8.【新考法·开放题】(2024·淄博)如图，已知AB=CD，点E,F在线段BD上，且AF=CE。请从①BF=DE；②∠BAF=∠DCE；③AF=CF中选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE。
你添加的条件是（填序号）.添加条件后，求证：AE // CF.

8.解:当选择①$BF=DE$ 时,$△ ABF≌△ CDE$.证明如下:在$△ ABF$ 和$△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ AF=CE, \\ BF=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CDE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ B=∠ D$.
$\because BF=DE$,
$\therefore BF+EF=DE+EF$,即 $BE=DF$.
在$△ ABE$ 和$△ CDF$ 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ B=∠ D, \\ BE=DF, \end{cases}$,$\therefore △ ABE≌△ CDF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ AEB=∠ CFD,\therefore AE// CF$.
当选择②$∠ BAF=∠ DCE$ 时,$△ ABF≌△ CDE$.证明如下: 在 $△ ABF$ 和 $△ CDE$ 中,
$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ BAF=∠ DCE, \\ AF=CE, \end{cases}$,$\therefore △ ABF≌△ CDE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ B = ∠ D, BF = DE$. 同理可证 $△ ABE ≌ △ CDF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ AEB=∠ CFD,\therefore AE// CF$.
当选择③$AF=CF$ 时,不能判定$△ ABF≌△ CDE$.

【分析】
首先明确题目已给的两个条件：$AB=CD$，$AF=CE$，要判定$△ ABF≌△ CDE$，结合全等三角形的判定定理分析三个可选条件：若选①$BF=DE$，可通过SSS判定全等；若选②$∠BAF=∠DCE$，可通过SAS判定全等；选③$AF=CF$无法构成全等的判定依据，因此合适的添加条件为①或②。要证明$AE// CF$，需证内错角相等，即$∠AEB=∠CFD$，可通过证明$△ ABE≌△ CDF$得到对应角相等，进而推导平行。
【解析】
可选条件为①或②，以下分别证明：
情况1：添加条件①$BF=DE$
1. 证$△ ABF≌△ CDE$：
在$△ ABF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ AF=CE, \\ BF=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CDE(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠B=∠D$。
2. 推导$BE=DF$：
$\because BF=DE$，
$\therefore BF+EF=DE+EF$，即 $BE=DF$。
3. 证$△ ABE≌△ CDF$：
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠B=∠D, \\ BE=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CDF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠AEB=∠CFD$，
$\therefore AE// CF$（内错角相等，两直线平行）。
情况2：添加条件②$∠BAF=∠DCE$
1. 证$△ ABF≌△ CDE$：
在$△ ABF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠BAF=∠DCE, \\ AF=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CDE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠B=∠D$，$BF=DE$。
2. 后续推导同情况1：可得$BE=DF$，证得$△ ABE≌△ CDF$，得到$∠AEB=∠CFD$，推出$AE// CF$。
若选择条件③$AF=CF$，无法得到判定$△ ABF≌△ CDE$的有效条件，不能证明全等。
【答案】
$\boxed{①}$（或$\boxed{②}$），证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题为开放性试题，考查对全等三角形判定定理的灵活运用，需要结合已知条件选择合适的判定依据，再通过全等三角形的性质推导角的关系，进而证明直线平行，注重对逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7

9.【新考法·综合与实践】初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”.如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD.
（1）如图1，将“筝形功能器”上的点A与∠PRQ的顶点R重合，AB，AD分别放置在角的两边RP，RQ上，过点A，C画射线AE.求证：AE是∠PRQ的平分线.
（2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平.如图2，在“筝形功能器”的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，点B，D紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点C，即判断门框是水平的.实践小组的判断正确吗？请说明理由.

9.解:(1)证明:在$△ ABC$ 和$△ ADC$ 中,
$\begin{cases} AB=AD, \\ BC=DC, \\ AC=AC, \end{cases}$,$\therefore △ ABC≌△ ADC(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$,即$∠ PRE=\mathrm{QRE}$,
$\therefore AE$ 是$∠ PRQ$ 的平分线.
(2)实践小组的判断正确.理由略

【分析】
（1）要证明AE是∠PRQ的平分线，需证明AE分∠PRQ得到的两个角相等。已知筝形ABCD的AB=AD、CB=CD，且AC为公共边，可通过SSS判定△ABC与△ADC全等，再利用全等三角形对应角相等得到∠BAC=∠DAC，即可证明AE是角平分线。
（2）要判断门框是否水平，即判断与门框上方贴合的BD是否水平。铅锤线是竖直方向，若能证明与铅锤线重合的AC垂直于BD，即可推出BD水平。由AB=AD、CB=CD可知点A、C都在BD的垂直平分线上，因此AC是BD的垂直平分线，可得AC⊥BD，进而得出结论。
【解析】
（1）证明：在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}AB=AD, \\BC=DC, \\AC=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$，即$∠ PRE=∠ QRE$，
$\therefore AE$是$∠ PRQ$的平分线。
（2）实践小组的判断正确，理由如下：
$\because AB=AD,CB=CD$，
$\therefore$点A、点C都在线段BD的垂直平分线上，即AC是线段BD的垂直平分线，
$\therefore AC⊥ BD$。
$\because$线绳挂铅锤，AC与竖直的铅锤线重合，
$\therefore BD$为水平方向，
又$\because$点B、D紧贴门框上方，
$\therefore$门框是水平的。
【答案】
（1）AE是$∠ PRQ$的平分线，证明过程见解析；
（2）实践小组的判断正确。
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题结合实践操作场景，将几何定理和生活实际结合，既考查了基础的三角形全等判定、垂直平分线的应用，也能引导学生感受数学的实用性，解题的关键是熟练掌握相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.7