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1 在活动1的(1)中，两个两位数95×95的积为9025.如果我们将题目中的条件改为“两个两位数的十位上的数都是8，个位上的数的和等于10”，即81×89，82×88，…，89×81，其中积最大的是（
A.81×89
B.84×86
C.85×85
D.89×81
C
）A.81×89
B.84×86
C.85×85
D.89×81
答案
1. C
解析
【分析】
本题是求固定特征的两个两位数乘积的最大值，我们可以通过建立二次函数模型求解：首先设其中一个数的个位数字为未知数，用含未知数的代数式表示出两个两位数，再写出乘积的表达式，最后利用二次函数求最值的方法得到乘积最大时对应的x值，即可确定答案。也可结合“两个正数和为定值时，两数越接近乘积越大”的规律直接判断。
【解析】
设其中一个两位数的个位数字为x（x是1到9的正整数），则另一个两位数的个位数字为10-x，
因此两个两位数分别为：80+x，80+(10-x)=90-x，
两数的乘积为：
$\begin{aligned}y&=(80+x)(90-x)\\&=-x^2+10x+7200\end{aligned}$
这是开口向下的二次函数，其对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，
因此当x=5时，乘积y取得最大值，此时两个两位数均为80+5=85，即乘积最大的是85×85。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；整式的乘法；代数式表示
【点评】
本题既可以通过建立二次函数模型求解最值，也可以通过数字规律快速判断，能很好地考查学生的建模能力和对数字运算规律的掌握情况。
【难度系数】
0.7
本题是求固定特征的两个两位数乘积的最大值，我们可以通过建立二次函数模型求解：首先设其中一个数的个位数字为未知数，用含未知数的代数式表示出两个两位数，再写出乘积的表达式，最后利用二次函数求最值的方法得到乘积最大时对应的x值，即可确定答案。也可结合“两个正数和为定值时，两数越接近乘积越大”的规律直接判断。
【解析】
设其中一个两位数的个位数字为x（x是1到9的正整数），则另一个两位数的个位数字为10-x，
因此两个两位数分别为：80+x，80+(10-x)=90-x，
两数的乘积为：
$\begin{aligned}y&=(80+x)(90-x)\\&=-x^2+10x+7200\end{aligned}$
这是开口向下的二次函数，其对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，
因此当x=5时，乘积y取得最大值，此时两个两位数均为80+5=85，即乘积最大的是85×85。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；整式的乘法；代数式表示
【点评】
本题既可以通过建立二次函数模型求解最值，也可以通过数字规律快速判断，能很好地考查学生的建模能力和对数字运算规律的掌握情况。
【难度系数】
0.7
2 在活动1的(1)中,第一个乘数的个位数字为x,则第二个乘数的个位数字为10−x.请将积y表示为x的函数:
y=(90+x)(100−x)
.当x=5
时,积y取得最大值.答案
2. y=(90+x)(100−x) 5
解析
【分析】
解题第一步需先明确两个乘数的完整表达式：结合题干活动背景可知两个乘数十位均为9，第一个乘数个位为x，因此第一个乘数可表示为90+x；第二个乘数个位为10−x，因此第二个乘数可表示为90+(10−x)=100−x，两个乘数的乘积即为y关于x的函数。第二步求最值，得到的函数是开口向下的二次函数，在对称轴处取得最大值，利用二次函数对称轴公式即可求出对应x的值。
【解析】
1. 列函数表达式：
已知两个乘数十位均为9，第一个乘数个位为x，故第一个乘数为$9×10 + x = 90+x$；
第二个乘数个位为$10-x$，故第二个乘数为$9×10 + (10-x) = 100-x$；
因此积$y=(90+x)(100-x)$。
2. 求y取最大值时的x值：
将函数展开得$y=-x^2 +10x +9000$，这是二次函数，其中$a=-1＜0$，抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值。
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=10$，得$x=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，即x=5时，y取得最大值。
【答案】
$y=(90+x)(100−x)$；5
【知识点】
列代数式；二次函数解析式；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的实际应用，需要结合题意先列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解最值，是二次函数应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题第一步需先明确两个乘数的完整表达式：结合题干活动背景可知两个乘数十位均为9，第一个乘数个位为x，因此第一个乘数可表示为90+x；第二个乘数个位为10−x，因此第二个乘数可表示为90+(10−x)=100−x，两个乘数的乘积即为y关于x的函数。第二步求最值，得到的函数是开口向下的二次函数，在对称轴处取得最大值，利用二次函数对称轴公式即可求出对应x的值。
【解析】
1. 列函数表达式：
已知两个乘数十位均为9，第一个乘数个位为x，故第一个乘数为$9×10 + x = 90+x$；
第二个乘数个位为$10-x$，故第二个乘数为$9×10 + (10-x) = 100-x$；
因此积$y=(90+x)(100-x)$。
2. 求y取最大值时的x值：
将函数展开得$y=-x^2 +10x +9000$，这是二次函数，其中$a=-1＜0$，抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值。
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=10$，得$x=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，即x=5时，y取得最大值。
【答案】
$y=(90+x)(100−x)$；5
【知识点】
列代数式；二次函数解析式；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的实际应用，需要结合题意先列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解最值，是二次函数应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3 根据活动1的规律，若有两个四位数，千位上的数都是9，其余各位组成的数的和等于1000.这两个四位数分别为9abc和9def，要使它们的乘积最大，这两个四位数的其余各位组成的数abc和def应该满足的关系是
相等(或abc=def=500)
.答案
3. 相等(或abc=def=500)
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，将两个四位数用含abc、def的代数式表示，即9abc=9000+abc，9def=9000+def；其次，结合已知abc+def=1000，可计算得两个四位数的和为定值19000；最后，根据“两个正数的和为定值时，两数相等时乘积最大”的规律，或通过二次函数求最值的方法，即可推导出abc和def的关系。
【解析】
设$ m = abc $，$ n = def $，由题意得：
$ m + n = 1000 $，两个四位数分别为$ A = 9000 + m $，$ B = 9000 + n $
则两数之和为：$ A + B = 9000 + m + 9000 + n = 18000 + (m + n) = 18000 + 1000 = 19000 $，为定值。
要使$ A × B $最大，根据和定积最大的规律：两个正数和为定值时，两数相等时乘积最大，因此有$ A = B $，即：
$ 9000 + m = 9000 + n $，化简得$ m = n $
结合$ m + n = 1000 $，可得$ m = n = 500 $，即$ abc = def = 500 $
【答案】
相等(或abc=def=500)
【知识点】
和定积最大原理；二次函数求最值；代数式表示数
【点评】
本题是代数最值规律的典型应用，解题的核心是将两个四位数转化为变量表达式，把陌生问题转化为熟悉的“和定求积最大值”的模型，掌握相关最值规律就能快速得出结论。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先，将两个四位数用含abc、def的代数式表示，即9abc=9000+abc，9def=9000+def；其次，结合已知abc+def=1000，可计算得两个四位数的和为定值19000；最后，根据“两个正数的和为定值时，两数相等时乘积最大”的规律，或通过二次函数求最值的方法，即可推导出abc和def的关系。
【解析】
设$ m = abc $，$ n = def $，由题意得：
$ m + n = 1000 $，两个四位数分别为$ A = 9000 + m $，$ B = 9000 + n $
则两数之和为：$ A + B = 9000 + m + 9000 + n = 18000 + (m + n) = 18000 + 1000 = 19000 $，为定值。
要使$ A × B $最大，根据和定积最大的规律：两个正数和为定值时，两数相等时乘积最大，因此有$ A = B $，即：
$ 9000 + m = 9000 + n $，化简得$ m = n $
结合$ m + n = 1000 $，可得$ m = n = 500 $，即$ abc = def = 500 $
【答案】
相等(或abc=def=500)
【知识点】
和定积最大原理；二次函数求最值；代数式表示数
【点评】
本题是代数最值规律的典型应用，解题的核心是将两个四位数转化为变量表达式，把陌生问题转化为熟悉的“和定求积最大值”的模型，掌握相关最值规律就能快速得出结论。
【难度系数】
0.7
4 在活动1中，我们发现了“和定积最大”的规律。请利用二次函数的知识解决下面的问题：
已知两个正数a和b，满足$a + b = 2k$（k为常数）。
（1）求证：这两个正数的积ab的最大值为$k^2$；
（2）利用上述结论，求代数式$x(10 - 2x)$的最大值，并求出此时x的值。
已知两个正数a和b，满足$a + b = 2k$（k为常数）。
（1）求证：这两个正数的积ab的最大值为$k^2$；
（2）利用上述结论，求代数式$x(10 - 2x)$的最大值，并求出此时x的值。
答案
4.（1）由题意，得$b=2k−a$.设积为y，则$y=ab=a(2k−a)=−a^2+2ka$.其图象开口向下.当$a=-\frac{2k}{2×(-1)}=k$时，y取得最大值.此时$b=2k−k=k$,即$a=b=k$.
∴ab的最大值为$k^2$ （2）对于$x(10−2x)$,提取2,得$2[x(5−x)]$.括号内x与$(5−x)$的和为5(定值).根据(1)中的结论,当$x=5−x$,即$x=2.5$时,$x(5−x)$取得最大值,最大值为$2.5×2.5=6.25$.
∴原代数式的最大值为$2×6.25=12.5$.
∴当$x=2.5$时,代数式取得最大值12.5
∴ab的最大值为$k^2$ （2）对于$x(10−2x)$,提取2,得$2[x(5−x)]$.括号内x与$(5−x)$的和为5(定值).根据(1)中的结论,当$x=5−x$,即$x=2.5$时,$x(5−x)$取得最大值,最大值为$2.5×2.5=6.25$.
∴原代数式的最大值为$2×6.25=12.5$.
∴当$x=2.5$时,代数式取得最大值12.5
解析
【分析】
（1）要证明ab的最大值为$k^2$，可先利用已知条件$a+b=2k$将b用含a的代数式表示，把ab转化为关于a的二次函数，结合二次函数开口方向，用顶点坐标公式求最大值即可完成证明。
（2）求代数式$x(10-2x)$的最值时，先对代数式变形，提取公因式后凑出两个和为定值的因式相乘的形式，再直接套用第（1）问推导的“和定积最大”结论，即可快速求出最大值和对应的x的值。
【解析】
（1）证明：由$a+b=2k$可得$b=2k-a$。
设两个正数的积为$y$，则$y=ab=a(2k-a)=-a^2+2ka$。
该二次函数二次项系数为$-1＜0$，图象开口向下，存在最大值。
当$a=-\frac{2k}{2×(-1)}=k$时，$y$取得最大值，此时$b=2k-k=k$，即$a=b=k$。
代入得$y_{\mathrm{最大值}}=k× k=k^2$，故ab的最大值为$k^2$。
（2）解：对代数式$x(10-2x)$变形，提取公因式2得：
$x(10-2x)=2[x(5-x)]$
括号内$x$与$(5-x)$的和为$x+(5-x)=5$，为定值。
根据（1）的结论，当$x=5-x$时，$x(5-x)$取得最大值，解得$x=2.5$。
此时$x(5-x)$的最大值为$2.5×2.5=6.25$，因此原代数式的最大值为$2×6.25=12.5$。
【答案】
（1）ab的最大值为$k^2$，得证；
（2）代数式最大值为$12.5$，此时$x=2.5$。
【知识点】
二次函数最值，和定积最大规律，代数式最值求解
【点评】
本题结合二次函数性质与代数最值规律考查，解题核心是通过变量替换将乘积问题转化为二次函数最值问题，或利用已推导的规律简化计算，能帮助学生理解最值问题的转化思想。
【难度系数】
0.7
（1）要证明ab的最大值为$k^2$，可先利用已知条件$a+b=2k$将b用含a的代数式表示，把ab转化为关于a的二次函数，结合二次函数开口方向，用顶点坐标公式求最大值即可完成证明。
（2）求代数式$x(10-2x)$的最值时，先对代数式变形，提取公因式后凑出两个和为定值的因式相乘的形式，再直接套用第（1）问推导的“和定积最大”结论，即可快速求出最大值和对应的x的值。
【解析】
（1）证明：由$a+b=2k$可得$b=2k-a$。
设两个正数的积为$y$，则$y=ab=a(2k-a)=-a^2+2ka$。
该二次函数二次项系数为$-1＜0$，图象开口向下，存在最大值。
当$a=-\frac{2k}{2×(-1)}=k$时，$y$取得最大值，此时$b=2k-k=k$，即$a=b=k$。
代入得$y_{\mathrm{最大值}}=k× k=k^2$，故ab的最大值为$k^2$。
（2）解：对代数式$x(10-2x)$变形，提取公因式2得：
$x(10-2x)=2[x(5-x)]$
括号内$x$与$(5-x)$的和为$x+(5-x)=5$，为定值。
根据（1）的结论，当$x=5-x$时，$x(5-x)$取得最大值，解得$x=2.5$。
此时$x(5-x)$的最大值为$2.5×2.5=6.25$，因此原代数式的最大值为$2×6.25=12.5$。
【答案】
（1）ab的最大值为$k^2$，得证；
（2）代数式最大值为$12.5$，此时$x=2.5$。
【知识点】
二次函数最值，和定积最大规律，代数式最值求解
【点评】
本题结合二次函数性质与代数最值规律考查，解题核心是通过变量替换将乘积问题转化为二次函数最值问题，或利用已推导的规律简化计算，能帮助学生理解最值问题的转化思想。
【难度系数】
0.7
5 若刹车距离$y(\mathrm{m})$与车速$x(\mathrm{km/h})$的关系为$y=0.008x^2$，当测得刹车距离为45 m时，估算车速为（
A.65 km/h
B.75 km/h
C.85 km/h
D.95 km/h
B
）A.65 km/h
B.75 km/h
C.85 km/h
D.95 km/h
答案
5. B
解析
【分析】
这道题是二次函数在实际生活中的应用问题，已知刹车距离y的值，要求对应的车速x，解题思路为：首先将已知的刹车距离代入给出的二次函数关系式，得到关于x的一元二次方程；再结合车速为正数的实际意义，求解方程得到x的取值，对应选项选择即可。
【解析】
将刹车距离$y=45$代入函数关系式$y=0.008x^2$，可得：
$45=0.008x^2$
方程两边同时除以$0.008$，得：
$x^2=45÷0.008=5625$
由于车速$x$为正数，因此取算术平方根：
$x=\sqrt{5625}=75$
即车速为75 km/h。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用、解一元二次方程
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的基础应用，解题核心是掌握已知函数值求自变量的运算方法，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.8
这道题是二次函数在实际生活中的应用问题，已知刹车距离y的值，要求对应的车速x，解题思路为：首先将已知的刹车距离代入给出的二次函数关系式，得到关于x的一元二次方程；再结合车速为正数的实际意义，求解方程得到x的取值，对应选项选择即可。
【解析】
将刹车距离$y=45$代入函数关系式$y=0.008x^2$，可得：
$45=0.008x^2$
方程两边同时除以$0.008$，得：
$x^2=45÷0.008=5625$
由于车速$x$为正数，因此取算术平方根：
$x=\sqrt{5625}=75$
即车速为75 km/h。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用、解一元二次方程
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的基础应用，解题核心是掌握已知函数值求自变量的运算方法，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.8
6 在活动 2 中,假设刹车距离$s$（m）与车速$v$（km/h）满足二次函数关系$s=av^2 + bv$.根据表格数据,当车速为 40 km/h 时,刹车距离为 17 m;当车速为 80 km/h 时,刹车距离为52.8 m.粗略估算,当车速为 60 km/h 时,刹车距离在
27.9
m到35.3
m之间(填表格中相邻的两个数据对应的距离).答案
6. 27.9 35.3
解析
【分析】
解题思路如下：1. 题目给出了刹车距离s与车速v的二次函数关系，且已知两组v、s的对应值，首先将两组数值代入函数式，得到关于系数a、b的二元一次方程组；2. 求解方程组得到a、b的取值，确定二次函数的具体解析式；3. 将v=60km/h代入解析式，算出对应的刹车距离；4. 对照表格中相邻的刹车距离数据，确定计算结果所在的区间。
【解析】
将已知条件代入二次函数$s=av^2 + bv$，可得方程组：
$\begin{cases}17 = a×40^2 + b×40 \\52.8 = a×80^2 + b×80 \end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}1600a + 40b = 17 \quad \mathrm{①} \\6400a + 80b = 52.8 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
将①式两边同乘2，得$3200a + 80b = 34 \quad \mathrm{③}$
用②式减③式，得$3200a = 18.8$，解得$a=0.005875$
把$a=0.005875$代入①式，得$1600×0.005875 + 40b =17$，计算得$9.4 + 40b =17$，解得$b=0.19$
因此二次函数解析式为$s=0.005875v^2 + 0.19v$
当$v=60$时，代入解析式得：
$s=0.005875×60^2 + 0.19×60 = 21.15 + 11.4 = 32.55$
对比表格中相邻的刹车距离数据，可知32.55m介于27.9m和35.3m之间。
【答案】
27.9；35.3
【知识点】
二次函数的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题结合生活中的刹车距离场景考查函数知识的综合运用，解题核心是先利用已知数据确定函数解析式，再代入待求车速得到刹车距离后判断所属区间，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 题目给出了刹车距离s与车速v的二次函数关系，且已知两组v、s的对应值，首先将两组数值代入函数式，得到关于系数a、b的二元一次方程组；2. 求解方程组得到a、b的取值，确定二次函数的具体解析式；3. 将v=60km/h代入解析式，算出对应的刹车距离；4. 对照表格中相邻的刹车距离数据，确定计算结果所在的区间。
【解析】
将已知条件代入二次函数$s=av^2 + bv$，可得方程组：
$\begin{cases}17 = a×40^2 + b×40 \\52.8 = a×80^2 + b×80 \end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}1600a + 40b = 17 \quad \mathrm{①} \\6400a + 80b = 52.8 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
将①式两边同乘2，得$3200a + 80b = 34 \quad \mathrm{③}$
用②式减③式，得$3200a = 18.8$，解得$a=0.005875$
把$a=0.005875$代入①式，得$1600×0.005875 + 40b =17$，计算得$9.4 + 40b =17$，解得$b=0.19$
因此二次函数解析式为$s=0.005875v^2 + 0.19v$
当$v=60$时，代入解析式得：
$s=0.005875×60^2 + 0.19×60 = 21.15 + 11.4 = 32.55$
对比表格中相邻的刹车距离数据，可知32.55m介于27.9m和35.3m之间。
【答案】
27.9；35.3
【知识点】
二次函数的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题结合生活中的刹车距离场景考查函数知识的综合运用，解题核心是先利用已知数据确定函数解析式，再代入待求车速得到刹车距离后判断所属区间，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
7 某汽车在测试刹车性能时，测得一组数据如下表(数据基于活动2的简化模型)：
(1) 请根据表中数据，写出$s$与$v$之间的函数解析式；
(2) 当车速为$50\ \mathrm{km/h}$时，求刹车距离。
(1) 请根据表中数据，写出$s$与$v$之间的函数解析式；
(2) 当车速为$50\ \mathrm{km/h}$时，求刹车距离。
答案
7.（1）观察数据可知$1=1^2,4=2^2,9=3^2,16=4^2$,即当$v=10$时,$s=1^2$,当$v=20$时,$s=2^2$,$\dots$.设$s=av^2$,将$(10,1)$代入,得$1=a×100$,解得$a=0.01$.验证:$0.01×20^2=4$,符合.
∴函数解析式为$s=0.01v^2$ （2）当$v=50$时,$s=0.01×50^2=0.01×2500=25$,
∴刹车距离为25 m
∴函数解析式为$s=0.01v^2$ （2）当$v=50$时,$s=0.01×50^2=0.01×2500=25$,
∴刹车距离为25 m
解析
【分析】
要解决这道题，首先观察表格中的数据规律：车速v为10、20、30、40时，对应的刹车距离s为1、4、9、16，可发现s的值恰好是$(\frac{v}{10})^2$，说明s与v的平方成正比例关系，因此可以设二次函数解析式为$s=av^2$，再用待定系数法代入已知数据求出系数a，最后验证其余数据是否符合解析式，即可得到正确的函数关系。第二问求车速为50km/h的刹车距离，只需将v=50代入已求出的解析式，计算对应的s值即可。
【解析】
(1) 观察表格数据可知s与v的平方成正比，设函数解析式为$s=av^2$（a为常数，$a≠0$）。
将$v=10$，$s=1$代入解析式，得：
$1=a×10^2$
解得$a=0.01$。
验证：当$v=20$时，$s=0.01×20^2=4$，符合表格数据；当$v=30$时，$s=0.01×30^2=9$，符合；当$v=40$时，$s=0.01×40^2=16$，符合。
因此s与v的函数解析式为$s=0.01v^2$。
(2) 当$v=50\ \mathrm{km/h}$时，代入解析式$s=0.01v^2$得：
$s=0.01×50^2=0.01×2500=25$
即此时刹车距离为25 m。
【答案】
(1) $s=0.01v^2$；(2) $25\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的应用，函数值计算
【点评】
本题结合实际刹车场景考查函数模型的建立与应用，解题核心是通过观察表格数据规律确定函数类型，再用待定系数法求出解析式后代入求值，属于基础的函数应用类题目。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先观察表格中的数据规律：车速v为10、20、30、40时，对应的刹车距离s为1、4、9、16，可发现s的值恰好是$(\frac{v}{10})^2$，说明s与v的平方成正比例关系，因此可以设二次函数解析式为$s=av^2$，再用待定系数法代入已知数据求出系数a，最后验证其余数据是否符合解析式，即可得到正确的函数关系。第二问求车速为50km/h的刹车距离，只需将v=50代入已求出的解析式，计算对应的s值即可。
【解析】
(1) 观察表格数据可知s与v的平方成正比，设函数解析式为$s=av^2$（a为常数，$a≠0$）。
将$v=10$，$s=1$代入解析式，得：
$1=a×10^2$
解得$a=0.01$。
验证：当$v=20$时，$s=0.01×20^2=4$，符合表格数据；当$v=30$时，$s=0.01×30^2=9$，符合；当$v=40$时，$s=0.01×40^2=16$，符合。
因此s与v的函数解析式为$s=0.01v^2$。
(2) 当$v=50\ \mathrm{km/h}$时，代入解析式$s=0.01v^2$得：
$s=0.01×50^2=0.01×2500=25$
即此时刹车距离为25 m。
【答案】
(1) $s=0.01v^2$；(2) $25\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的应用，函数值计算
【点评】
本题结合实际刹车场景考查函数模型的建立与应用，解题核心是通过观察表格数据规律确定函数类型，再用待定系数法求出解析式后代入求值，属于基础的函数应用类题目。
【难度系数】
0.8
