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1.先化简,再求值:$\frac{2m - 6}{m^2 - 9} ÷ \frac{2m + 2}{m + 3} - \frac{m}{m + 1}$,其中$m=2.$
答案
1.化简的结果为$\frac{1-m}{m+1}$,值为$-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，按照分式混合运算的顺序思考即可：第一步先处理除法运算，将除法转化为乘法，同时对各分式的分子、分母因式分解，约分后简化第一个运算项；第二步计算分式减法，同分母分式相减时分母不变、分子相减，得到最简化简结果；第三步将m=2代入化简后的式子计算最终数值，运算时注意公因式的识别，避免符号错误。
【解析】
解：对原式分步化简：
1. 因式分解并将除法转为乘法：
$\frac{2m - 6}{m^2 - 9} ÷ \frac{2m + 2}{m + 3} - \frac{m}{m + 1} = \frac{2(m - 3)}{(m + 3)(m - 3)} × \frac{m + 3}{2(m + 1)} - \frac{m}{m + 1}$
2. 约去公因式$2、m-3、m+3$，得：
$\frac{1}{m + 1} - \frac{m}{m + 1}$
3. 同分母分式相减，化简得：
$\frac{1 - m}{m + 1}$
4. 代入$m=2$计算：
原式$=\frac{1 - 2}{2 + 1}=-\frac{1}{3}$
【答案】
化简的结果为$\frac{1-m}{m+1}$，值为$-\frac{1}{3}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，重点考查分式运算顺序、因式分解的应用以及约分规则，运算前先对多项式因式分解可有效简化计算，代入数值时要注意验证分母不为0。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简求值类题目，按照分式混合运算的顺序思考即可：第一步先处理除法运算，将除法转化为乘法，同时对各分式的分子、分母因式分解，约分后简化第一个运算项；第二步计算分式减法，同分母分式相减时分母不变、分子相减，得到最简化简结果；第三步将m=2代入化简后的式子计算最终数值，运算时注意公因式的识别，避免符号错误。
【解析】
解：对原式分步化简：
1. 因式分解并将除法转为乘法：
$\frac{2m - 6}{m^2 - 9} ÷ \frac{2m + 2}{m + 3} - \frac{m}{m + 1} = \frac{2(m - 3)}{(m + 3)(m - 3)} × \frac{m + 3}{2(m + 1)} - \frac{m}{m + 1}$
2. 约去公因式$2、m-3、m+3$，得：
$\frac{1}{m + 1} - \frac{m}{m + 1}$
3. 同分母分式相减，化简得：
$\frac{1 - m}{m + 1}$
4. 代入$m=2$计算：
原式$=\frac{1 - 2}{2 + 1}=-\frac{1}{3}$
【答案】
化简的结果为$\frac{1-m}{m+1}$，值为$-\frac{1}{3}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，重点考查分式运算顺序、因式分解的应用以及约分规则，运算前先对多项式因式分解可有效简化计算，代入数值时要注意验证分母不为0。
【难度系数】
0.8
2.先化简，再求值：$\dfrac{a-1}{a-2} · \dfrac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} - \dfrac{2}{a-1}$，其中$a=\dfrac{1}{2}$
答案
2.化简的结果为$\frac{a}{a-1}$,值为$-1$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再代值”的原则，步骤如下：①先处理分式乘法部分：先对乘法运算中分子、分母的多项式进行因式分解，再约分得到最简分式；②再计算分式减法：将约分后的结果与后面的分式计算减法（本题约分后为同分母分式，直接相减即可），合并后得到最简化简结果；③最后将a的取值代入最简结果计算数值即可。
【解析】
解：先对原式因式分解再计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a-1}{a-2} · \frac{a^2-4}{a^2-2a+1} - \frac{2}{a-1}\\&=\frac{a-1}{a-2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} - \frac{2}{a-1}\\&=\frac{a+2}{a-1} - \frac{2}{a-1}\\&=\frac{a+2-2}{a-1}\\&=\frac{a}{a-1}\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{2}$代入化简结果：
$原式=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}=-1$
【答案】
化简的结果为$\frac{a}{a-1}$，值为$-1$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，分式四则运算
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题关键是熟练掌握因式分解的常用公式，严格遵循分式运算的顺序：先乘除后加减，计算过程中注意约分、通分的规则，代值前可验证取值是否让原分式分母不为0，避免出错。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再代值”的原则，步骤如下：①先处理分式乘法部分：先对乘法运算中分子、分母的多项式进行因式分解，再约分得到最简分式；②再计算分式减法：将约分后的结果与后面的分式计算减法（本题约分后为同分母分式，直接相减即可），合并后得到最简化简结果；③最后将a的取值代入最简结果计算数值即可。
【解析】
解：先对原式因式分解再计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a-1}{a-2} · \frac{a^2-4}{a^2-2a+1} - \frac{2}{a-1}\\&=\frac{a-1}{a-2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} - \frac{2}{a-1}\\&=\frac{a+2}{a-1} - \frac{2}{a-1}\\&=\frac{a+2-2}{a-1}\\&=\frac{a}{a-1}\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{2}$代入化简结果：
$原式=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}=-1$
【答案】
化简的结果为$\frac{a}{a-1}$，值为$-1$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，分式四则运算
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题关键是熟练掌握因式分解的常用公式，严格遵循分式运算的顺序：先乘除后加减，计算过程中注意约分、通分的规则，代值前可验证取值是否让原分式分母不为0，避免出错。
【难度系数】
0.7
3.先化简$(1+\dfrac{3}{a-1})÷\dfrac{a^2 -4}{a-1}$，再从$-1,0,1,2$中选择一个适当的数作为$a$的值代入求值。
答案
3.化简的结果为$\frac{1}{a-2}$,当$a=-1$时,原式$=-\frac{1}{3}$；当$a=0$时,原式$=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先化简分式，先对括号内的加法通分计算，再将分式除法转化为乘法，结合因式分解约分得到最简结果；第二步确定a的合法取值，根据分式有意义的条件“分母不为0、除式不为0”，排除题目给定数值中会让原分式无意义的数；第三步将合法的a值代入最简式计算结果即可。
【解析】
1. 化简分式：
$\begin{aligned}(1+\dfrac{3}{a-1})÷\dfrac{a^2 -4}{a-1}&=(\dfrac{a-1}{a-1}+\dfrac{3}{a-1})×\dfrac{a-1}{a^2-4}\\&=\dfrac{a-1+3}{a-1}×\dfrac{a-1}{(a+2)(a-2)}\\&=\dfrac{a+2}{a-1}×\dfrac{a-1}{(a+2)(a-2)}\\&=\dfrac{1}{a-2}\end{aligned}$
2. 确定a的取值：要使原分式有意义，则分母和除式均不为0，即：
$a-1≠0$，$a^2-4≠0$，解得$a≠1$，$a≠\pm2$。
给定的数中排除1、2，可选$a=-1$或$a=0$。
3. 代入求值：
当$a=-1$时，原式$=\dfrac{1}{-1-2}=-\dfrac{1}{3}$；
当$a=0$时，原式$=\dfrac{1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{a-2}$，当$a=-1$时，原式$=-\dfrac{1}{3}$；当$a=0$时，原式$=-\dfrac{1}{2}$（任选其一作答即可）
【知识点】
分式化简求值，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，解题的易错点是选择a的取值时，需保证原分式所有分母、除式都不为0，不能仅代入化简后的式子判断取值是否合法。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步先化简分式，先对括号内的加法通分计算，再将分式除法转化为乘法，结合因式分解约分得到最简结果；第二步确定a的合法取值，根据分式有意义的条件“分母不为0、除式不为0”，排除题目给定数值中会让原分式无意义的数；第三步将合法的a值代入最简式计算结果即可。
【解析】
1. 化简分式：
$\begin{aligned}(1+\dfrac{3}{a-1})÷\dfrac{a^2 -4}{a-1}&=(\dfrac{a-1}{a-1}+\dfrac{3}{a-1})×\dfrac{a-1}{a^2-4}\\&=\dfrac{a-1+3}{a-1}×\dfrac{a-1}{(a+2)(a-2)}\\&=\dfrac{a+2}{a-1}×\dfrac{a-1}{(a+2)(a-2)}\\&=\dfrac{1}{a-2}\end{aligned}$
2. 确定a的取值：要使原分式有意义，则分母和除式均不为0，即：
$a-1≠0$，$a^2-4≠0$，解得$a≠1$，$a≠\pm2$。
给定的数中排除1、2，可选$a=-1$或$a=0$。
3. 代入求值：
当$a=-1$时，原式$=\dfrac{1}{-1-2}=-\dfrac{1}{3}$；
当$a=0$时，原式$=\dfrac{1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{a-2}$，当$a=-1$时，原式$=-\dfrac{1}{3}$；当$a=0$时，原式$=-\dfrac{1}{2}$（任选其一作答即可）
【知识点】
分式化简求值，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，解题的易错点是选择a的取值时，需保证原分式所有分母、除式都不为0，不能仅代入化简后的式子判断取值是否合法。
【难度系数】
0.7
4.先化简$(\dfrac{2}{m-3}+1)÷\dfrac{2m-2}{m^2-6m+9}$，再从1,2,3,4中选择一个合适的数代入求值。
答案
4.化简的结果为$\frac{m-3}{2}$,当$m=2$时,原式$=-\frac{1}{2}$；当$m=4$时,原式$=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时先遵循分式混合运算的顺序，先计算括号内的加法，通分后合并；再将除法运算转化为乘法运算，同时对分子、分母中的多项式进行因式分解，约分后得到最简结果；最后根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不符合要求的m值，选择合适的数代入最简式计算即可。
【解析】
解：
1. 计算括号内的加法：
$\dfrac{2}{m-3} + 1 = \dfrac{2}{m-3} + \dfrac{m-3}{m-3} = \dfrac{2 + m - 3}{m-3} = \dfrac{m - 1}{m - 3}$
2. 对除式的分子、分母因式分解：
$\dfrac{2m - 2}{m^2 - 6m + 9} = \dfrac{2(m - 1)}{(m - 3)^2}$
3. 将除法转化为乘法，约分计算：
$(\dfrac{2}{m-3}+1)÷\dfrac{2m-2}{m^2-6m+9} = \dfrac{m - 1}{m - 3} × \dfrac{(m - 3)^2}{2(m - 1)} = \dfrac{m - 3}{2}$
4. 确定m的可取范围：
要使原式有意义，则分母和除数不为0，即$m - 3 ≠ 0$，$2m - 2 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$且$m ≠ 1$，因此可选择m=2或m=4代入。
当m=2时，原式$=\dfrac{2 - 3}{2} = -\dfrac{1}{2}$；
当m=4时，原式$=\dfrac{4 - 3}{2} = \dfrac{1}{2}$。
【答案】
化简的结果为$\frac{m-3}{2}$,当$m=2$时,原式$=-\frac{1}{2}$；当$m=4$时,原式$=\frac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，既考查分式运算的基本法则，也需要注意代入取值时需保证原式所有部分有意义，计算过程中注意准确约分即可得分。
【难度系数】
0.7
解题时先遵循分式混合运算的顺序，先计算括号内的加法，通分后合并；再将除法运算转化为乘法运算，同时对分子、分母中的多项式进行因式分解，约分后得到最简结果；最后根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不符合要求的m值，选择合适的数代入最简式计算即可。
【解析】
解：
1. 计算括号内的加法：
$\dfrac{2}{m-3} + 1 = \dfrac{2}{m-3} + \dfrac{m-3}{m-3} = \dfrac{2 + m - 3}{m-3} = \dfrac{m - 1}{m - 3}$
2. 对除式的分子、分母因式分解：
$\dfrac{2m - 2}{m^2 - 6m + 9} = \dfrac{2(m - 1)}{(m - 3)^2}$
3. 将除法转化为乘法，约分计算：
$(\dfrac{2}{m-3}+1)÷\dfrac{2m-2}{m^2-6m+9} = \dfrac{m - 1}{m - 3} × \dfrac{(m - 3)^2}{2(m - 1)} = \dfrac{m - 3}{2}$
4. 确定m的可取范围：
要使原式有意义，则分母和除数不为0，即$m - 3 ≠ 0$，$2m - 2 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$且$m ≠ 1$，因此可选择m=2或m=4代入。
当m=2时，原式$=\dfrac{2 - 3}{2} = -\dfrac{1}{2}$；
当m=4时，原式$=\dfrac{4 - 3}{2} = \dfrac{1}{2}$。
【答案】
化简的结果为$\frac{m-3}{2}$,当$m=2$时,原式$=-\frac{1}{2}$；当$m=4$时,原式$=\frac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，既考查分式运算的基本法则，也需要注意代入取值时需保证原式所有部分有意义，计算过程中注意准确约分即可得分。
【难度系数】
0.7
5.化简求值:$(1-\dfrac{3a-10}{a-2})÷\dfrac{a-4}{a^2-4a+4}$,其中$a$与2,3为三角形的三边长,且$a$为整数.
答案
5.化简的结果为$-2a+4$,值为$-2$
解析
【分析】
解题分为两步：第一步先化简分式，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的减法，将1通分为分母为a-2的分式，再与括号内另一分式合并，再将除法转化为乘法，同时对多项式因式分解，约分后得到最简结果；第二步确定a的取值，先根据三角形三边关系求出a的取值范围，再结合分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）筛选出符合要求的整数a，最后代入最简式计算即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{a-2}{a-2}-\frac{3a-10}{a-2})÷\frac{a-4}{(a-2)^2}\\&=\frac{a-2-(3a-10)}{a-2}×\frac{(a-2)^2}{a-4}\\&=\frac{a-2-3a+10}{a-2}×\frac{(a-2)^2}{a-4}\\&=\frac{-2a+8}{a-2}×\frac{(a-2)^2}{a-4}\\&=\frac{-2(a-4)}{a-2}×\frac{(a-2)^2}{a-4}\\&=-2(a-2)\\&=-2a+4\end{aligned}$
再确定a的取值：
∵a与2、3为三角形的三边长，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，得：
$3-2 ＜ a ＜ 3+2$，即$1 ＜ a ＜ 5$
又
∵a为整数，
∴a可取2、3、4
∵分式有意义时分母不为0，除数不为0，
∴$a-2≠0$，$a-4≠0$，即$a≠2$且$a≠4$
∴a只能取3
将a=3代入$-2a+4$得：$-2×3+4=-2$
【答案】
化简的结果为$-2a+4$，值为$-2$
【知识点】
分式的化简求值；三角形三边关系；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简求值的常考题型，综合了分式运算和几何性质的考查，解题时需注意先化简再代值，代值前一定要验证所取数值是否使原分式的所有分母、除数都不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
解题分为两步：第一步先化简分式，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的减法，将1通分为分母为a-2的分式，再与括号内另一分式合并，再将除法转化为乘法，同时对多项式因式分解，约分后得到最简结果；第二步确定a的取值，先根据三角形三边关系求出a的取值范围，再结合分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）筛选出符合要求的整数a，最后代入最简式计算即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{a-2}{a-2}-\frac{3a-10}{a-2})÷\frac{a-4}{(a-2)^2}\\&=\frac{a-2-(3a-10)}{a-2}×\frac{(a-2)^2}{a-4}\\&=\frac{a-2-3a+10}{a-2}×\frac{(a-2)^2}{a-4}\\&=\frac{-2a+8}{a-2}×\frac{(a-2)^2}{a-4}\\&=\frac{-2(a-4)}{a-2}×\frac{(a-2)^2}{a-4}\\&=-2(a-2)\\&=-2a+4\end{aligned}$
再确定a的取值：
∵a与2、3为三角形的三边长，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，得：
$3-2 ＜ a ＜ 3+2$，即$1 ＜ a ＜ 5$
又
∵a为整数，
∴a可取2、3、4
∵分式有意义时分母不为0，除数不为0，
∴$a-2≠0$，$a-4≠0$，即$a≠2$且$a≠4$
∴a只能取3
将a=3代入$-2a+4$得：$-2×3+4=-2$
【答案】
化简的结果为$-2a+4$，值为$-2$
【知识点】
分式的化简求值；三角形三边关系；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简求值的常考题型，综合了分式运算和几何性质的考查，解题时需注意先化简再代值，代值前一定要验证所取数值是否使原分式的所有分母、除数都不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
6.先化简，再求值：$1+\dfrac{m-n}{m-2n}÷\dfrac{n^2 - m^2}{m^2 - 4mn + 4n^2}$，其中$m,n$满足$\dfrac{m}{3}=-\dfrac{n}{2}$。
答案
6.化简的结果为$\frac{3n}{m+n}$,值为$-6$
解析
【分析】
本题是分式化简求值题，解题思路分两步走：第一步先化简分式，按照分式运算顺序，先算除法运算，将除法转化为乘法后，对分子分母的多项式分别因式分解，约分后再与1通分计算得到最简形式；第二步利用已知的m、n的等量关系，用含n的式子表示m，代入最简式计算即可得到结果。运算时要注意平方差公式分解时的符号处理，避免符号错误。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=1+\dfrac{m-n}{m-2n}÷\dfrac{n^2 - m^2}{m^2 - 4mn + 4n^2}\\&=1+\dfrac{m-n}{m-2n}×\dfrac{m^2 - 4mn + 4n^2}{n^2 - m^2} \quad \mathrm{（除以分式等于乘它的倒数）}\\&=1+\dfrac{m-n}{m-2n}×\dfrac{(m-2n)^2}{-(m-n)(m+n)} \quad \mathrm{（因式分解：}m^2-4mn+4n^2=(m-2n)^2，n^2-m^2=-(m-n)(m+n)\mathrm{）}\\&=1-\dfrac{m-2n}{m+n} \quad \mathrm{（约掉公因式}(m-n)、(m-2n)\mathrm{）}\\&=\dfrac{m+n}{m+n}-\dfrac{m-2n}{m+n} \quad \mathrm{（通分，将1转化为同分母分式）}\\&=\dfrac{(m+n)-(m-2n)}{m+n}\\&=\dfrac{3n}{m+n}\end{aligned}$
再代入求值：
已知$\dfrac{m}{3}=-\dfrac{n}{2}$，交叉相乘得$2m=-3n$，即$m=-\dfrac{3}{2}n$（$n≠0$，否则原式无意义），代入化简结果：
$\begin{aligned}\dfrac{3n}{m+n}&=\dfrac{3n}{-\dfrac{3}{2}n + n}\\&=\dfrac{3n}{-\dfrac{1}{2}n}\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
化简的结果为$\frac{3n}{m+n}$，值为$-6$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，核心是熟练掌握分式的运算顺序和因式分解的方法，运算过程中要特别注意符号处理，代入求值时用整体代入思想可简化计算，同时要注意分式有意义的隐含条件，排除分母为0的情况。
【难度系数】
0.6
本题是分式化简求值题，解题思路分两步走：第一步先化简分式，按照分式运算顺序，先算除法运算，将除法转化为乘法后，对分子分母的多项式分别因式分解，约分后再与1通分计算得到最简形式；第二步利用已知的m、n的等量关系，用含n的式子表示m，代入最简式计算即可得到结果。运算时要注意平方差公式分解时的符号处理，避免符号错误。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=1+\dfrac{m-n}{m-2n}÷\dfrac{n^2 - m^2}{m^2 - 4mn + 4n^2}\\&=1+\dfrac{m-n}{m-2n}×\dfrac{m^2 - 4mn + 4n^2}{n^2 - m^2} \quad \mathrm{（除以分式等于乘它的倒数）}\\&=1+\dfrac{m-n}{m-2n}×\dfrac{(m-2n)^2}{-(m-n)(m+n)} \quad \mathrm{（因式分解：}m^2-4mn+4n^2=(m-2n)^2，n^2-m^2=-(m-n)(m+n)\mathrm{）}\\&=1-\dfrac{m-2n}{m+n} \quad \mathrm{（约掉公因式}(m-n)、(m-2n)\mathrm{）}\\&=\dfrac{m+n}{m+n}-\dfrac{m-2n}{m+n} \quad \mathrm{（通分，将1转化为同分母分式）}\\&=\dfrac{(m+n)-(m-2n)}{m+n}\\&=\dfrac{3n}{m+n}\end{aligned}$
再代入求值：
已知$\dfrac{m}{3}=-\dfrac{n}{2}$，交叉相乘得$2m=-3n$，即$m=-\dfrac{3}{2}n$（$n≠0$，否则原式无意义），代入化简结果：
$\begin{aligned}\dfrac{3n}{m+n}&=\dfrac{3n}{-\dfrac{3}{2}n + n}\\&=\dfrac{3n}{-\dfrac{1}{2}n}\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
化简的结果为$\frac{3n}{m+n}$，值为$-6$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，核心是熟练掌握分式的运算顺序和因式分解的方法，运算过程中要特别注意符号处理，代入求值时用整体代入思想可简化计算，同时要注意分式有意义的隐含条件，排除分母为0的情况。
【难度系数】
0.6
