垂足为$A$，延长$AO$交$\odot O$于点$P$，此时点$P$到直线$l$的距离最大。
最大距离为$OA+OP=d+r=3+2=5$。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到直线的距离；圆的基本性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础常考题，解题关键是掌握相离状态下，圆上点到定直线的最大距离为圆心到直线的距离与半径之和，最小距离为两者之差。
【难度系数】
0.8

14.如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是.

14.$8≤ AB≤ 10$

【分析】
首先明确题意：大圆的弦AB与小圆有公共点，说明直线AB与小圆的位置关系为相交或相切。要确定弦AB的取值范围，需分别找到AB的最大值和最小值：①圆中最长的弦是直径，因此AB的最大值是大圆的直径；②当AB与小圆相切时，AB长度最短，此时可结合垂径定理和勾股定理计算最短弦长，最终得到AB的取值范围。
【解析】
1. 求AB的最大值：
大圆中最长的弦为直径，已知大圆半径为5，因此大圆直径为$2×5=10$，即AB的最大值为10。
2. 求AB的最小值：
当弦AB与小圆相切时，AB最短，此时AB与小圆有唯一公共点，符合“有公共点”的要求。
过圆心O作$OC⊥ AB$于点C，根据切线的性质，OC的长度等于小圆半径3。
连接OA，OA为大圆半径，长度为5。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
根据垂径定理，OC垂直平分AB，因此$AB=2AC=2×4=8$，即AB的最小值为8。
综上，弦AB的取值范围是$8≤ AB≤10$。
【答案】
$8≤ AB≤ 10$
【知识点】
垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题需要先将“弦与小圆有公共点”转化为直线与圆的位置关系，再结合圆的弦长性质、垂径定理和勾股定理求解最值，解题时注意不要遗漏端点情况，相切时也属于有公共点，需包含等号。
【难度系数】
0.7

15. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°, ∠ A=30°$, O为AB上一点, $BO=x, \odot O$ 的半径为2.
(1)当x为何值时,直线BC与$\odot O$相切?

(2)当x在什么范围内取值时,直线BC与$\odot O$相离、相交?

15.解:(1)过点 O 作 $OD⊥ BC$ 于点 D, $\because ∠ C=90°,∠ A=30°,$
$\therefore ∠ B=60°.\therefore ∠ DOB=30°.\because BO=x,\therefore BD=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}x.$
$\because$ 直线 BC 与 $\odot O$ 相切, $\therefore OD=2.\therefore x^2=2^2+(\frac{1}{2}x)^2,$ 解得 $x_1=\frac{4\sqrt{3}}{3},x_2=-\frac{4\sqrt{3}}{3}$(不符合题意,舍去). $\therefore$ 当 $x=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 时,直线 BC 与 $\odot O$ 相切.
(2)由(1)得,当 $x＞\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 时,直线 BC 与 $\odot O$ 相离;当 $0≤ x＜\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 时,直线 BC 与 $\odot O$ 相交.

【分析】
解决直线与圆的位置关系问题，核心依据是圆心到直线的距离$d$和圆半径$r$的大小关系：$d=r$时相切，$d＞r$时相离，$d＜r$时相交。首先过点$O$作$OD⊥BC$于$D$，$OD$就是圆心$O$到直线$BC$的距离$d$。结合已知的$Rt△ ABC$的角度，可推出$Rt△ ODB$的角度关系，再利用直角三角形的性质和勾股定理建立$OD$与$BO=x$的关联，最后对应三种位置关系的条件求解即可。
【解析】
(1) 过点$O$作$OD⊥BC$于点$D$。
$\because ∠C=90°,∠A=30°$，
$\therefore ∠B=180°-90°-30°=60°$，
$\therefore Rt△ ODB$中，$∠DOB=90°-∠B=30°$。
$\because BO=x$，30°角所对直角边是斜边的一半，
$\therefore BD=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}x$。
若直线$BC$与$\odot O$相切，则圆心到直线的距离等于半径，即$OD=2$。
在$Rt△ ODB$中由勾股定理得：$OB^2=OD^2+BD^2$，
代入得$x^2=2^2+(\frac{1}{2}x)^2$，
整理得$\frac{3}{4}x^2=4$，解得$x_1=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$x_2=-\frac{4\sqrt{3}}{3}$（长度为正，不符合题意舍去）。
(2) 由(1)可得圆心$O$到$BC$的距离$OD=\sqrt{x^2-(\frac{1}{2}x)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，$\odot O$半径$r=2$：
当$OD＞r$时，直线$BC$与$\odot O$相离，即$\frac{\sqrt{3}}{2}x＞2$，解得$x＞\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
当$OD＜r$时，直线$BC$与$\odot O$相交，结合$x$为线段长度非负，得$0≤x＜\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) 当$x=\frac{4\sqrt{3}}{3}$时，直线$BC$与$\odot O$相切；
(2) 当$x＞\frac{4\sqrt{3}}{3}$时，直线$BC$与$\odot O$相离；当$0≤x＜\frac{4\sqrt{3}}{3}$时，直线$BC$与$\odot O$相交。
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 直角三角形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用，解题核心是掌握圆心到直线的距离与半径的大小对应关系，结合直角三角形的边角性质计算，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7

16.如图，P为正比例函数$y=\frac{3}{2}x$图象上的一个动点，$\odot P$的半径为3，设点P的坐标为$(x,y)$。
(1)求$\odot P$与直线$x=2$相切时点P的坐标；
(2)请直接写出$\odot P$与直线$x=2$相交、相离时x的取值范围。

16.解:(1)过点 P 作直线 $x=2$ 的垂线,垂足为 A. ①当点 P 在直线 $x=2$ 右侧时,若 $\odot P$ 与直线 $x=2$ 相切,则 $AP=3$,即 $x-2=3$,解得 $x=5.\therefore P(5,\frac{15}{2})$;②当点 P 在直线 $x=2$ 左侧时,若 $\odot P$ 与直线 $x=2$ 相切,则 $PA=3$,即 $2-x=3$,解得 $x=-1.\therefore P(-1,-\frac{3}{2}).$ 综上所述,当 $\odot P$ 与直线 $x=2$ 相切时,点 P 的坐标为 $(5,\frac{15}{2})$ 或 $(-1,-\frac{3}{2})$.
(2)当 $\odot P$ 与直线 $x=2$ 相交时,x 的取值范围为 $-1＜x＜5$;当 $\odot P$ 与直线 $x=2$ 相离时,x 的取值范围为 $x＜-1$ 或 $x＞5$.

【分析】
要解决本题，首先回忆直线与圆相切的判定条件：圆心到直线的距离等于半径。本题中直线$x=2$是竖直直线，圆心$P(x,y)$到直线$x=2$的距离为横坐标差的绝对值$|x-2|$，结合$\odot P$半径为3，可先列方程求出$x$的值，再将$x$代入正比例函数解析式求出对应的$y$值，即可得到$P$点坐标；第二问根据直线与圆相交（距离＜半径）、相离（距离＞半径）的判定条件，列不等式求解$x$的范围即可，注意要分点$P$在直线$x=2$的左侧、右侧两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 过点$P$作直线$x=2$的垂线，垂足为$A$。
① 当点$P$在直线$x=2$右侧时，若$\odot P$与直线$x=2$相切，则圆心到直线的距离$AP=3$，即$x-2=3$，解得$x=5$。
将$x=5$代入$y=\frac{3}{2}x$，得$y=\frac{3}{2}×5=\frac{15}{2}$，此时$P(5,\frac{15}{2})$。
② 当点$P$在直线$x=2$左侧时，若$\odot P$与直线$x=2$相切，则圆心到直线的距离$PA=3$，即$2-x=3$，解得$x=-1$。
将$x=-1$代入$y=\frac{3}{2}x$，得$y=\frac{3}{2}×(-1)=-\frac{3}{2}$，此时$P(-1,-\frac{3}{2})$。
综上所述，当$\odot P$与直线$x=2$相切时，点$P$的坐标为$(5,\frac{15}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$。
(2) 直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，即$|x-2|＜3$，解不等式得$-1＜x＜5$；
直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径，即$|x-2|＞3$，解不等式得$x＜-1$或$x＞5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(5,\frac{15}{2})}$或$\boldsymbol{(-1,-\frac{3}{2})}$
(2) 相交时：$\boldsymbol{-1＜x＜5}$；相离时：$\boldsymbol{x＜-1或x＞5}$
【知识点】
直线与圆的位置关系，正比例函数的性质，绝对值不等式求解
【点评】
本题将函数与几何知识结合，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，解题的关键是明确竖直直线外一点到直线的距离为两点横坐标差的绝对值，同时要注意分类讨论点在直线两侧的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6