10.先化简,再求值:$\dfrac{a^2 -6ab +9b^2}{a-2b} ÷ (a +2b - \dfrac{5b^2}{a-2b})$,其中$a,b$满足$|a+3| + (b+2)^2 =0$.

化简的结果为$\dfrac{a-3b}{a+3b}$,值为$-\dfrac{1}{3}$

【分析】
解题分两步走：第一步化简分式，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的减法，将括号内通分化为同分母分式相减，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分得到最简结果；第二步根据绝对值和平方的非负性求出a、b的值，代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
1. 化简分式：
$\begin{aligned}&\dfrac{a^2 -6ab +9b^2}{a-2b} ÷ (a +2b - \dfrac{5b^2}{a-2b})\\=&\dfrac{(a-3b)^2}{a-2b} ÷ [\dfrac{(a+2b)(a-2b) - 5b^2}{a-2b}]\\=&\dfrac{(a-3b)^2}{a-2b} ÷ \dfrac{a^2 - 4b^2 - 5b^2}{a-2b}\\=&\dfrac{(a-3b)^2}{a-2b} ÷ \dfrac{a^2 - 9b^2}{a-2b}\\=&\dfrac{(a-3b)^2}{a-2b} × \dfrac{a-2b}{(a-3b)(a+3b)}\\=&\dfrac{a-3b}{a+3b}\end{aligned}$
2. 求a、b的值：
∵$|a+3|≥0$，$(b+2)^2≥0$，且$|a+3| + (b+2)^2 =0$
∴$a+3=0$，$b+2=0$，解得$a=-3$，$b=-2$
3. 代入求值：
将$a=-3$，$b=-2$代入$\dfrac{a-3b}{a+3b}$得：
$\dfrac{-3 - 3×(-2)}{-3 + 3×(-2)} = \dfrac{-3 + 6}{-3 -6} = \dfrac{3}{-9} = -\dfrac{1}{3}$
【答案】
化简的结果为$\dfrac{a-3b}{a+3b}$，值为$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式的混合运算，非负数的性质，因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，解题时需注意运算顺序，通分和约分过程中要留意符号，避免因计算失误丢分，熟练掌握非负数的性质是求字母值的关键。
【难度系数】
0.7

11.【新考法·新定义】(2025·大连高新区期末)分式中,在分子、分母都是整式的情况下,如果分子的次数低于分母的次数,那么称这样的分式为真分式.例如,分式$\frac{1}{x+1},\frac{2x}{x^2+1}$是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数,那么称这样的分式为假分式.例如,分式$\frac{x}{x+1},\frac{2x^2}{x+1}$是假分式.一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和.例如,$\frac{2x^2}{x+1}=\frac{2x^2+2x-2x}{x+1}=$$\frac{2x(x+1)}{x+1}-\frac{2x}{x+1}=2x-\frac{2x+2-2}{x+1}=2x-2+\frac{2}{x+1}.$
(1)将假分式$\frac{4x+1}{2x-1}$化为一个整式与一个真分式的和.
(2)若$x$是整数,且假分式$\frac{x^2}{x-2}$的值为正整数,求$x$的值.
(3)已知假分式$\frac{4x^2+7x-3}{x+2}$化为一个整式与一个真分式的和的形式为$A+\frac{1}{B},A,B$均为关于$x$的多项式.若$A=4a-9,B=b-10$,求$a^2+b^2+ab$的最小值.

11.解:(1)$\frac{4x+1}{2x-1}=\frac{4x-2+3}{2x-1}=\frac{2(2x-1)}{2x-1}+\frac{3}{2x-1}=2+\frac{3}{2x-1}.$
(2)$\because \frac{x^2}{x-2}$的值为正整数,$x^2≥0$,
$\therefore x-2＞0,\therefore x＞2.$
$\because \frac{x^2}{x-2}=\frac{x^2-2x+2x}{x-2}=x+\frac{2x-4+4}{x-2}=x+2+\frac{4}{x-2},\therefore x+2+\frac{4}{x-2}$的值为正整数.
$\because x＞2$,且$x$为整数,$\therefore x-2$的值为1或2或4,
$\therefore x$的值为3或4或6.
(3)$\frac{4x^2+7x-3}{x+2}=\frac{4x^2+8x-x-3}{x+2}=\frac{4x(x+2)}{x+2}-\frac{x+3}{x+2}=4x-\frac{x+2+1}{x+2}=4x-1-\frac{1}{x+2}=4x-1+\frac{1}{-x-2}.$
$\because \frac{4x^2+7x-3}{x+2}=A+\frac{1}{B},$
$\therefore A=4x-1,B=-x-2,$
$\therefore 4x-1=4a-9,-x-2=b-10,$
$\therefore a=x+2,b=-x+8,$
$\therefore a^2+b^2+ab=(x+2)^2+(-x+8)^2+(x+2)·(-x+8)=x^2-6x+84=(x-3)^2+75.$
$\because (x-3)^2≥0,\therefore$当$x-3=0$,即$x=3$时,$a^2+b^2+ab$有最小值,最小值为75.

【分析】
(1) 假分式拆分参考题干给出的方法，将分子凑成分母的整数倍加上一个次数低于分母的整式，再拆分即可。观察分母为$2x-1$，把分子$4x+1$变形为$2(2x-1)+3$，再拆分就能得到整式加真分式的形式。
(2) 先把假分式$\frac{x^2}{x-2}$拆成整式加真分式的形式，因为分式值为正整数，且分子$x^2≥0$，首先分母$x-2$必须为正，其次真分式部分的分母$x-2$是分子4的正约数，结合$x$是整数即可求出$x$的取值。
(3) 先按假分式拆分方法把$\frac{4x^2+7x-3}{x+2}$拆成$A+\frac{1}{B}$的形式，对应得到$A$、$B$关于$x$的表达式，再根据$A=4a-9$、$B=b-10$用$x$表示出$a$和$b$，代入$a^2+b^2+ab$后整理为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性即可求出最小值。
【解析】
(1) $\frac{4x+1}{2x-1}=\frac{4x-2+3}{2x-1}=\frac{2(2x-1)}{2x-1}+\frac{3}{2x-1}=2+\frac{3}{2x-1}$
(2) $\because \frac{x^2}{x-2}$的值为正整数，$x^2≥0$，
$\therefore x-2＞0,\therefore x＞2.$
$\because \frac{x^2}{x-2}=\frac{x^2-2x+2x}{x-2}=x+\frac{2x-4+4}{x-2}=x+2+\frac{4}{x-2}$，
$\therefore x+2+\frac{4}{x-2}$的值为正整数。
$\because x＞2$，且$x$为整数，$\therefore x-2$的值为1或2或4，
$\therefore x$的值为3或4或6。
(3) $\frac{4x^2+7x-3}{x+2}=\frac{4x^2+8x-x-3}{x+2}=\frac{4x(x+2)}{x+2}-\frac{x+3}{x+2}=4x-\frac{x+2+1}{x+2}=4x-1-\frac{1}{x+2}=4x-1+\frac{1}{-x-2}.$
$\because \frac{4x^2+7x-3}{x+2}=A+\frac{1}{B},$
$\therefore A=4x-1,B=-x-2,$
$\therefore 4x-1=4a-9,-x-2=b-10,$
$\therefore a=x+2,b=-x+8,$
$\therefore a^2+b^2+ab=(x+2)^2+(-x+8)^2+(x+2)·(-x+8)=x^2-6x+84=(x-3)^2+75.$
$\because (x-3)^2≥0,\therefore$当$x-3=0$，即$x=3$时，$a^2+b^2+ab$有最小值，最小值为75。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2+\frac{3}{2x-1}}$
(2) $\boldsymbol{3}$、$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{6}$
(3) $\boldsymbol{75}$
【知识点】
分式新定义，分式化简，配方法求最值
【点评】
本题以新定义为背景，逐层考查分式的拆分、整数解求解、代数式最值计算，既考查对新定义的理解能力，也考查分式运算、配方变形的基础技能，解题关键是掌握假分式拆分的凑形方法，灵活运用平方的非负性求最值。
【难度系数】
0.6

例 (1)若$m - n = 2$，则代数式$\frac{m^2 - n^2}{m} · \frac{2m}{m + n}$的值是；
(2)已知$a^2 + b^2 = 4ab$，则$(\frac{a - b}{a + b})^2$的值为；
(3)已知$m + n = 2$，$mn = -1$，则$\frac{m + 1}{n} + \frac{n + 1}{m} =$。

【例】(1)4 (2)$\frac{1}{3}$ (3)$-8$

【分析】
这三道题均属于分式化简求值类题目，解题整体思路是先利用因式分解、通分、约分等方法将待求代数式化简到最简形式，再将已知条件整体代入计算即可，无需单独求出每个未知数的值，能大幅简化运算。
【解析】
(1) 先利用平方差公式分解分子，再约分：
原式$=\frac{(m+n)(m-n)}{m} · \frac{2m}{m+n}$，约去公因式$m$和$m+n$，得化简结果$2(m-n)$，将$m-n=2$代入，得$2×2=4$。
(2) 先利用完全平方公式展开待求式，再整体代换：
$(\frac{a-b}{a+b})^2=\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}=\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2+2ab+b^2}$，已知$a^2+b^2=4ab$，代入得分子为$4ab-2ab=2ab$，分母为$4ab+2ab=6ab$（由原式分母不为0可知$ab≠0$，$a+b≠0$），约去公因式$ab$得$\frac{2ab}{6ab}=\frac{1}{3}$。
(3) 先通分化简待求式，再结合完全平方公式变形代值：
原式通分后为$\frac{m(m+1)+n(n+1)}{mn}=\frac{m^2+m+n^2+n}{mn}=\frac{(m^2+n^2)+(m+n)}{mn}$，其中$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，将$m+n=2$，$mn=-1$代入得：$m^2+n^2=2^2-2×(-1)=6$，代入分子得$6+2=8$，所以原式$=\frac{8}{-1}=-8$。
【答案】
(1)4；(2)$\frac{1}{3}$；(3)$-8$
【知识点】
分式化简求值，乘法公式，整体代入求值
【点评】
这类题目是分式运算的常见基础题型，解题核心是先化简再代值，优先考虑整体代入的思路，熟练掌握因式分解、通分约分以及完全平方公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.7

(1)若$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -2$，则$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - xy - y} =$；
(2)如果$\frac{1}{a} + b = 1$，$c + \frac{2}{b} = 2$，那么$a + \frac{2}{c} =$。

【变式1】(1)7 (2)1

【分析】
(1) 已知条件是关于x、y的分式等式，无法直接求出x、y的具体值，因此采用整体代入法：先将已知等式通分变形，得到x-y与xy的数量关系，再将待求分式的分子、分母整理为含(x-y)和xy的形式，代入后约分化简即可得到结果。
(2) 已知两个含a、b、c的等式，无法直接求出三个字母的具体值，可先分别用含b的代数式表示a和c，再将a和c的表达式代入待求式，消去字母b后化简得到结果，计算时注意分母不为0的隐含条件。
【解析】
(1) 对已知等式变形：
$\because \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{xy} = -2$
$\therefore y - x = -2xy$，即$x - y = 2xy$
将待求分式整理：
$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - xy - y} = \frac{2(x - y) + 3xy}{(x - y) - xy}$
把$x - y = 2xy$代入上式：
原式$=\frac{2×2xy + 3xy}{2xy - xy} = \frac{7xy}{xy} = 7$（$xy≠0$，符合分式有意义的条件）
(2) 分别用含b的式子表示a和c：
由$\frac{1}{a} + b = 1$，得$\frac{1}{a} = 1 - b$，$\therefore a = \frac{1}{1 - b}$（$b≠1$）
由$c + \frac{2}{b} = 2$，得$c = 2 - \frac{2}{b} = \frac{2(b - 1)}{b}$（$b≠0$）
则$\frac{2}{c} = \frac{2}{\frac{2(b - 1)}{b}} = \frac{b}{b - 1}$（$c≠0$，即$b≠1$）
将a和$\frac{2}{c}$代入待求式：
$a + \frac{2}{c} = \frac{1}{1 - b} + \frac{b}{b - 1} = \frac{1}{1 - b} - \frac{b}{1 - b} = \frac{1 - b}{1 - b} = 1$
【答案】
(1)7；(2)1
【知识点】
分式混合运算、整体代入法、分式化简求值
【点评】
这两道题是分式化简求值的典型题型，不需要求出每个字母的具体值，通过变形已知条件，用整体代入或消元的方法即可快速求解，解题时要注意分式有意义的隐含约束。
【难度系数】
0.65

(1)若$3ab - 3b^2 - 2 = 0$，则代数式$(1 - \frac{2ab - b^2}{a^2}) ÷ \frac{a - b}{a^2b}$的值为________；
(2)已知$a^2 + b^2 = 3ab$，则$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^2 ÷ (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2})$的值是________。

【变式2】(1)$\frac{2}{3}$ (2)$\pm\sqrt{5}$

【分析】
(1) 解题时先化简所求分式，先对括号内的部分通分，再将除法转化为乘法约分，得到最简形式后，观察已知等式可变形为$ab-b^2=\frac{2}{3}$，整体代入最简式即可求出结果。
(2) 同样先化简分式，先分别计算分子的乘方、分母的通分减法，再将除法转化为乘法约分得到最简式，结合已知$a^2+b^2=3ab$，利用完全平方公式求出$(a+b)^2$和$(a-b)^2$的值，代入后开平方注意正负两种情况即可。
【解析】
(1) 化简代数式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2} ÷ \frac{a - b}{a^2b}\\&=\frac{(a-b)^2}{a^2} × \frac{a^2b}{a - b}\\&=b(a-b)\\&=ab - b^2\end{aligned}$
由$3ab - 3b^2 - 2 = 0$得$3(ab - b^2)=2$，即$ab - b^2=\frac{2}{3}$，故原式的值为$\frac{2}{3}$。
(2) 化简代数式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{a+b}{ab})^2 ÷ \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}\\&=\frac{(a+b)^2}{a^2b^2} × \frac{a^2b^2}{(b-a)(b+a)}\\&=\frac{a+b}{b-a}\end{aligned}$
由$a^2 + b^2 = 3ab$可得：
$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2=3ab + 2ab=5ab$，
$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2=3ab - 2ab=ab$，
则$(\frac{a+b}{a-b})^2=\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\frac{5ab}{ab}=5$，即$\frac{a+b}{a-b}=\pm\sqrt{5}$，
因此$\frac{a+b}{b-a}=-\frac{a+b}{a-b}=\pm\sqrt{5}$，故原式的值为$\pm\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$\frac{2}{3}$；(2)$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
分式的混合运算，代数式化简求值，完全平方公式
【点评】
这两道题是分式化简求值的典型题型，核心思路是先化简再代入计算，无需直接求解未知数，既简化计算也降低出错概率，第二题要注意开平方时存在正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.6