登录
7.画∠AOB的平分线的方法有多种，嘉嘉和淇淇的方法分别如图1、图2所示，下列判断正确的是
（
①利用直尺和三角尺画CD//OB；
②在CD上截取CP，使CP＝OC；
③作射线OP，OP即为所求
①利用圆规截取OM＝ON，OC＝OD；
②连接MD，NC，相交于点P；
③作射线OP，OP即为所求
A.只有嘉嘉对
B.只有淇淇对
C.两人都对
D.两人都不对
（
C
）①利用直尺和三角尺画CD//OB；
②在CD上截取CP，使CP＝OC；
③作射线OP，OP即为所求
①利用圆规截取OM＝ON，OC＝OD；
②连接MD，NC，相交于点P；
③作射线OP，OP即为所求
A.只有嘉嘉对
B.只有淇淇对
C.两人都对
D.两人都不对
答案
7.C
解析
【分析】
要判断两人的方法是否正确，只需分别推导两人作出的射线OP是否满足∠AOP=∠BOP即可。先结合嘉嘉的作图步骤，利用平行线性质、等腰三角形性质推导角相等；再结合淇淇的作图步骤，利用全等三角形的判定和性质推导角相等，最终判断两人方法的正误。
【解析】
验证嘉嘉的方法：
1. 由作图可知$CD// OB$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ CPO=∠ BOP$。
2. 已知$CP=OC$，$△ OCP$为等腰三角形，根据“等腰三角形两底角相等”，得$∠ COP=∠ CPO$。
3. 等量代换得$∠ COP=∠ BOP$，即$OP$平分$∠ AOB$，嘉嘉的方法正确。
验证淇淇的方法：
1. 在$△ CON$和$△ DOM$中，$\begin{cases}OC=OD\\∠ CON=∠ DOM(\mathrm{公共角})\\ON=OM\end{cases}$，故$△ CON≌△ DOM(\mathrm{SAS})$，得$∠ OCP=∠ ODP$。
2. 由$OC=OD$，$OM=ON$，得$OM-OC=ON-OD$，即$CM=DN$。
3. 在$△ CMP$和$△ DNP$中，$\begin{cases}∠ OCP=∠ ODP\\∠ MPC=∠ NPD(\mathrm{对顶角相等})\\CM=DN\end{cases}$，故$△ CMP≌△ DNP(\mathrm{AAS})$，得$CP=DP$。
4. 在$△ OCP$和$△ ODP$中，$\begin{cases}OC=OD\\OP=OP(\mathrm{公共边})\\CP=DP\end{cases}$，故$△ OCP≌△ ODP(\mathrm{SSS})$，得$∠ COP=∠ DOP$，即$OP$平分$∠ AOB$，淇淇的方法也正确。
综上两人的方法都正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合角平分线的作图，考查几何基础性质的灵活运用，需要学生熟练掌握平行线、等腰三角形、全等三角形的相关性质，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
要判断两人的方法是否正确，只需分别推导两人作出的射线OP是否满足∠AOP=∠BOP即可。先结合嘉嘉的作图步骤，利用平行线性质、等腰三角形性质推导角相等；再结合淇淇的作图步骤，利用全等三角形的判定和性质推导角相等，最终判断两人方法的正误。
【解析】
验证嘉嘉的方法：
1. 由作图可知$CD// OB$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ CPO=∠ BOP$。
2. 已知$CP=OC$，$△ OCP$为等腰三角形，根据“等腰三角形两底角相等”，得$∠ COP=∠ CPO$。
3. 等量代换得$∠ COP=∠ BOP$，即$OP$平分$∠ AOB$，嘉嘉的方法正确。
验证淇淇的方法：
1. 在$△ CON$和$△ DOM$中，$\begin{cases}OC=OD\\∠ CON=∠ DOM(\mathrm{公共角})\\ON=OM\end{cases}$，故$△ CON≌△ DOM(\mathrm{SAS})$，得$∠ OCP=∠ ODP$。
2. 由$OC=OD$，$OM=ON$，得$OM-OC=ON-OD$，即$CM=DN$。
3. 在$△ CMP$和$△ DNP$中，$\begin{cases}∠ OCP=∠ ODP\\∠ MPC=∠ NPD(\mathrm{对顶角相等})\\CM=DN\end{cases}$，故$△ CMP≌△ DNP(\mathrm{AAS})$，得$CP=DP$。
4. 在$△ OCP$和$△ ODP$中，$\begin{cases}OC=OD\\OP=OP(\mathrm{公共边})\\CP=DP\end{cases}$，故$△ OCP≌△ ODP(\mathrm{SSS})$，得$∠ COP=∠ DOP$，即$OP$平分$∠ AOB$，淇淇的方法也正确。
综上两人的方法都正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合角平分线的作图，考查几何基础性质的灵活运用，需要学生熟练掌握平行线、等腰三角形、全等三角形的相关性质，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
8.如图,已知∠MON,A,B分别是射线OM,ON上的点.
(1)尺规作图:在∠MON的内部确定一点C,使得BC//OA,且BC=OA;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图中,连接OC,OC与AB交于一点D,求证:OD=CD.
(1)尺规作图:在∠MON的内部确定一点C,使得BC//OA,且BC=OA;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图中,连接OC,OC与AB交于一点D,求证:OD=CD.
答案
(1) 作图：以点B为顶点，BN为一边，在∠MON内部作∠CBN=∠MON，在所作角的边上截取BC=OA，点C即为所求，保留尺规作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ BC//OA，
∴ ∠OAD = ∠CBD，
在△OAD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}∠ODA = ∠CDB \\∠OAD = ∠CBD \\OA = BC\end{array} $
∴ △OAD ≌ △CBD（AAS），
∴ OD = CD。
(2) 证明：
∵ BC//OA，
∴ ∠OAD = ∠CBD，
在△OAD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}∠ODA = ∠CDB \\∠OAD = ∠CBD \\OA = BC\end{array} $
∴ △OAD ≌ △CBD（AAS），
∴ OD = CD。
解析
【分析】
(1) 要得到BC//OA且BC=OA，首先回忆尺规作图中作平行线的方法：可通过作同位角相等得到平行线，即先以B为顶点作∠CBN=∠MON，此时BC与OA平行，再在BC边上截取长度等于OA的线段，即可确定点C的位置。
(2) 要证明OD=CD，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先由BC//OA可得内错角相等，再结合对顶角相等、已知OA=BC的条件，即可用AAS判定△OAD和△CBD全等，进而得到对应边OD=CD。
【解析】
(1) 作图：先以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于两点；再以点B为圆心，相同长度为半径画弧交BN于一点，随后以该交点为圆心，O点处两弧交点的距离为半径画弧，两弧交点与B的连线即为与OA平行的边，在该边上截取BC=OA，点C即为所求，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ BC//OA，
∴ ∠OAD = ∠CBD，
在△OAD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}∠ODA = ∠CDB \\∠OAD = ∠CBD \\OA = BC\end{array} $
∴ △OAD ≌ △CBD（AAS），
∴ OD = CD。
【答案】
(1) 以点B为顶点，BN为一边，在∠MON内部作∠CBN=∠MON，在所作角的边上截取BC=OA，点C即为所求，保留尺规作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ BC//OA，
∴ ∠OAD = ∠CBD，
在△OAD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}∠ODA = ∠CDB \\∠OAD = ∠CBD \\OA = BC\end{array} $
∴ △OAD ≌ △CBD（AAS），
∴ OD = CD。
【知识点】
尺规作图作等角；平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合尺规作图和几何证明，考查基础作图能力和定理应用能力，作图部分需要熟练掌握作一个角等于已知角的操作，证明部分需要准确找到全等三角形的判定条件，属于基础综合类习题。
【难度系数】
0.8
(1) 要得到BC//OA且BC=OA，首先回忆尺规作图中作平行线的方法：可通过作同位角相等得到平行线，即先以B为顶点作∠CBN=∠MON，此时BC与OA平行，再在BC边上截取长度等于OA的线段，即可确定点C的位置。
(2) 要证明OD=CD，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先由BC//OA可得内错角相等，再结合对顶角相等、已知OA=BC的条件，即可用AAS判定△OAD和△CBD全等，进而得到对应边OD=CD。
【解析】
(1) 作图：先以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于两点；再以点B为圆心，相同长度为半径画弧交BN于一点，随后以该交点为圆心，O点处两弧交点的距离为半径画弧，两弧交点与B的连线即为与OA平行的边，在该边上截取BC=OA，点C即为所求，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ BC//OA，
∴ ∠OAD = ∠CBD，
在△OAD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}∠ODA = ∠CDB \\∠OAD = ∠CBD \\OA = BC\end{array} $
∴ △OAD ≌ △CBD（AAS），
∴ OD = CD。
【答案】
(1) 以点B为顶点，BN为一边，在∠MON内部作∠CBN=∠MON，在所作角的边上截取BC=OA，点C即为所求，保留尺规作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ BC//OA，
∴ ∠OAD = ∠CBD，
在△OAD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}∠ODA = ∠CDB \\∠OAD = ∠CBD \\OA = BC\end{array} $
∴ △OAD ≌ △CBD（AAS），
∴ OD = CD。
【知识点】
尺规作图作等角；平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合尺规作图和几何证明，考查基础作图能力和定理应用能力，作图部分需要熟练掌握作一个角等于已知角的操作，证明部分需要准确找到全等三角形的判定条件，属于基础综合类习题。
【难度系数】
0.8
9.我们通过对“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等，而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等。下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形是否全等”。
探究:已知△ABC,求作△DEF,使EF=BC,∠F=∠C,DE=AB(即两边和其中一边所对的角分别相等)。
(1)请用尺规作图的方法完成下列作图过程:
①作EF=BC;
②在线段EF的上方作∠F=∠C;
③作DE=AB。
(2)观察你画的图形,你会发现满足条件的三角形有个,其中三角形(根据自己作图标注的字母填三角形的名称)与△ABC明显不全等。
(3)经历以上探究过程可得结论:
探究:已知△ABC,求作△DEF,使EF=BC,∠F=∠C,DE=AB(即两边和其中一边所对的角分别相等)。
(1)请用尺规作图的方法完成下列作图过程:
①作EF=BC;
②在线段EF的上方作∠F=∠C;
③作DE=AB。
(2)观察你画的图形,你会发现满足条件的三角形有个,其中三角形(根据自己作图标注的字母填三角形的名称)与△ABC明显不全等。
(3)经历以上探究过程可得结论:
两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等
.答案
9.(1)略
(2)略
(3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等
(2)略
(3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等
解析
【分析】
本题是针对“两边及其中一边的对角相等（即SSA）能否判定三角形全等”的探究题。解题思路为：先按照题目给出的三步尺规作图要求操作，作完等线段EF=BC、等角∠F=∠C后，以E为圆心、AB长为半径画弧时，会发现弧与∠F的非EF边有2个交点，因此能得到2个满足DE=AB的三角形，对比这两个三角形和△ABC的形状，就能发现其中一个和△ABC不全等，最后根据作图结果总结出对应的结论即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 用直尺画出线段EF，使EF=BC；
② 依据“作一个角等于已知角”的尺规作图方法，在EF上方作出∠F=∠C；
③ 以点E为圆心，AB的长度为半径画弧，该弧与∠F的另一条边交于两个不同的点，分别将这两个点与点E连接，即可得到两个符合DE=AB的三角形。
(2) 观察所作图形可知，满足条件的三角形共有2个，其中形状与△ABC不同的那个三角形（根据自身作图标注填写即可）与△ABC明显不全等。
(3) 通过作图可以发现，存在两组边及其中一组边的对角相等，但两个三角形不全等的情况，因此可以归纳出对应结论。
【答案】
(1) 略
(2) 2，略（合理即可）
(3) 两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等
【知识点】
尺规作图，全等三角形判定，举反例探究
【点评】
本题通过动手实操作图的方式，直观展现了SSA无法作为三角形全等判定定理的原因，既考查了尺规作图的基本技能，也锻炼了从实践操作中归纳结论的能力，有助于加深对三角形全等判定条件的理解。
【难度系数】
0.7
本题是针对“两边及其中一边的对角相等（即SSA）能否判定三角形全等”的探究题。解题思路为：先按照题目给出的三步尺规作图要求操作，作完等线段EF=BC、等角∠F=∠C后，以E为圆心、AB长为半径画弧时，会发现弧与∠F的非EF边有2个交点，因此能得到2个满足DE=AB的三角形，对比这两个三角形和△ABC的形状，就能发现其中一个和△ABC不全等，最后根据作图结果总结出对应的结论即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 用直尺画出线段EF，使EF=BC；
② 依据“作一个角等于已知角”的尺规作图方法，在EF上方作出∠F=∠C；
③ 以点E为圆心，AB的长度为半径画弧，该弧与∠F的另一条边交于两个不同的点，分别将这两个点与点E连接，即可得到两个符合DE=AB的三角形。
(2) 观察所作图形可知，满足条件的三角形共有2个，其中形状与△ABC不同的那个三角形（根据自身作图标注填写即可）与△ABC明显不全等。
(3) 通过作图可以发现，存在两组边及其中一组边的对角相等，但两个三角形不全等的情况，因此可以归纳出对应结论。
【答案】
(1) 略
(2) 2，略（合理即可）
(3) 两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等
【知识点】
尺规作图，全等三角形判定，举反例探究
【点评】
本题通过动手实操作图的方式，直观展现了SSA无法作为三角形全等判定定理的原因，既考查了尺规作图的基本技能，也锻炼了从实践操作中归纳结论的能力，有助于加深对三角形全等判定条件的理解。
【难度系数】
0.7
