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7.先化简,再求值:$(\dfrac{3x}{x-y}+\dfrac{x}{x+y})÷\dfrac{x}{x^2-y^2}$,其中$x,y$满足$2x+y-3=0$.
答案
7.化简的结果为$2(2x+y)$,值为$6$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简分式，观察原式结构，先将除法运算转化为乘法运算，再利用平方差公式对$x^2-y^2$因式分解，之后用乘法分配律去括号约分，可简化计算，无需先通分计算括号内的加法；第二步代入求值，观察化简后的式子和已知条件的关联，已知$2x+y-3=0$可变形为$2x+y=3$，直接整体代入化简结果即可求出数值，不需要单独求解$x$、$y$的具体值。
【解析】
解：化简原式：
$\begin{aligned}(\dfrac{3x}{x-y}+\dfrac{x}{x+y})÷\dfrac{x}{x^2-y^2}&=(\dfrac{3x}{x-y}+\dfrac{x}{x+y})×\dfrac{x^2-y^2}{x}\\&=(\dfrac{3x}{x-y}+\dfrac{x}{x+y})×\dfrac{(x-y)(x+y)}{x}\\&=\dfrac{3x}{x-y}×\dfrac{(x-y)(x+y)}{x}+\dfrac{x}{x+y}×\dfrac{(x-y)(x+y)}{x}\\&=3(x+y)+(x-y)\\&=3x+3y+x-y\\&=4x+2y\\&=2(2x+y)\end{aligned}$
由$2x+y-3=0$可得$2x+y=3$，将其代入化简后的式子：
原式$=2×3=6$
【答案】
化简的结果为$2(2x+y)$，值为$6$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、整体代入求值
【点评】
本题考查分式化简求值的相关内容，解题时可灵活运用运算律简化计算步骤，注意观察化简结果和已知条件的关联，采用整体代入的方法能减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简分式，观察原式结构，先将除法运算转化为乘法运算，再利用平方差公式对$x^2-y^2$因式分解，之后用乘法分配律去括号约分，可简化计算，无需先通分计算括号内的加法；第二步代入求值，观察化简后的式子和已知条件的关联，已知$2x+y-3=0$可变形为$2x+y=3$，直接整体代入化简结果即可求出数值，不需要单独求解$x$、$y$的具体值。
【解析】
解：化简原式：
$\begin{aligned}(\dfrac{3x}{x-y}+\dfrac{x}{x+y})÷\dfrac{x}{x^2-y^2}&=(\dfrac{3x}{x-y}+\dfrac{x}{x+y})×\dfrac{x^2-y^2}{x}\\&=(\dfrac{3x}{x-y}+\dfrac{x}{x+y})×\dfrac{(x-y)(x+y)}{x}\\&=\dfrac{3x}{x-y}×\dfrac{(x-y)(x+y)}{x}+\dfrac{x}{x+y}×\dfrac{(x-y)(x+y)}{x}\\&=3(x+y)+(x-y)\\&=3x+3y+x-y\\&=4x+2y\\&=2(2x+y)\end{aligned}$
由$2x+y-3=0$可得$2x+y=3$，将其代入化简后的式子：
原式$=2×3=6$
【答案】
化简的结果为$2(2x+y)$，值为$6$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、整体代入求值
【点评】
本题考查分式化简求值的相关内容，解题时可灵活运用运算律简化计算步骤，注意观察化简结果和已知条件的关联，采用整体代入的方法能减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
8.先化简$(a - \dfrac{a^2}{a^2 - 1}) ÷ \dfrac{a^2}{a^2 - 1}$，再从$-1 ＜ a ＜ \sqrt{5}$中选取一个合适的整数$a$代入求值。
答案
8.化简的结果为$\frac{a^2 -a -1}{a}$,值为$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：①先化简分式：按照分式混合运算顺序，先计算括号内的减法，通过通分将两个分式合并，再将除法运算转化为乘以除数的倒数，约分后得到最简结果；②确定合适的a值：先根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不符合要求的取值，再从给定的取值范围中选出符合条件的整数，代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：原式$=( \dfrac{a(a^2-1)}{a^2-1} - \dfrac{a^2}{a^2-1} ) × \dfrac{a^2-1}{a^2}$
$=\dfrac{a(a^2-1)-a^2}{a^2-1} × \dfrac{a^2-1}{a^2}$
$=\dfrac{a^3 - a - a^2}{a^2}$
$=\dfrac{a(a^2 - a - 1)}{a^2}$
$=\dfrac{a^2 - a - 1}{a}$
要使原式有意义，则需满足$a^2-1≠0$且$a^2≠0$，即$a≠\pm1$且$a≠0$。
已知$-1 ＜ a ＜ \sqrt{5}\approx2.236$，范围内的整数为0、1、2，排除0和1，故选取$a=2$代入：
原式$=\dfrac{2^2 - 2 -1}{2}=\dfrac{4-2-1}{2}=\dfrac{1}{2}$
【答案】
化简的结果为$\dfrac{a^2 -a -1}{a}$,值为$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规考法，解题时需注意先筛选出符合分式有意义条件的代入值，不能直接选取范围内的整数代入，避免因忽略分母不为0的限制出现错误。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：①先化简分式：按照分式混合运算顺序，先计算括号内的减法，通过通分将两个分式合并，再将除法运算转化为乘以除数的倒数，约分后得到最简结果；②确定合适的a值：先根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不符合要求的取值，再从给定的取值范围中选出符合条件的整数，代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：原式$=( \dfrac{a(a^2-1)}{a^2-1} - \dfrac{a^2}{a^2-1} ) × \dfrac{a^2-1}{a^2}$
$=\dfrac{a(a^2-1)-a^2}{a^2-1} × \dfrac{a^2-1}{a^2}$
$=\dfrac{a^3 - a - a^2}{a^2}$
$=\dfrac{a(a^2 - a - 1)}{a^2}$
$=\dfrac{a^2 - a - 1}{a}$
要使原式有意义，则需满足$a^2-1≠0$且$a^2≠0$，即$a≠\pm1$且$a≠0$。
已知$-1 ＜ a ＜ \sqrt{5}\approx2.236$，范围内的整数为0、1、2，排除0和1，故选取$a=2$代入：
原式$=\dfrac{2^2 - 2 -1}{2}=\dfrac{4-2-1}{2}=\dfrac{1}{2}$
【答案】
化简的结果为$\dfrac{a^2 -a -1}{a}$,值为$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规考法，解题时需注意先筛选出符合分式有意义条件的代入值，不能直接选取范围内的整数代入，避免因忽略分母不为0的限制出现错误。
【难度系数】
0.7
9.先化简，再求值：$(1 - \dfrac{1}{a}) ÷ \dfrac{a^2 - 1}{a^2 + 2a + 1}$，其中$a$是不等式组$\begin{cases}a - 2 ≥ 2 - a, \\2a - 1 ＜ a + 3\end{cases}$的最小整数解。
答案
9.化简的结果为$\frac{a+1}{a}$,值为$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题需分三步求解：第一步化简分式，先计算括号内的分式减法，再将分式除法转化为乘法运算，对分子分母因式分解后约分得到最简结果；第二步解一元一次不等式组，求出解集后确定其中的最小整数解a；第三步先验证a的值能使原分式有意义，再代入最简式计算最终数值。
【解析】
步骤1：化简分式
$\begin{aligned}(1 - \frac{1}{a}) ÷ \frac{a^2 - 1}{a^2 + 2a + 1}&=\frac{a - 1}{a} ÷ \frac{(a - 1)(a + 1)}{(a + 1)^2}\\&=\frac{a - 1}{a} × \frac{(a + 1)^2}{(a - 1)(a + 1)}\\&=\frac{a + 1}{a}\end{aligned}$
步骤2：解不等式组求a的最小整数解
解不等式$a - 2 ≥ 2 - a$：
移项得$2a ≥ 4$，解得$a ≥ 2$
解不等式$2a - 1 ＜ a + 3$：
移项得$a ＜ 4$
因此不等式组的解集为$2 ≤ a ＜ 4$，其中的整数解为2、3，最小整数解为$a=2$
步骤3：验证并代入求值
要使原分式有意义，需满足$a ≠ 0$且$a^2 - 1 ≠ 0$且$a^2 + 2a + 1 ≠ 0$，即$a ≠ 0$且$a ≠ \pm1$，$a=2$符合要求。
将$a=2$代入$\frac{a+1}{a}$得：$\frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
【答案】
化简的结果为$\frac{a+1}{a}$，值为$\frac{3}{2}$
【知识点】
分式的混合运算，解一元一次不等式组，分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式化简与不等式组结合的基础综合题，解题时要注意正确对分式的分子分母因式分解和约分，代入求值前需确认所取未知数的值能让原分式有意义，避免计算无效结果。
【难度系数】
0.7
本题需分三步求解：第一步化简分式，先计算括号内的分式减法，再将分式除法转化为乘法运算，对分子分母因式分解后约分得到最简结果；第二步解一元一次不等式组，求出解集后确定其中的最小整数解a；第三步先验证a的值能使原分式有意义，再代入最简式计算最终数值。
【解析】
步骤1：化简分式
$\begin{aligned}(1 - \frac{1}{a}) ÷ \frac{a^2 - 1}{a^2 + 2a + 1}&=\frac{a - 1}{a} ÷ \frac{(a - 1)(a + 1)}{(a + 1)^2}\\&=\frac{a - 1}{a} × \frac{(a + 1)^2}{(a - 1)(a + 1)}\\&=\frac{a + 1}{a}\end{aligned}$
步骤2：解不等式组求a的最小整数解
解不等式$a - 2 ≥ 2 - a$：
移项得$2a ≥ 4$，解得$a ≥ 2$
解不等式$2a - 1 ＜ a + 3$：
移项得$a ＜ 4$
因此不等式组的解集为$2 ≤ a ＜ 4$，其中的整数解为2、3，最小整数解为$a=2$
步骤3：验证并代入求值
要使原分式有意义，需满足$a ≠ 0$且$a^2 - 1 ≠ 0$且$a^2 + 2a + 1 ≠ 0$，即$a ≠ 0$且$a ≠ \pm1$，$a=2$符合要求。
将$a=2$代入$\frac{a+1}{a}$得：$\frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
【答案】
化简的结果为$\frac{a+1}{a}$，值为$\frac{3}{2}$
【知识点】
分式的混合运算，解一元一次不等式组，分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式化简与不等式组结合的基础综合题，解题时要注意正确对分式的分子分母因式分解和约分，代入求值前需确认所取未知数的值能让原分式有意义，避免计算无效结果。
【难度系数】
0.7
10.先化简$( \frac{a^2}{a+1} - a + 1 ) ÷ \frac{a^2 -1}{a^2 +2a +1}$，再从$-2 ＜ a ＜ 3$中选择一个适当的整数$a$代入求值。
答案
10.化简的结果为$\frac{1}{a-1}$,当$a=0$时,原式$=-1$；当$a=2$时,原式$=1$
解析
【分析】
解题时先处理括号内的运算，将括号里的整式通分转化为和前面分式同分母的形式，再做同分母分式的减法运算；接下来将分式除法转化为乘法，对分子、分母分别因式分解后约分即可完成化简。代入求值前要先根据分式分母不为0的要求确定a的可取值范围，再从给定的区间内选合适的整数代入计算即可。
【解析】
解：化简过程如下：
$\begin{aligned}&( \frac{a^2}{a+1} - a + 1 ) ÷ \frac{a^2 -1}{a^2 +2a +1}\\=&[ \frac{a^2}{a+1} - \frac{(a-1)(a+1)}{a+1} ] ÷ \frac{(a-1)(a+1)}{(a+1)^2}\\=&\frac{a^2 - (a^2 -1)}{a+1} × \frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)}\\=&\frac{1}{a+1} × \frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)}\\=&\frac{1}{a-1}\end{aligned}$
若分式有意义，则所有分母不能为0，即$a+1≠0$，$a^2-1≠0$，$a^2+2a+1≠0$，解得$a≠\pm1$。
已知$-2 ＜ a ＜ 3$且a为整数，因此a可取0或2：
当$a=0$时，原式$=\frac{1}{0-1}=-1$；
当$a=2$时，原式$=\frac{1}{2-1}=1$。
【答案】
化简的结果为$\frac{1}{a-1}$,当$a=0$时,原式$=-1$；当$a=2$时,原式$=1$（任选一个代入结果作答即可）
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是典型的分式化简求值类题目，核心要注意两点：一是严格按照分式运算规则化简，二是代入数值前必须先排除使分母为0的取值，保证代入后所有分式都有意义。
【难度系数】
0.7
解题时先处理括号内的运算，将括号里的整式通分转化为和前面分式同分母的形式，再做同分母分式的减法运算；接下来将分式除法转化为乘法，对分子、分母分别因式分解后约分即可完成化简。代入求值前要先根据分式分母不为0的要求确定a的可取值范围，再从给定的区间内选合适的整数代入计算即可。
【解析】
解：化简过程如下：
$\begin{aligned}&( \frac{a^2}{a+1} - a + 1 ) ÷ \frac{a^2 -1}{a^2 +2a +1}\\=&[ \frac{a^2}{a+1} - \frac{(a-1)(a+1)}{a+1} ] ÷ \frac{(a-1)(a+1)}{(a+1)^2}\\=&\frac{a^2 - (a^2 -1)}{a+1} × \frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)}\\=&\frac{1}{a+1} × \frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)}\\=&\frac{1}{a-1}\end{aligned}$
若分式有意义，则所有分母不能为0，即$a+1≠0$，$a^2-1≠0$，$a^2+2a+1≠0$，解得$a≠\pm1$。
已知$-2 ＜ a ＜ 3$且a为整数，因此a可取0或2：
当$a=0$时，原式$=\frac{1}{0-1}=-1$；
当$a=2$时，原式$=\frac{1}{2-1}=1$。
【答案】
化简的结果为$\frac{1}{a-1}$,当$a=0$时,原式$=-1$；当$a=2$时,原式$=1$（任选一个代入结果作答即可）
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是典型的分式化简求值类题目，核心要注意两点：一是严格按照分式运算规则化简，二是代入数值前必须先排除使分母为0的取值，保证代入后所有分式都有意义。
【难度系数】
0.7
11.先化简，再求值：$\dfrac{a^2 - 6a + 9}{a - 2} ÷ (a + 2 + \dfrac{5}{2 - a})$，其中$a$是使不等式$\dfrac{a - 1}{2} ≤ 1$成立的正整数。
答案
11.化简的结果为$\frac{a-3}{a+3}$,值为$-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时遵循“先化简，再求值”的思路：①先处理分式化简部分：先对被除式的分子因式分解，再将除式中括号内的分式通分计算，注意将分母2-a变形为-(a-2)统一分母，再将除法转化为乘法，约分化简得到最简结果；②再解一元一次不等式，找出符合条件的正整数a，同时要注意分式有意义的条件（所有分母不为0），排除不合适的a的取值；③最后将符合条件的a代入最简式计算结果即可。
【解析】
第一步：化简分式
1. 因式分解被除式的分子：
$\dfrac{a^2 - 6a + 9}{a - 2}=\dfrac{(a-3)^2}{a-2}$
2. 计算括号内的分式加法：
$a + 2 + \dfrac{5}{2 - a} = a + 2 - \dfrac{5}{a - 2}$
通分，分母统一为$a-2$：
$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-2} - \dfrac{5}{a-2} = \dfrac{a^2 - 4 - 5}{a-2} = \dfrac{a^2 - 9}{a-2}$
对分子因式分解：
$=\dfrac{(a+3)(a-3)}{a-2}$
3. 将除法转化为乘法，约分：
原式$=\dfrac{(a-3)^2}{a-2} ÷ \dfrac{(a+3)(a-3)}{a-2} = \dfrac{(a-3)^2}{a-2} × \dfrac{a-2}{(a+3)(a-3)} = \dfrac{a-3}{a+3}$
第二步：确定a的取值
解不等式$\dfrac{a - 1}{2} ≤ 1$：
两边同乘2得：$a - 1 ≤ 2$，解得$a ≤ 3$
其正整数解为$a=1,2,3$
结合分式有意义的条件：分母不为0，除数不为0，因此$a-2≠0$，$a+3≠0$，$a-3≠0$，即$a≠2,a≠-3,a≠3$
因此符合条件的正整数$a=1$
第三步：代入求值
将$a=1$代入$\dfrac{a-3}{a+3}$得：
$\dfrac{1-3}{1+3} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}$
【答案】
化简的结果为$\frac{a-3}{a+3}$，值为$-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式的化简求值；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式化简求值类的典型题型，综合考查了因式分解、分式的四则运算、一元一次不等式的解法，需要格外注意分式有意义的条件，避免直接代入不等式的整数解导致错误，考查了基础运算能力和细节意识。
【难度系数】
0.7
解题时遵循“先化简，再求值”的思路：①先处理分式化简部分：先对被除式的分子因式分解，再将除式中括号内的分式通分计算，注意将分母2-a变形为-(a-2)统一分母，再将除法转化为乘法，约分化简得到最简结果；②再解一元一次不等式，找出符合条件的正整数a，同时要注意分式有意义的条件（所有分母不为0），排除不合适的a的取值；③最后将符合条件的a代入最简式计算结果即可。
【解析】
第一步：化简分式
1. 因式分解被除式的分子：
$\dfrac{a^2 - 6a + 9}{a - 2}=\dfrac{(a-3)^2}{a-2}$
2. 计算括号内的分式加法：
$a + 2 + \dfrac{5}{2 - a} = a + 2 - \dfrac{5}{a - 2}$
通分，分母统一为$a-2$：
$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-2} - \dfrac{5}{a-2} = \dfrac{a^2 - 4 - 5}{a-2} = \dfrac{a^2 - 9}{a-2}$
对分子因式分解：
$=\dfrac{(a+3)(a-3)}{a-2}$
3. 将除法转化为乘法，约分：
原式$=\dfrac{(a-3)^2}{a-2} ÷ \dfrac{(a+3)(a-3)}{a-2} = \dfrac{(a-3)^2}{a-2} × \dfrac{a-2}{(a+3)(a-3)} = \dfrac{a-3}{a+3}$
第二步：确定a的取值
解不等式$\dfrac{a - 1}{2} ≤ 1$：
两边同乘2得：$a - 1 ≤ 2$，解得$a ≤ 3$
其正整数解为$a=1,2,3$
结合分式有意义的条件：分母不为0，除数不为0，因此$a-2≠0$，$a+3≠0$，$a-3≠0$，即$a≠2,a≠-3,a≠3$
因此符合条件的正整数$a=1$
第三步：代入求值
将$a=1$代入$\dfrac{a-3}{a+3}$得：
$\dfrac{1-3}{1+3} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}$
【答案】
化简的结果为$\frac{a-3}{a+3}$，值为$-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式的化简求值；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式化简求值类的典型题型，综合考查了因式分解、分式的四则运算、一元一次不等式的解法，需要格外注意分式有意义的条件，避免直接代入不等式的整数解导致错误，考查了基础运算能力和细节意识。
【难度系数】
0.7
