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1.(2025·大连高新区期末)如图,$BE ⊥ AC$于点E,$CF ⊥ AB$于点F.若$BE=CF$,则$\mathrm{Rt}△ BCF ≌ \mathrm{Rt}△ CBE$的依据是 (
A.AAS
B.HL
C.SAS
D.ASA
B
)A.AAS
B.HL
C.SAS
D.ASA
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先明确题目要求是判断两个直角三角形全等的依据，第一步先根据垂直的定义确定△BCF和△CBE都是直角三角形；第二步找两个三角形的对应相等边：两个三角形的斜边都是BC，属于公共边，天然相等，题目又给出直角边BE=CF，结合直角三角形全等的特殊判定定理，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（即HL），即可得出答案。
【解析】
解：
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BEC=∠CFB=90°，即△BCF和△CBE均为直角三角形。
在Rt△BCF和Rt△CBE中：
$\begin{cases} BC=CB\ (\mathrm{公共边相等}) \\ BE=CF\ (\mathrm{已知}) \end{cases}$
∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL），
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
HL判定定理，垂直的定义，公共边性质
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查直角三角形全等的特殊判定方法HL，解题时要先确认三角形为直角三角形，再结合已知条件和隐含的公共边相等的条件即可快速推导结论，要注意HL仅适用于直角三角形全等的判定。
【难度系数】
0.85
解题时先明确题目要求是判断两个直角三角形全等的依据，第一步先根据垂直的定义确定△BCF和△CBE都是直角三角形；第二步找两个三角形的对应相等边：两个三角形的斜边都是BC，属于公共边，天然相等，题目又给出直角边BE=CF，结合直角三角形全等的特殊判定定理，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（即HL），即可得出答案。
【解析】
解：
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BEC=∠CFB=90°，即△BCF和△CBE均为直角三角形。
在Rt△BCF和Rt△CBE中：
$\begin{cases} BC=CB\ (\mathrm{公共边相等}) \\ BE=CF\ (\mathrm{已知}) \end{cases}$
∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL），
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
HL判定定理，垂直的定义，公共边性质
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查直角三角形全等的特殊判定方法HL，解题时要先确认三角形为直角三角形，再结合已知条件和隐含的公共边相等的条件即可快速推导结论，要注意HL仅适用于直角三角形全等的判定。
【难度系数】
0.85
2.(2025·大连九中月考)如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，BE=DF。若要用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则需要添加的条件为
AF=CE
。答案
2.AF=CE
解析
【分析】
首先明确“HL”判定定理的内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。解题时先梳理已知条件：由垂直定义可得两个三角形都是直角三角形，再根据BE=DF，结合线段和差可推导出一组直角边BF=DE，此时要满足HL判定要求，只需补充两个直角三角形的斜边相等的条件即可。
【解析】
解：
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABF=∠CDE=90°，即Rt△ABF和Rt△CDE均为直角三角形。
∵BE=DF，
∴BE+BD=DF+BD，即BF=DE。
根据“HL”判定直角三角形全等的规则，还需要斜边对应相等，即添加AF=CE时，
在Rt△ABF和Rt△CDE中：
$\{\begin{array}{l}AF=CE \\BF=DE\end{array} $
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）。
【答案】
AF=CE
【知识点】
1. HL判定全等
2. 线段和差计算
3. 垂直的定义
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定的应用，解题核心是先梳理出已有的相等边和直角，再结合HL的判定条件确定缺失的相等条件，需注意HL仅适用于直角三角形的全等判定，要区分开HL和一般三角形全等判定的差异。
【难度系数】
0.8
首先明确“HL”判定定理的内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。解题时先梳理已知条件：由垂直定义可得两个三角形都是直角三角形，再根据BE=DF，结合线段和差可推导出一组直角边BF=DE，此时要满足HL判定要求，只需补充两个直角三角形的斜边相等的条件即可。
【解析】
解：
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABF=∠CDE=90°，即Rt△ABF和Rt△CDE均为直角三角形。
∵BE=DF，
∴BE+BD=DF+BD，即BF=DE。
根据“HL”判定直角三角形全等的规则，还需要斜边对应相等，即添加AF=CE时，
在Rt△ABF和Rt△CDE中：
$\{\begin{array}{l}AF=CE \\BF=DE\end{array} $
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）。
【答案】
AF=CE
【知识点】
1. HL判定全等
2. 线段和差计算
3. 垂直的定义
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定的应用，解题核心是先梳理出已有的相等边和直角，再结合HL的判定条件确定缺失的相等条件，需注意HL仅适用于直角三角形的全等判定，要区分开HL和一般三角形全等判定的差异。
【难度系数】
0.8
3.如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD。求证：Rt△BFD≌Rt△ACD。
答案
证明：
∵AD为△ABC的高，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BFD和△ACD都是直角三角形。
在Rt△BFD和Rt△ACD中，
$\{\begin{array}{l} BF=AC \\ FD=CD \end{array} $
∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）。
∵AD为△ABC的高，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BFD和△ACD都是直角三角形。
在Rt△BFD和Rt△ACD中，
$\{\begin{array}{l} BF=AC \\ FD=CD \end{array} $
∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）。
解析
【分析】
要证明两个直角三角形全等，首先需先确定待证三角形为直角三角形，再结合已知边的相等条件匹配对应的全等判定定理。首先由AD是△ABC的高，可得△BFD和△ACD都是直角三角形；再观察已知条件，给出了斜边BF=AC、直角边FD=CD，刚好符合直角三角形全等的HL判定定理的条件，按规范步骤书写证明即可。
【解析】
证明：
∵AD为△ABC的高，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BFD和△ACD都是直角三角形。
在Rt△BFD和Rt△ACD中，
$\{\begin{array}{l} BF=AC \\ FD=CD \end{array} $
∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）。
【答案】
证明：
∵AD为△ABC的高，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BFD和△ACD都是直角三角形。
在Rt△BFD和Rt△ACD中，
$\{\begin{array}{l} BF=AC \\ FD=CD \end{array} $
∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）。
【知识点】
三角形高的性质；直角三角形全等判定（HL）
【点评】
本题是基础的全等证明类题目，解题核心是先利用三角形高的性质得到直角，确认待证三角形为直角三角形，再结合已知的边相等条件套用HL判定定理即可，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.85
要证明两个直角三角形全等，首先需先确定待证三角形为直角三角形，再结合已知边的相等条件匹配对应的全等判定定理。首先由AD是△ABC的高，可得△BFD和△ACD都是直角三角形；再观察已知条件，给出了斜边BF=AC、直角边FD=CD，刚好符合直角三角形全等的HL判定定理的条件，按规范步骤书写证明即可。
【解析】
证明：
∵AD为△ABC的高，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BFD和△ACD都是直角三角形。
在Rt△BFD和Rt△ACD中，
$\{\begin{array}{l} BF=AC \\ FD=CD \end{array} $
∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）。
【答案】
证明：
∵AD为△ABC的高，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BFD和△ACD都是直角三角形。
在Rt△BFD和Rt△ACD中，
$\{\begin{array}{l} BF=AC \\ FD=CD \end{array} $
∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）。
【知识点】
三角形高的性质；直角三角形全等判定（HL）
【点评】
本题是基础的全等证明类题目，解题核心是先利用三角形高的性质得到直角，确认待证三角形为直角三角形，再结合已知的边相等条件套用HL判定定理即可，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.85
4.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是 （
A.一锐角和斜边对应相等
B.两条直角边对应相等
C.斜边和一直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
D
）A.一锐角和斜边对应相等
B.两条直角边对应相等
C.斜边和一直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先要明确：判定三角形全等必须有至少一组边对应相等，直角三角形除可适用普通三角形的SSS、SAS、ASA、AAS全等判定定理外，还有专属的HL判定定理，且直角三角形自带直角相等的隐含条件。我们只需逐一验证每个选项是否符合全等判定条件，即可选出不能判定全等的选项。
【解析】
直角三角形隐含两个直角相等的条件，结合全等判定规则逐一分析选项：
1. 选项A：一锐角和斜边对应相等，加上直角相等，满足AAS全等判定定理，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
2. 选项B：两条直角边对应相等，加上直角相等，满足SAS全等判定定理，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
3. 选项C：斜边和一直角边对应相等，符合直角三角形专属的HL判定定理，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
4. 选项D：两个锐角对应相等，加上直角相等，仅能得到三组角对应相等，没有对应边相等的条件，只能说明两个三角形形状相似，无法保证大小相等，因此不能判定全等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形全等判定、全等三角形判定定理、全等的概念
【点评】
本题是全等判定的基础题，需注意普通三角形的全等判定规则同样适用于直角三角形，判定全等必须有边的参与，仅角对应相等无法判定全等，解题时不要忽略直角相等的隐含条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：判定三角形全等必须有至少一组边对应相等，直角三角形除可适用普通三角形的SSS、SAS、ASA、AAS全等判定定理外，还有专属的HL判定定理，且直角三角形自带直角相等的隐含条件。我们只需逐一验证每个选项是否符合全等判定条件，即可选出不能判定全等的选项。
【解析】
直角三角形隐含两个直角相等的条件，结合全等判定规则逐一分析选项：
1. 选项A：一锐角和斜边对应相等，加上直角相等，满足AAS全等判定定理，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
2. 选项B：两条直角边对应相等，加上直角相等，满足SAS全等判定定理，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
3. 选项C：斜边和一直角边对应相等，符合直角三角形专属的HL判定定理，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
4. 选项D：两个锐角对应相等，加上直角相等，仅能得到三组角对应相等，没有对应边相等的条件，只能说明两个三角形形状相似，无法保证大小相等，因此不能判定全等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形全等判定、全等三角形判定定理、全等的概念
【点评】
本题是全等判定的基础题，需注意普通三角形的全等判定规则同样适用于直角三角形，判定全等必须有边的参与，仅角对应相等无法判定全等，解题时不要忽略直角相等的隐含条件。
【难度系数】
0.8
5.如图，$AC=BC$，$AE=CD$，$AE⊥ CE$于点$E$，$BD⊥ CD$于点$D$，$AE=7$，$BD=2$，则$DE$的长是（
A.2
B.5
C.7
D.9
B
）A.2
B.5
C.7
D.9
答案
5.B
解析
【分析】
首先观察到图中有两个直角三角形△AEC和△CDB，已知两条边对应相等（AC=BC、AE=CD），可先利用HL判定定理证明这两个直角三角形全等；再根据全等三角形对应边相等的性质，得到CE与BD、CD与AE的数量关系，最后通过线段的和差关系计算DE的长度。
【解析】
∵$AE⊥CE$，$BD⊥CD$，
∴$∠ E=∠ D=90°$，即$△ AEC$和$△ CDB$均为直角三角形。
在$Rt△ AEC$和$Rt△ CDB$中，
$\begin{cases}AC=CB \\AE=CD\end{cases}$
∴$Rt△ AEC≌ Rt△ CDB$（HL），
∴$CE=BD=2$，$CD=AE=7$，
∴$DE=CD-CE=7-2=5$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，解题的核心是先识别直角三角形，再结合已知的边相等条件证明全等，最后利用全等的性质转化线段长度求解，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察到图中有两个直角三角形△AEC和△CDB，已知两条边对应相等（AC=BC、AE=CD），可先利用HL判定定理证明这两个直角三角形全等；再根据全等三角形对应边相等的性质，得到CE与BD、CD与AE的数量关系，最后通过线段的和差关系计算DE的长度。
【解析】
∵$AE⊥CE$，$BD⊥CD$，
∴$∠ E=∠ D=90°$，即$△ AEC$和$△ CDB$均为直角三角形。
在$Rt△ AEC$和$Rt△ CDB$中，
$\begin{cases}AC=CB \\AE=CD\end{cases}$
∴$Rt△ AEC≌ Rt△ CDB$（HL），
∴$CE=BD=2$，$CD=AE=7$，
∴$DE=CD-CE=7-2=5$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，解题的核心是先识别直角三角形，再结合已知的边相等条件证明全等，最后利用全等的性质转化线段长度求解，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6.如图，已知AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高.如果AD=AF，AC=AE.求证:BC=BE.
答案
证明：
∵AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，
∴∠D=∠F=90°。
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF \\AC=AE\end{array} $
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL），
∴DC=FE。
在Rt△ADB和Rt△AFB中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF \\AB=AB\end{array} $
∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL），
∴DB=FB。
∴DB - DC = FB - FE，
即BC=BE。
∵AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，
∴∠D=∠F=90°。
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF \\AC=AE\end{array} $
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL），
∴DC=FE。
在Rt△ADB和Rt△AFB中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF \\AB=AB\end{array} $
∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL），
∴DB=FB。
∴DB - DC = FB - FE，
即BC=BE。
解析
【分析】
要证明BC=BE，观察图形可得BC=DB-DC，BE=FB-FE，因此只需证明DB=FB、DC=FE即可。已知AD、AF是两个钝角三角形的高，可得相关三角形均为直角三角形，结合给出的边相等的条件，可通过直角三角形全等的HL定理分别证明两组直角三角形全等，得到对应边相等后，通过线段差的关系即可推导得出结论。
【解析】
证明：
∵AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，
∴∠D=∠F=90°。
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF \\AC=AE\end{array} $
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL），
∴DC=FE。
在Rt△ADB和Rt△AFB中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF \\AB=AB\end{array} $
∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL），
∴DB=FB。
∴DB - DC = FB - FE，
即BC=BE。
【答案】
证明过程见解析，可证得BC=BE。
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形的性质，线段和差运算
【点评】
本题是全等三角形应用的典型基础题，核心考查直角三角形的HL判定定理及全等三角形对应边相等的性质，解题时需两次证明直角三角形全等，再结合线段的差的关系推导待证结论，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8
要证明BC=BE，观察图形可得BC=DB-DC，BE=FB-FE，因此只需证明DB=FB、DC=FE即可。已知AD、AF是两个钝角三角形的高，可得相关三角形均为直角三角形，结合给出的边相等的条件，可通过直角三角形全等的HL定理分别证明两组直角三角形全等，得到对应边相等后，通过线段差的关系即可推导得出结论。
【解析】
证明：
∵AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，
∴∠D=∠F=90°。
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF \\AC=AE\end{array} $
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL），
∴DC=FE。
在Rt△ADB和Rt△AFB中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF \\AB=AB\end{array} $
∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL），
∴DB=FB。
∴DB - DC = FB - FE，
即BC=BE。
【答案】
证明过程见解析，可证得BC=BE。
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形的性质，线段和差运算
【点评】
本题是全等三角形应用的典型基础题，核心考查直角三角形的HL判定定理及全等三角形对应边相等的性质，解题时需两次证明直角三角形全等，再结合线段的差的关系推导待证结论，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8
7.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,E是AB上一点,且$BE=BC$,过点E作$DE⊥ AB$交AC于点D,连接BD.若$AC=3\ \mathrm{cm}$,则$AD+DE=$ 
(
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
(B
)A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
答案
7.B
解析
【分析】
要计算AD+DE的长度，可通过全等三角形将DE转化为与之相等的线段，从而将所求线段和转化为已知长度的线段。首先观察图形，DE⊥AB得∠DEB=90°，结合已知∠C=90°、BE=BC、BD为公共边，可先证Rt△BCD和Rt△BED全等，再利用全等性质得到CD=DE，即可将AD+DE转化为AC的长度，直接代入已知条件求解。
【解析】
∵ DE⊥AB，∠ACB=90°
∴ ∠DEB=∠C=90°，即△BCD和△BED均为直角三角形
在Rt△BCD和Rt△BED中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD \quad (\mathrm{公共边}) \\BC=BE \quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴ Rt△BCD≌Rt△BED（HL）
∴ CD=DE（全等三角形对应边相等）
∴ AD+DE=AD+CD=AC
∵ AC=3 cm
∴ AD+DE=3 cm
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形全等的HL判定
2. 全等三角形的性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础应用，核心是通过全等三角形实现线段的等量转化，将分散的未知线段和转化为已知长度的整段线段，解题时要注意挖掘图形中的公共边、公共角等隐含条件。
【难度系数】
0.75
要计算AD+DE的长度，可通过全等三角形将DE转化为与之相等的线段，从而将所求线段和转化为已知长度的线段。首先观察图形，DE⊥AB得∠DEB=90°，结合已知∠C=90°、BE=BC、BD为公共边，可先证Rt△BCD和Rt△BED全等，再利用全等性质得到CD=DE，即可将AD+DE转化为AC的长度，直接代入已知条件求解。
【解析】
∵ DE⊥AB，∠ACB=90°
∴ ∠DEB=∠C=90°，即△BCD和△BED均为直角三角形
在Rt△BCD和Rt△BED中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD \quad (\mathrm{公共边}) \\BC=BE \quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴ Rt△BCD≌Rt△BED（HL）
∴ CD=DE（全等三角形对应边相等）
∴ AD+DE=AD+CD=AC
∵ AC=3 cm
∴ AD+DE=3 cm
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形全等的HL判定
2. 全等三角形的性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础应用，核心是通过全等三角形实现线段的等量转化，将分散的未知线段和转化为已知长度的整段线段，解题时要注意挖掘图形中的公共边、公共角等隐含条件。
【难度系数】
0.75
