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1.尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，$∠ O'=∠ O$的依据是 （
A.SAS
B.SSS
C.AAS
D.ASA
B
）A.SAS
B.SSS
C.AAS
D.ASA
答案
1.B
解析
【分析】
要确定∠O'=∠O的依据，首先回忆尺规作一个角等于已知角的操作步骤，明确作图过程中构造出的相等线段：作图时会得到OC=O'C'、OD=O'D'、CD=C'D'三组相等的边，接下来判断这三组边对应相等符合哪种全等三角形的判定定理，两个三角形全等后对应角相等，即可得出结论。
【解析】
由尺规作一个角等于已知角的步骤可知：
$OC = O'C'$，$OD = O'D'$，$CD = C'D'$，
在$△ OCD$和$△ O'C'D'$中，
$\{\begin{array}{l}OC=O'C'\\OD=O'D'\\CD=C'D'\end{array} $
∴$△ OCD≌△ O'C'D'$（SSS），
根据全等三角形对应角相等，可得$∠O'=∠O$，
因此该作图的依据是SSS，故选B。
【答案】
B
【知识点】
作一个角等于已知角；SSS全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题考查尺规作图的原理，解题的关键是理清作图过程中构造的相等线段，结合全等三角形的判定定理分析，属于对基础作图原理的考查，熟练掌握基本作图的操作和对应的数学原理即可解题。
【难度系数】
0.8
要确定∠O'=∠O的依据，首先回忆尺规作一个角等于已知角的操作步骤，明确作图过程中构造出的相等线段：作图时会得到OC=O'C'、OD=O'D'、CD=C'D'三组相等的边，接下来判断这三组边对应相等符合哪种全等三角形的判定定理，两个三角形全等后对应角相等，即可得出结论。
【解析】
由尺规作一个角等于已知角的步骤可知：
$OC = O'C'$，$OD = O'D'$，$CD = C'D'$，
在$△ OCD$和$△ O'C'D'$中，
$\{\begin{array}{l}OC=O'C'\\OD=O'D'\\CD=C'D'\end{array} $
∴$△ OCD≌△ O'C'D'$（SSS），
根据全等三角形对应角相等，可得$∠O'=∠O$，
因此该作图的依据是SSS，故选B。
【答案】
B
【知识点】
作一个角等于已知角；SSS全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题考查尺规作图的原理，解题的关键是理清作图过程中构造的相等线段，结合全等三角形的判定定理分析，属于对基础作图原理的考查，熟练掌握基本作图的操作和对应的数学原理即可解题。
【难度系数】
0.8
2.如图，用直尺和圆规过直线$ l $外一点$ P $作已知直线的平行线，能得出$ ∠ 1 = ∠ 2 $的依据是
SSS
。答案
2.SSS
解析
【分析】
首先明确本题的作图是过点P作一个角等于已知角∠1，得到同位角∠2，从而构造平行线。要推导∠1=∠2，需要结合作图步骤分析：作图时用圆规在两个角的边上分别截取了相等的线段，使得包含∠1和∠2的两个三角形的三组对应边都相等，依据全等三角形的判定定理可证明两个三角形全等，再由全等三角形对应角相等即可得到∠1=∠2，因此要找的依据就是对应的全等判定定理。
【解析】
该尺规作图的本质是作一个角等于已知角，作图过程中，通过圆规截取等长线段，可得到包含∠1的三角形与包含∠2的三角形的三组对应边分别相等，根据“三边对应相等的两个三角形全等（即SSS）”，可知这两个三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，即可推出∠1=∠2，因此得出∠1=∠2的依据是SSS。
【答案】
SSS
【知识点】
尺规作等角；SSS全等判定；全等三角形性质
【点评】
本题将尺规作图操作与全等三角形的判定知识相结合，考查对作图原理的理解，解题的关键是梳理作图过程中构造的相等线段，熟练掌握全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.7
首先明确本题的作图是过点P作一个角等于已知角∠1，得到同位角∠2，从而构造平行线。要推导∠1=∠2，需要结合作图步骤分析：作图时用圆规在两个角的边上分别截取了相等的线段，使得包含∠1和∠2的两个三角形的三组对应边都相等，依据全等三角形的判定定理可证明两个三角形全等，再由全等三角形对应角相等即可得到∠1=∠2，因此要找的依据就是对应的全等判定定理。
【解析】
该尺规作图的本质是作一个角等于已知角，作图过程中，通过圆规截取等长线段，可得到包含∠1的三角形与包含∠2的三角形的三组对应边分别相等，根据“三边对应相等的两个三角形全等（即SSS）”，可知这两个三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，即可推出∠1=∠2，因此得出∠1=∠2的依据是SSS。
【答案】
SSS
【知识点】
尺规作等角；SSS全等判定；全等三角形性质
【点评】
本题将尺规作图操作与全等三角形的判定知识相结合，考查对作图原理的理解，解题的关键是梳理作图过程中构造的相等线段，熟练掌握全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.7
3.如图，在$△ ABC$中，用直尺和圆规作$∠ DBC = ∠ C$，$BD$与边$AC$交于点$D$.(保留作图痕迹，不写作法)
答案
解：
按照尺规作一个角等于已知角的方法，以点B为顶点，BC为一边，在△ABC内部作出∠DBC=∠C，射线BD与边AC交于点D，完整保留所有作图圆弧痕迹，所得图形即为所求。
按照尺规作一个角等于已知角的方法，以点B为顶点，BC为一边，在△ABC内部作出∠DBC=∠C，射线BD与边AC交于点D，完整保留所有作图圆弧痕迹，所得图形即为所求。
解析
【分析】
要解决这个作图题，首先明确作图要求：所作角的顶点为B，一条边与BC重合，角的大小等于∠C，且角的另一边BD要落在△ABC内部，与AC边交于D点。解题的核心是运用“尺规作一个角等于已知角”的基础操作，我们先以∠C为参照角，按照作等角的标准步骤，在B点处作出符合位置要求的等角即可，作图过程中所有辅助圆弧都要保留，不能擦除。
【解析】
① 以点C为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交∠C的两边BC、AC于两点；
② 保持圆规张开的长度不变，以点B为圆心画弧，交BC边于一点；
③ 调整圆规，量取步骤①中∠C上两个交点之间的长度，以步骤②中BC边上的交点为圆心，该长度为半径画弧，两弧交于△ABC内部一点；
④ 过点B和该交点作射线，射线与AC边的交点即为D，此时∠DBC=∠C，保留所有作图圆弧痕迹即可。
【答案】
按照尺规作一个角等于已知角的方法，以点B为顶点，BC为一边，在△ABC内部作出∠DBC=∠C，射线BD与边AC交于点D，完整保留所有作图圆弧痕迹，所得图形即为所求。
【知识点】
1. 作一个角等于已知角
2. 尺规作图规范
【点评】
本题是基础的尺规作图考查题，要求熟练掌握作等角的操作步骤，作图时需注意所作角的位置要符合题目要求，所有辅助作图痕迹要完整保留，避免遗漏或擦除。
【难度系数】
0.8
要解决这个作图题，首先明确作图要求：所作角的顶点为B，一条边与BC重合，角的大小等于∠C，且角的另一边BD要落在△ABC内部，与AC边交于D点。解题的核心是运用“尺规作一个角等于已知角”的基础操作，我们先以∠C为参照角，按照作等角的标准步骤，在B点处作出符合位置要求的等角即可，作图过程中所有辅助圆弧都要保留，不能擦除。
【解析】
① 以点C为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交∠C的两边BC、AC于两点；
② 保持圆规张开的长度不变，以点B为圆心画弧，交BC边于一点；
③ 调整圆规，量取步骤①中∠C上两个交点之间的长度，以步骤②中BC边上的交点为圆心，该长度为半径画弧，两弧交于△ABC内部一点；
④ 过点B和该交点作射线，射线与AC边的交点即为D，此时∠DBC=∠C，保留所有作图圆弧痕迹即可。
【答案】
按照尺规作一个角等于已知角的方法，以点B为顶点，BC为一边，在△ABC内部作出∠DBC=∠C，射线BD与边AC交于点D，完整保留所有作图圆弧痕迹，所得图形即为所求。
【知识点】
1. 作一个角等于已知角
2. 尺规作图规范
【点评】
本题是基础的尺规作图考查题，要求熟练掌握作等角的操作步骤，作图时需注意所作角的位置要符合题目要求，所有辅助作图痕迹要完整保留，避免遗漏或擦除。
【难度系数】
0.8
4.如图，已知线段a和∠α.
求作△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和理由)
求作△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和理由)
答案
解：
如图，保留尺规作图痕迹作出的△ABC即为所求，满足AB=AC=a，∠A=∠α。
（作图痕迹说明：保留作一个角等于已知角∠α的对应圆弧痕迹，以及在角的两条边上分别截取长度为a的线段的对应圆弧痕迹，连接BC得到完整三角形）
如图，保留尺规作图痕迹作出的△ABC即为所求，满足AB=AC=a，∠A=∠α。
（作图痕迹说明：保留作一个角等于已知角∠α的对应圆弧痕迹，以及在角的两条边上分别截取长度为a的线段的对应圆弧痕迹，连接BC得到完整三角形）
解析
【分析】
要构造符合条件的△ABC，可按步骤思考：首先确定三角形的顶角∠A，先利用尺规作图作出等于∠α的角作为∠A；再在该角的两条边上分别截取长度为a的线段，得到AB和AC两条边，满足AB=AC=a；最后连接两个截点得到边BC，即可得到所求的三角形。
【解析】
作图可按以下步骤完成（答题时仅需保留作图痕迹）：
1. 作∠BAC=∠α；
2. 在射线AB上截取AB=a，在射线AC上截取AC=a；
3. 连接BC，所得△ABC即为所求。
作图需保留两类痕迹：一是作∠BAC=∠α过程的所有圆弧痕迹，二是截取AB=a、AC=a时的圆弧痕迹。
【答案】
如图，保留尺规作图痕迹作出的△ABC即为所求，满足AB=AC=a，∠A=∠α。
（作图痕迹说明：保留作一个角等于已知角∠α的对应圆弧痕迹，以及在角的两条边上分别截取长度为a的线段的对应圆弧痕迹，连接BC得到完整三角形）
【知识点】
尺规作图、作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段
【点评】
本题属于基础尺规作图题，考查基本作图方法的组合运用，熟练掌握作等角、作等线段的尺规操作方法就能快速完成作图。
【难度系数】
0.8
要构造符合条件的△ABC，可按步骤思考：首先确定三角形的顶角∠A，先利用尺规作图作出等于∠α的角作为∠A；再在该角的两条边上分别截取长度为a的线段，得到AB和AC两条边，满足AB=AC=a；最后连接两个截点得到边BC，即可得到所求的三角形。
【解析】
作图可按以下步骤完成（答题时仅需保留作图痕迹）：
1. 作∠BAC=∠α；
2. 在射线AB上截取AB=a，在射线AC上截取AC=a；
3. 连接BC，所得△ABC即为所求。
作图需保留两类痕迹：一是作∠BAC=∠α过程的所有圆弧痕迹，二是截取AB=a、AC=a时的圆弧痕迹。
【答案】
如图，保留尺规作图痕迹作出的△ABC即为所求，满足AB=AC=a，∠A=∠α。
（作图痕迹说明：保留作一个角等于已知角∠α的对应圆弧痕迹，以及在角的两条边上分别截取长度为a的线段的对应圆弧痕迹，连接BC得到完整三角形）
【知识点】
尺规作图、作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段
【点评】
本题属于基础尺规作图题，考查基本作图方法的组合运用，熟练掌握作等角、作等线段的尺规操作方法就能快速完成作图。
【难度系数】
0.8
5.如图，已知角α和β、线段m，用无刻度的直尺和圆规作△ABC.(保留作图痕迹，不写作法)
(1)已知∠B＝α，∠C＝β，BC＝m；
(2)已知∠B＝α，∠C＝β，AB＝m.
(1)已知∠B＝α，∠C＝β，BC＝m；
(2)已知∠B＝α，∠C＝β，AB＝m.
答案
解：
(1) 作线段$BC=m$，在$BC$的同侧，分别以点$B$为顶点作$∠ ABC=α$，以点$C$为顶点作$∠ ACB=β$，两射线交于点$A$，所得$△ ABC$即为所求，保留全部尺规作图痕迹。
(2) 由三角形内角和得$∠ A=180°-α-β$，作线段$AB=m$，在$AB$的同侧，分别以点$A$为顶点作$∠ BAC=180°-α-β$，以点$B$为顶点作$∠ ABC=α$，两射线交于点$C$，所得$△ ABC$即为所求，保留全部尺规作图痕迹。
(1) 作线段$BC=m$，在$BC$的同侧，分别以点$B$为顶点作$∠ ABC=α$，以点$C$为顶点作$∠ ACB=β$，两射线交于点$A$，所得$△ ABC$即为所求，保留全部尺规作图痕迹。
(2) 由三角形内角和得$∠ A=180°-α-β$，作线段$AB=m$，在$AB$的同侧，分别以点$A$为顶点作$∠ BAC=180°-α-β$，以点$B$为顶点作$∠ ABC=α$，两射线交于点$C$，所得$△ ABC$即为所求，保留全部尺规作图痕迹。
解析
【分析】
（1）已知两角及夹边作三角形，可依据全等三角形“ASA”的判定思路作图：先作出长度为m的夹边BC，再分别以B、C为顶点在BC同侧作对应度数的角，两个角的另一边交点即为点A，即可得到所求△ABC。
（2）已知两角和其中一角的对边作三角形，首先利用三角形内角和定理计算出∠A=180°-α-β，将问题转化为已知∠A、∠B及夹边AB=m的两角夹边作图问题，再按上述思路先作出长度为m的AB边，分别以A、B为顶点在AB同侧作对应度数的角，两边交点即为点C，即可得到所求△ABC。
【解析】
(1) ①用圆规和直尺作线段$BC=m$；②以点B为顶点，BC为一边，作$∠ABC=α$；③以点C为顶点，CB为一边，在BC与∠ABC的同侧作$∠ACB=β$，两个角的另一边交于点A，所得$△ABC$即为所求，保留全部作图痕迹。
(2) ①先根据三角形内角和计算得$∠A=180°-α-β$；②作线段$AB=m$；③以点A为顶点，AB为一边，作$∠BAC=180°-α-β$；④以点B为顶点，BA为一边，在AB与∠BAC的同侧作$∠ABC=α$，两个角的另一边交于点C，所得$△ABC$即为所求，保留全部作图痕迹。
【答案】
(1) 作线段$BC=m$，在$BC$的同侧，分别以点$B$为顶点作$∠ ABC=α$，以点$C$为顶点作$∠ ACB=β$，两射线交于点$A$，所得$△ ABC$即为所求，保留全部尺规作图痕迹。
(2) 由三角形内角和得$∠ A=180°-α-β$，作线段$AB=m$，在$AB$的同侧，分别以点$A$为顶点作$∠ BAC=180°-α-β$，以点$B$为顶点作$∠ ABC=α$，两射线交于点$C$，所得$△ ABC$即为所求，保留全部尺规作图痕迹。
【知识点】
尺规作线段与角，三角形内角和定理，尺规作三角形
【点评】
本题属于尺规作图的基础题型，重点考查基本作图技能的运用，需要熟练掌握作等线段、作等角的操作方法，同时要能结合三角形内角和定理转化已知条件，梳理清晰作图逻辑，作图时需注意保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.7
（1）已知两角及夹边作三角形，可依据全等三角形“ASA”的判定思路作图：先作出长度为m的夹边BC，再分别以B、C为顶点在BC同侧作对应度数的角，两个角的另一边交点即为点A，即可得到所求△ABC。
（2）已知两角和其中一角的对边作三角形，首先利用三角形内角和定理计算出∠A=180°-α-β，将问题转化为已知∠A、∠B及夹边AB=m的两角夹边作图问题，再按上述思路先作出长度为m的AB边，分别以A、B为顶点在AB同侧作对应度数的角，两边交点即为点C，即可得到所求△ABC。
【解析】
(1) ①用圆规和直尺作线段$BC=m$；②以点B为顶点，BC为一边，作$∠ABC=α$；③以点C为顶点，CB为一边，在BC与∠ABC的同侧作$∠ACB=β$，两个角的另一边交于点A，所得$△ABC$即为所求，保留全部作图痕迹。
(2) ①先根据三角形内角和计算得$∠A=180°-α-β$；②作线段$AB=m$；③以点A为顶点，AB为一边，作$∠BAC=180°-α-β$；④以点B为顶点，BA为一边，在AB与∠BAC的同侧作$∠ABC=α$，两个角的另一边交于点C，所得$△ABC$即为所求，保留全部作图痕迹。
【答案】
(1) 作线段$BC=m$，在$BC$的同侧，分别以点$B$为顶点作$∠ ABC=α$，以点$C$为顶点作$∠ ACB=β$，两射线交于点$A$，所得$△ ABC$即为所求，保留全部尺规作图痕迹。
(2) 由三角形内角和得$∠ A=180°-α-β$，作线段$AB=m$，在$AB$的同侧，分别以点$A$为顶点作$∠ BAC=180°-α-β$，以点$B$为顶点作$∠ ABC=α$，两射线交于点$C$，所得$△ ABC$即为所求，保留全部尺规作图痕迹。
【知识点】
尺规作线段与角，三角形内角和定理，尺规作三角形
【点评】
本题属于尺规作图的基础题型，重点考查基本作图技能的运用，需要熟练掌握作等线段、作等角的操作方法，同时要能结合三角形内角和定理转化已知条件，梳理清晰作图逻辑，作图时需注意保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.7
6.如图，已知$∠ AOB=90°$，$∠ AOC=56°$，以点O为圆心，任意长为半径画弧①，分别交OB，OC于点M，N，再以点N为圆心，MN的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD，则$∠ COD$的度数为（
A.$22°$
B.$32°$
C.$34°$
D.$56°$
C
）A.$22°$
B.$32°$
C.$34°$
D.$56°$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先识别题中尺规作图的原理：通过SSS判定三角形全等，进而得到相等的角。第一步先根据已知的∠AOB、∠AOC的度数，利用角度和差关系求出∠BOC的度数，再根据全等三角形对应角相等，即可得到∠COD的度数。
【解析】
1. 计算∠BOC的度数：
已知∠AOB=90°，∠AOC=56°，根据角度差的关系可得：
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 90° - 56° = 34°$
2. 根据作图步骤分析三角形全等：
由作图可知，$OM=OD$（同圆半径相等），$MN=DN$（作图时取的等长），且$ON$为公共边，因此根据SSS全等判定可得$△ OMN ≌ △ ODN$。
3. 求∠COD的度数：
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ COD = ∠ BOC = 34°$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
尺规作等角，全等三角形的判定与性质，角度计算
【点评】
本题将尺规作图和全等三角形、角度计算结合考查，难度不高，解题关键是理解尺规作等角的原理，结合角度的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先识别题中尺规作图的原理：通过SSS判定三角形全等，进而得到相等的角。第一步先根据已知的∠AOB、∠AOC的度数，利用角度和差关系求出∠BOC的度数，再根据全等三角形对应角相等，即可得到∠COD的度数。
【解析】
1. 计算∠BOC的度数：
已知∠AOB=90°，∠AOC=56°，根据角度差的关系可得：
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 90° - 56° = 34°$
2. 根据作图步骤分析三角形全等：
由作图可知，$OM=OD$（同圆半径相等），$MN=DN$（作图时取的等长），且$ON$为公共边，因此根据SSS全等判定可得$△ OMN ≌ △ ODN$。
3. 求∠COD的度数：
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ COD = ∠ BOC = 34°$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
尺规作等角，全等三角形的判定与性质，角度计算
【点评】
本题将尺规作图和全等三角形、角度计算结合考查，难度不高，解题关键是理解尺规作等角的原理，结合角度的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
