1.算式$5^{-3}$可以表示为（）

A.$(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)$
B.$\frac{1}{5×5×5}$
C.$(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)$
D.$-5×5×5$

1.B

【分析】
本题考查负整数指数幂的表示，解题首先要回忆负整数指数幂的运算法则：非零数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数。解题时先根据法则将$5^{-3}$转化为正指数幂的形式，再对应各个选项判断即可。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：当$a≠0$，$p$为正整数时，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$。
代入$a=5$，$p=3$可得：
$5^{-3}=\frac{1}{5^3}=\frac{1}{5×5×5}$。
对选项逐一判断：
A选项表示的是$(-3)^5$，不符合题意；
B选项和推导结果一致，符合题意；
C选项表示的是5个$-3$相加，结果为$-15$，不符合题意；
D选项表示的是$-5^3$，不符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记负整数指数幂的运算法则，注意区分负指数幂、乘方、加法的运算意义，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.9

2.若$(a-2)^{-1}$有意义，则$a$的取值范围是（）

A.$a≠2$
B.$a≠1$
C.$a≠0$
D.$a≠-1$

2.A

【分析】
要判断$(a-2)^{-1}$有意义时$a$的取值范围，首先要明确负整数指数幂有意义的前提：负整数指数幂可以转化为正整数指数幂的倒数，因此底数不能为0。我们只需要找到题中式子的底数，令底数不等于0，解不等式就能得到$a$的取值范围。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：对于任意正整数$n$，$x^{-n}=\frac{1}{x^n}$，该式有意义的条件是底数$x≠0$。
本题中$(a-2)^{-1}$的底数为$a-2$，因此要使式子有意义，需满足：
$a-2≠0$
解得$a≠2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 负整数指数幂的性质
2. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握负整数指数幂底数不为0的限制条件，解题时直接根据条件列不等式求解即可，难度较低，注意不要和其他幂运算的限制条件混淆。
【难度系数】
0.9

3.(2025·大连中山区期末)计算：$2^{-1}+(π+2)^0=$ .

3.$\frac{3}{2}$

【分析】
解题时先将原式拆分为两个指数幂分别计算，首先回忆负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），再回忆零指数幂的运算法则：$a^0=1$（$a≠0$），分别计算两个部分的结果后，再将结果相加即可得到最终答案。
【解析】
解：根据负整数指数幂的运算法则可得：
$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$
根据零指数幂的运算法则，由于$π+2＞0$，因此：
$(π+2)^0=1$
将两部分结果相加：
$2^{-1}+(π+2)^0=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对负整数指数幂、零指数幂运算法则的掌握，解题时要注意零指数幂的底数不能为0的前提，避免记错法则将负整数指数幂计算为负数、零指数幂计算为0导致失分。
【难度系数】
0.8

4.若$a^m = 3$，则$a^{-m} = $

4.$\frac{1}{3}$

【分析】
解题时首先回忆负整数指数幂的运算规则，我们知道负整数指数幂和对应正整数指数幂互为倒数关系，题目已经给出了$a^m$的取值，只要将负指数转化为对应正指数的倒数，代入已知数值就能求出结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：当$a≠0$，$p$为正整数时，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$。
本题中$a^m=3≠0$，满足公式适用条件，因此可得：
$a^{-m}=\frac{1}{a^m}$
将$a^m=3$代入上式，得$a^{-m}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是对负整数指数幂运算规则的理解和直接应用，熟练掌握公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9

5.用分数或整数表示下列各数：
(1)$10^{-3}=$；
(2)$(-1)^{-3}=$；
(3)$(\frac{1}{7})^{-2}=$；
(4)$(-0.1)^{-2}=$。

5.(1)$\frac{1}{1000}$ (2)$-1$ (3)$49$ (4)$100$

【分析】
解题的核心是掌握负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），即非零数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数。解题时只需逐题套用该法则，结合有理数乘方、倒数的计算规则求解即可，计算时注意底数的符号对结果的影响。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数）计算：
(1) $10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}$
(2) $(-1)^{-3}=\frac{1}{(-1)^3}=\frac{1}{-1}=-1$
(3) $(\frac{1}{7})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{7})^2}=\frac{1}{\frac{1}{49}}=49$
(4) 先将$-0.1$化为$-\frac{1}{10}$，则$(-0.1)^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{10})^2}=\frac{1}{\frac{1}{100}}=100$
【答案】
(1)$\frac{1}{1000}$；(2)$-1$；(3)$49$；(4)$100$
【知识点】
负整数指数幂运算；有理数乘方运算
【点评】
本题是负整数指数幂的基础运算题，解题关键是熟练掌握负指数幂到正指数幂的转化规则，计算时要注意底数为负数时，偶次幂结果为正，奇次幂结果为负，避免符号出错。
【难度系数】
0.85

6.将代数式$5x^{-2}y^{6}$写成只含有正整数指数幂的形式为。

6.$\frac{5y^6}{x^2}$

【分析】
解题时首先回忆负整数指数幂的运算法则：任何非零数的-p（p为正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数。先定位代数式中带负整数指数的项是$x^{-2}$，其余项系数5、$y^6$均为正整数指数，无需调整，只需将$x^{-2}$按照法则转化为正整数指数幂的形式，再整理成规范的分式即可。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），可得$x^{-2}=\frac{1}{x^2}$（$x≠0$）。
对原式进行转化：
$5x^{-2}y^{6}=5× \frac{1}{x^2}× y^6=\frac{5y^6}{x^2}$
【答案】
$\frac{5y^6}{x^2}$
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题是负整数指数幂的基础应用题型，核心考查负整数指数幂的转化规则，解题时注意仅将含负指数的项的底数移到分母位置，指数变为正整数，其余正指数项和系数位置保持不变即可。
【难度系数】
0.85

7.计算$(a^3)^{-2}$的结果是（）

A.$-a^6$
B.$a^6$
C.$\frac{1}{a^6}$
D.$-\frac{1}{a^6}$

7.C

【分析】
解决这道题需要分两步思考，首先回忆幂的乘方的运算规则，计算出指数的结果，再结合负整数指数幂的定义把结果转化为正指数的形式即可。首先，幂的乘方运算中底数不变，指数相乘；其次，负整数指数幂等于把幂指数变号后所得的幂的倒数，本题默认式子有意义即底数a≠0。
【解析】
第一步，根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为整数），计算得：
$(a^3)^{-2}=a^{3×(-2)}=a^{-6}$
第二步，根据负整数指数幂的定义：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），可得：
$a^{-6}=\frac{1}{a^6}$
因此结果为$\frac{1}{a^6}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算；负整数指数幂
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的相关运算性质，解题的关键是准确掌握幂的乘方和负整数指数幂的运算法则，避免出现指数运算符号错误、法则混淆的问题。
【难度系数】
0.8

8.计算：$6x^2yz ÷ (-2xy^{-2}z^{-1}) = \underline{\hspace{5cm}}$

8.$-3xy^3z^2$

【分析】
本题是含负整数指数幂的单项式除法运算，解题遵循单项式除以单项式的思路：第一步先计算系数的商，第二步对相同字母分别运用同底数幂的除法法则计算，第三步将各部分结果相乘即可。运算时要注意同底数幂相除时底数不变、指数相减，做指数减法时要注意负号的处理。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则，分别计算系数和各字母的幂次：
1. 计算系数的商：$6÷(-2)=-3$
2. 计算$x$的幂次：$x^2÷ x = x^{2-1}=x$
3. 计算$y$的幂次：$y÷ y^{-2} = y^{1-(-2)}=y^3$
4. 计算$z$的幂次：$z÷ z^{-1} = z^{1-(-1)}=z^2$
将上述结果相乘，可得最终运算结果。
【答案】
$-3xy^3z^2$
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法；负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整数指数幂的运算性质和单项式除法法则，解题时需注意系数的符号以及指数相减时的符号运算，避免因符号或指数计算失误出错。
【难度系数】
0.8

9.计算：
(1)$a^{-2}b^{2} · (a^{2}b^{-2})^{-3}$；
(2)$(2ab^{2}c^{-3})^{2} ÷ (ab)^{-2}$。

9.(1)$\frac{b^8}{a^8}$ (2)$\frac{4a^4b^6}{c^6}$

【分析】
这两道题均考查整数指数幂的运算，解题思路如下：①先利用积的乘方、幂的乘方法则计算括号内的乘方运算，运算时注意指数的符号变化；②再利用同底数幂的乘、除运算法则计算，底数不变，对应指数相加或相减；③最后根据负整数指数幂的意义，将结果中负指数的幂转化为正指数幂的形式，保证最终结果不含负指数。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法：
$\begin{aligned}a^{-2}b^{2} · (a^{2}b^{-2})^{-3}&=a^{-2}b^{2} · a^{2×(-3)}b^{(-2)×(-3)}\\&=a^{-2}b^{2} · a^{-6}b^{6}\\&=a^{-2+(-6)}b^{2+6}\\&=a^{-8}b^{8}\\&=\frac{b^8}{a^8}\end{aligned}$
(2) 先分别计算两个乘方运算，再计算同底数幂的除法：
$\begin{aligned}(2ab^{2}c^{-3})^{2} ÷ (ab)^{-2}&=4a^{2}b^{4}c^{-6} ÷ (a^{-2}b^{-2})\\&=4a^{2-(-2)}b^{4-(-2)}c^{-6}\\&=4a^{4}b^{6}c^{-6}\\&=\frac{4a^4b^6}{c^6}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{b^8}{a^8}$；(2)$\frac{4a^4b^6}{c^6}$
【知识点】
负整数指数幂运算；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘除法
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，核心是熟练运用幂的各类运算法则，运算过程中需格外注意负指数对应的符号变化，避免指数运算时符号出错。
【难度系数】
0.8

10.若$a+a^{-1}=3$，则$a^2+a^{-2}=$（）

A.1
B.7
C.9
D.11

10.B

【分析】
本题已知a与a的负一次方的和，要求a的平方与a的负二次方的和，首先观察两个代数式的次数关系：已知是一次式的和，所求为二次式的和，可联想到完全平方公式，将已知等式两边平方，再结合同底数幂的运算性质计算出交叉项的值，最后调整即可得到所求结果。
【解析】
解：已知$a+a^{-1}=3$，将等式两边同时平方，得：
$(a+a^{-1})^2=3^2$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2· a· a^{-1} + (a^{-1})^2 = 9$
根据同底数幂的乘法法则，$a· a^{-1}=a^{1+(-1)}=a^0=1$，代入上式得：
$a^2 + 2×1 + a^{-2}=9$
移项计算得：
$a^2+a^{-2}=9-2=7$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、负整数指数幂运算、同底数幂乘法
【点评】
本题是负整数指数幂相关的基础常考题，核心考查完全平方公式与幂运算性质的结合运用，解题的突破口是观察到已知和所求代数式的次数关联，通过平方构造出所求式子，计算时要注意$a· a^{-1}=1$这一隐含条件，避免直接将3平方后误选C。
【难度系数】
0.8

11.如果$a=(-10)^0$，$b=(-0.1)^{-1}$，$c=(-\dfrac{5}{3})^{-2}$，那么$a,b,c$的大小关系为.(用“＞”连接)

11.$a＞c＞b$

【分析】
要比较a、b、c的大小，首先需要根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则分别计算出a、b、c的具体数值，再按照有理数大小比较的规则判断三者的大小关系即可。
【解析】
第一步，计算a的值：
根据零指数幂的运算法则：任何非零数的0次幂都等于1，可得
$a=(-10)^0=1$
第二步，计算b的值：
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得
$b=(-0.1)^{-1}=\frac{1}{(-0.1)^1}=\frac{1}{-0.1}=-10$
第三步，计算c的值：
同理运用负整数指数幂法则：
$c=(-\frac{5}{3})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{5}{3})^2}=\frac{1}{\frac{25}{9}}=\frac{9}{25}=0.36$
第四步，比较大小：
因为$1＞0.36＞-10$，所以$a＞c＞b$。
【答案】
$a＞c＞b$
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；有理数大小比较
【点评】
本题主要考查指数幂的基本运算及有理数大小比较，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则，准确计算出各数的数值后再比较大小，是指数幂部分的基础常考题。
【难度系数】
0.8

12.已知 $ 3^m = \frac{1}{27}, ( \frac{1}{2} )^n = 16, $ 则 $ m^n = $ 。

12.$\frac{1}{81}$

【分析】
解题思路如下：首先利用负整数指数幂的性质，将已知两个等式右侧的数转化为与左侧底数相同的幂的形式；再根据“同底数幂相等时，指数相等”的规律分别求出m、n的值；最后将m、n的值代入$m^n$，结合负整数指数幂的计算规则算出最终结果即可。
【解析】
解：先求$m$的值：
已知$3^m=\frac{1}{27}$，将右侧变形为以3为底的幂：
$\frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3}$，因此可得$3^m=3^{-3}$，根据同底数幂相等则指数相等，得$m=-3$。
再求$n$的值：
已知$(\frac{1}{2})^n=16$，将右侧变形为以$\frac{1}{2}$为底的幂：
$16=2^4=(\frac{1}{2})^{-4}$，因此可得$(\frac{1}{2})^n=(\frac{1}{2})^{-4}$，同理得$n=-4$。
最后计算$m^n$：
将$m=-3$，$n=-4$代入得：
$m^n=(-3)^{-4}=\frac{1}{(-3)^4}=\frac{1}{81}$。
【答案】
$\frac{1}{81}$
【知识点】
负整数指数幂、同底数幂的性质、乘方运算
【点评】
本题是基础的幂运算类题目，核心考点是负整数指数幂的定义，解题的关键是将非同名底数的幂转化为同底数幂求出指数，计算时要注意负数的偶次幂为正，避免符号错误。
【难度系数】
0.8

13.计算：
(1) $(-\dfrac{2}{3}a^{-2}b^{-1}c)^{-2} ÷ (-\dfrac{3}{2}a^2b^{-2})^2$；
(2) $(4x^2yz^{-1})^2 · (2xyz)^{-4} ÷ (yz^3)^{-2}$。

13.(1)$\frac{b^6}{c^2}$ (2)$1$

【分析】
这两道题属于整数指数幂的混合运算，解题时遵循“先算乘方，再算乘除”的顺序：①先利用积的乘方、幂的乘方法则，分别计算每个乘方项，把系数和各字母的幂分开运算；②再按照同底数幂的乘除运算法则计算，相同字母的指数对应相加减；③最后把结果中的负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式，化简得到最终结果。运算时要注意区分指数的加减规则，避免负指数的符号计算错误。
【解析】
(1) 先分别计算两个乘方项：
$\begin{aligned}(-\dfrac{2}{3}a^{-2}b^{-1}c)^{-2}&=(-\dfrac{2}{3})^{-2}·(a^{-2})^{-2}·(b^{-1})^{-2}· c^{-2}\\&=\dfrac{9}{4}a^{4}b^{2}c^{-2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}(-\dfrac{3}{2}a^2b^{-2})^2&=(-\dfrac{3}{2})^2·(a^2)^2·(b^{-2})^2\\&=\dfrac{9}{4}a^{4}b^{-4}\end{aligned}$
再计算除法：
$\begin{aligned}&\dfrac{9}{4}a^{4}b^{2}c^{-2} ÷ \dfrac{9}{4}a^{4}b^{-4}\\=&(\dfrac{9}{4}÷\dfrac{9}{4})· a^{4-4}· b^{2-(-4)}· c^{-2}\\=&1· a^0· b^6· c^{-2}\\=&\dfrac{b^6}{c^2}\end{aligned}$
(2) 先分别计算每个乘方项：
$\begin{aligned}(4x^2yz^{-1})^2&=4^2·(x^2)^2· y^2·(z^{-1})^2=16x^4y^2z^{-2}\\(2xyz)^{-4}&=2^{-4}· x^{-4}· y^{-4}· z^{-4}=\dfrac{1}{16}x^{-4}y^{-4}z^{-4}\\(yz^3)^{-2}&=y^{-2}·(z^3)^{-2}=y^{-2}z^{-6}\end{aligned}$
再按从左到右的顺序计算乘除：
$\begin{aligned}&16x^4y^2z^{-2} · \dfrac{1}{16}x^{-4}y^{-4}z^{-4} ÷ (y^{-2}z^{-6})\\=&(16×\dfrac{1}{16})· x^{4+(-4)}· y^{2+(-4)-(-2)}· z^{-2+(-4)-(-6)}\\=&1· x^0· y^0· z^0\\=&1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{b^6}{c^2}$；(2) $1$
【知识点】
负整数指数幂、整数指数幂运算、积的乘方
【点评】
本题重点考察整数指数幂运算法则的综合应用，运算时需先明确运算顺序，再分别处理系数和各字母的指数，要特别注意负指数的转换规则、幂的乘方与同底数幂乘除的指数运算差异，避免因指数符号或运算规则混淆出错。
【难度系数】
0.7