登录
1 若一种服装的销售利润$y$(万元)与销售数量$x$(万件)之间的函数解析式为$y=-2x^2 +4x +5$，则销售利润最大为（
A.5万元
B.7万元
C.8万元
D.6万元
B
）A.5万元
B.7万元
C.8万元
D.6万元
答案
B
解析
【分析】
本题要求销售利润的最大值，本质是求二次函数的最大值。首先观察二次函数解析式的二次项系数，a=-2＜0，说明抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，我们可以通过配方法将函数化为顶点式直接得到最大值，也可以利用顶点纵坐标公式计算最值，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
我们用配方法求解，步骤如下：
将函数解析式配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-2x^2+4x+5\\&=-2(x^2-2x)+5\\&=-2(x^2-2x+1-1)+5\\&=-2[(x-1)^2-1]+5\\&=-2(x-1)^2+2+5\\&=-2(x-1)^2+7\end{aligned}$
因为$-2＜0$，所以当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为7万元，对应选项B。
也可使用顶点纵坐标公式验证：对于$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-2,b=4,c=5$，可得$y_{max}=\frac{4×(-2)×5-4^2}{4×(-2)}=7$，结果一致。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际利润问题中的基础应用，核心考查二次函数最值的求解方法，熟练掌握配方法或顶点坐标公式是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题要求销售利润的最大值，本质是求二次函数的最大值。首先观察二次函数解析式的二次项系数，a=-2＜0，说明抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，我们可以通过配方法将函数化为顶点式直接得到最大值，也可以利用顶点纵坐标公式计算最值，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
我们用配方法求解，步骤如下：
将函数解析式配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-2x^2+4x+5\\&=-2(x^2-2x)+5\\&=-2(x^2-2x+1-1)+5\\&=-2[(x-1)^2-1]+5\\&=-2(x-1)^2+2+5\\&=-2(x-1)^2+7\end{aligned}$
因为$-2＜0$，所以当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为7万元，对应选项B。
也可使用顶点纵坐标公式验证：对于$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-2,b=4,c=5$，可得$y_{max}=\frac{4×(-2)×5-4^2}{4×(-2)}=7$，结果一致。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际利润问题中的基础应用，核心考查二次函数最值的求解方法，熟练掌握配方法或顶点坐标公式是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
2 教材变式题 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件.经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么销售单价定为
11
元时，才能使每天所获销售利润最大.答案
11
解析
【分析】
要解决销售利润最大的问题，首先需明确销售利润的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量。我们可以先设销售单价为未知数，分别表示出单件利润和对应销售量，进而构建总利润关于销售单价的二次函数，再利用二次函数的最值性质求解即可，注意要验证自变量取值符合实际意义（销售量不能为负）。
【解析】
设销售单价定为$x$元，每天所获销售利润为$y$元。
1. 计算单件利润：每件进价为8元，因此单件利润为$(x - 8)$元。
2. 计算销售量：已知售价为9元时销量20件，售价每提高1元销量减少4件，因此售价为$x$元时，销量减少$4(x - 9)$件，实际销量为：
$20 - 4(x - 9) = 56 - 4x$（件）
3. 构建利润函数：
$y = (x - 8)(56 - 4x)$
展开整理得：
$y = -4x^2 + 88x - 448$
这是开口向下的二次函数，其顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{88}{2×(-4)} = 11$
验证：此时销量为$56 - 4×11 = 12＞0$，符合实际意义。
【答案】
11
【知识点】
销售利润计算、二次函数解析式构建、二次函数最值求法
【点评】
本题是利用二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题的关键是找准数量关系正确列出函数解析式，求解后要注意结合实际场景验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
要解决销售利润最大的问题，首先需明确销售利润的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量。我们可以先设销售单价为未知数，分别表示出单件利润和对应销售量，进而构建总利润关于销售单价的二次函数，再利用二次函数的最值性质求解即可，注意要验证自变量取值符合实际意义（销售量不能为负）。
【解析】
设销售单价定为$x$元，每天所获销售利润为$y$元。
1. 计算单件利润：每件进价为8元，因此单件利润为$(x - 8)$元。
2. 计算销售量：已知售价为9元时销量20件，售价每提高1元销量减少4件，因此售价为$x$元时，销量减少$4(x - 9)$件，实际销量为：
$20 - 4(x - 9) = 56 - 4x$（件）
3. 构建利润函数：
$y = (x - 8)(56 - 4x)$
展开整理得：
$y = -4x^2 + 88x - 448$
这是开口向下的二次函数，其顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{88}{2×(-4)} = 11$
验证：此时销量为$56 - 4×11 = 12＞0$，符合实际意义。
【答案】
11
【知识点】
销售利润计算、二次函数解析式构建、二次函数最值求法
【点评】
本题是利用二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题的关键是找准数量关系正确列出函数解析式，求解后要注意结合实际场景验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
3 新情境 传统文化 [2024 内江]端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒贵20元,某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与用3000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价52元时,可售出180盒;每盒售价每提高1元时,就少售出10盒.
(1) 求猪肉粽、豆沙粽每盒的进价;
(2) 设猪肉粽每盒售价 x 元$(52 ≤ x ≤ 70)$, y(单位:元)表示该商家销售猪肉粽的利润,求 y 关于 x 的函数解析式并求出 y 的最大值.
(1) 求猪肉粽、豆沙粽每盒的进价;
(2) 设猪肉粽每盒售价 x 元$(52 ≤ x ≤ 70)$, y(单位:元)表示该商家销售猪肉粽的利润,求 y 关于 x 的函数解析式并求出 y 的最大值.
答案
(1) 设猪肉粽每盒的进价为a元,则豆沙粽每盒的进价为$(a-20)$元. 根据题意,得$\frac{5000}{a}=\frac{3000}{a-20}$,解得$a=50$. 经检验,$a=50$是所列方程的解,此时$a-20=30$.
∴ 猪肉粽每盒的进价为50元,豆沙粽每盒的进价为30元
(2) 由题意,得当$x=52$时,每天可售出180盒,当猪肉粽每盒售价x元$(52≤ x≤70)$时,每天可售出$[180-10(x-52)]$盒,$\therefore y=(x-50)[180-10(x-52)]=(x-50)(-10x+700)=-10x^2+1200x-35000=-10(x-60)^2+1000$. $\because -10＜0,52≤ x≤70$,
∴ 当$x=60$时,y取最大值,最大值为1000.
∴ y关于x的函数解析式为$y=-10x^2+1200x-35000(52≤ x≤70)$,且y的最大值为1000
∴ 猪肉粽每盒的进价为50元,豆沙粽每盒的进价为30元
(2) 由题意,得当$x=52$时,每天可售出180盒,当猪肉粽每盒售价x元$(52≤ x≤70)$时,每天可售出$[180-10(x-52)]$盒,$\therefore y=(x-50)[180-10(x-52)]=(x-50)(-10x+700)=-10x^2+1200x-35000=-10(x-60)^2+1000$. $\because -10＜0,52≤ x≤70$,
∴ 当$x=60$时,y取最大值,最大值为1000.
∴ y关于x的函数解析式为$y=-10x^2+1200x-35000(52≤ x≤70)$,且y的最大值为1000
解析
【分析】
(1) 第一问为分式方程应用题，核心等量关系为：5000元购进猪肉粽的盒数=3000元购进豆沙粽的盒数。设猪肉粽每盒进价为a元，根据“猪肉粽进价比豆沙粽贵20元”可得豆沙粽进价为(a-20)元，再结合“数量=总价÷单价”分别表示两种粽子的购进数量，列分式方程求解即可，注意分式方程必须检验根是否符合实际意义。
(2) 第二问是二次函数利润最值问题，核心公式为：总利润=每盒利润×销售数量。首先表示售价为x元时的销售量：售价52元时销量180盒，每涨1元少卖10盒，因此售价x元时销量为[180-10(x-52)]盒；每盒利润为(x-进价50)元，两者相乘得到y关于x的函数解析式，再结合二次函数开口方向和自变量取值范围[52,70]即可求出最大值。
【解析】
(1) 设猪肉粽每盒的进价为$a$元，则豆沙粽每盒的进价为$(a-20)$元。
根据题意列方程：
$\frac{5000}{a}=\frac{3000}{a-20}$
交叉相乘化简得：$5(a-20)=3a$
解得$a=50$。
检验：当$a=50$时，$a(a-20)=50×30=1500≠0$，因此$a=50$是原方程的解，且符合实际意义。
此时豆沙粽进价为$a-20=50-20=30$（元）。
(2) 当猪肉粽每盒售价为$x$元$(52≤x≤70)$时：
每盒利润为$(x-50)$元，
销售量为$180-10(x-52)=700-10x$盒，
因此总利润$y=(x-50)(700-10x)$
展开配方得：$y=-10x^2+1200x-35000=-10(x-60)^2+1000$。
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=60$在$52≤x≤70$范围内，
$\therefore$当$x=60$时，$y$取最大值，最大值为1000元。
【答案】
(1) 猪肉粽每盒的进价为50元，豆沙粽每盒的进价为30元；
(2) $y$关于$x$的函数解析式为$y=-10x^2+1200x-35000(52≤x≤70)$，$y$的最大值为1000元。
【知识点】
分式方程的应用；二次函数利润问题；二次函数最值求解
【点评】
本题结合端午节传统习俗创设情境，贴近生活，综合考查了分式方程和二次函数的实际应用，解题关键是找准数量间的等量关系，正确列出方程和函数表达式，要注意分式方程必须验根，求二次函数最值时需结合自变量的取值范围判断。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为分式方程应用题，核心等量关系为：5000元购进猪肉粽的盒数=3000元购进豆沙粽的盒数。设猪肉粽每盒进价为a元，根据“猪肉粽进价比豆沙粽贵20元”可得豆沙粽进价为(a-20)元，再结合“数量=总价÷单价”分别表示两种粽子的购进数量，列分式方程求解即可，注意分式方程必须检验根是否符合实际意义。
(2) 第二问是二次函数利润最值问题，核心公式为：总利润=每盒利润×销售数量。首先表示售价为x元时的销售量：售价52元时销量180盒，每涨1元少卖10盒，因此售价x元时销量为[180-10(x-52)]盒；每盒利润为(x-进价50)元，两者相乘得到y关于x的函数解析式，再结合二次函数开口方向和自变量取值范围[52,70]即可求出最大值。
【解析】
(1) 设猪肉粽每盒的进价为$a$元，则豆沙粽每盒的进价为$(a-20)$元。
根据题意列方程：
$\frac{5000}{a}=\frac{3000}{a-20}$
交叉相乘化简得：$5(a-20)=3a$
解得$a=50$。
检验：当$a=50$时，$a(a-20)=50×30=1500≠0$，因此$a=50$是原方程的解，且符合实际意义。
此时豆沙粽进价为$a-20=50-20=30$（元）。
(2) 当猪肉粽每盒售价为$x$元$(52≤x≤70)$时：
每盒利润为$(x-50)$元，
销售量为$180-10(x-52)=700-10x$盒，
因此总利润$y=(x-50)(700-10x)$
展开配方得：$y=-10x^2+1200x-35000=-10(x-60)^2+1000$。
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=60$在$52≤x≤70$范围内，
$\therefore$当$x=60$时，$y$取最大值，最大值为1000元。
【答案】
(1) 猪肉粽每盒的进价为50元，豆沙粽每盒的进价为30元；
(2) $y$关于$x$的函数解析式为$y=-10x^2+1200x-35000(52≤x≤70)$，$y$的最大值为1000元。
【知识点】
分式方程的应用；二次函数利润问题；二次函数最值求解
【点评】
本题结合端午节传统习俗创设情境，贴近生活，综合考查了分式方程和二次函数的实际应用，解题关键是找准数量间的等量关系，正确列出方程和函数表达式，要注意分式方程必须验根，求二次函数最值时需结合自变量的取值范围判断。
【难度系数】
0.7
4 新情境市场营销 某超市销售某种进价为15元/千克的水果，若按20元/千克销售，每天可卖出300千克；若售价每提高1元/千克，每天的销售量就减少10千克。设售价为x元/千克，每天的营业额为y元，则下列关于y的说法正确的是（
A.最大值为6 250
B.最大值为4 000
C.最小值为6 250
D.最小值为4 000
A
）A.最大值为6 250
B.最大值为4 000
C.最小值为6 250
D.最小值为4 000
答案
A
解析
【分析】
这是二次函数在实际销售问题中的应用题型，解题思路如下：首先明确营业额的计算公式为“营业额=售价×销售量”，先根据售价的变化规律求出销售量关于售价x的表达式，再代入公式得到y与x的函数关系式，最后结合二次函数的性质判断最值即可。
【解析】
首先计算销售量：已知售价为x元/千克时，相比20元/千克的售价上涨了$(x-20)$元，每涨1元销量减少10千克，因此减少的销量为$10(x-20)$千克，
则销售量 $= 300 - 10(x-20) = 500 - 10x$（千克）。
根据营业额公式可得：
$y = x(500 - 10x) = -10x^2 + 500x$
该式是关于x的二次函数，其中二次项系数$a=-10＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-10$，$b=500$，$c=0$：
$y_{max} = \frac{4×(-10)×0 - 500^2}{4×(-10)} = \frac{-250000}{-40} = 6250$
即y的最大值为6250。
【答案】
A
【知识点】
二次函数应用；二次函数最值计算；列函数表达式
【点评】
本题结合实际销售场景考查二次函数的应用，解题核心是准确梳理售价与销售量的对应关系，列出正确的函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，属于函数应用类常见题型。
【难度系数】
0.7
这是二次函数在实际销售问题中的应用题型，解题思路如下：首先明确营业额的计算公式为“营业额=售价×销售量”，先根据售价的变化规律求出销售量关于售价x的表达式，再代入公式得到y与x的函数关系式，最后结合二次函数的性质判断最值即可。
【解析】
首先计算销售量：已知售价为x元/千克时，相比20元/千克的售价上涨了$(x-20)$元，每涨1元销量减少10千克，因此减少的销量为$10(x-20)$千克，
则销售量 $= 300 - 10(x-20) = 500 - 10x$（千克）。
根据营业额公式可得：
$y = x(500 - 10x) = -10x^2 + 500x$
该式是关于x的二次函数，其中二次项系数$a=-10＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-10$，$b=500$，$c=0$：
$y_{max} = \frac{4×(-10)×0 - 500^2}{4×(-10)} = \frac{-250000}{-40} = 6250$
即y的最大值为6250。
【答案】
A
【知识点】
二次函数应用；二次函数最值计算；列函数表达式
【点评】
本题结合实际销售场景考查二次函数的应用，解题核心是准确梳理售价与销售量的对应关系，列出正确的函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，属于函数应用类常见题型。
【难度系数】
0.7
5 某书店销售一种教辅资料，若售价为20元/册，每天可卖出100册；若售价每降低1元/册，每天的销售量就增加10册。设售价降低x元后，每天的营业额为y元，当x=
5
时，y取得最大值。答案
5
解析
【分析】
解题核心是先明确营业额的计算关系：营业额=单册售价×销售量。首先根据题目给出的售价、销量变化规律，分别表示出降价x元后的单册售价和当日销售量，列出y关于x的函数关系式，再结合二次函数的开口方向和最值性质，即可求出y取最大值时对应的x值，注意最后要验证x的取值是否符合实际意义。
【解析】
1. 列函数解析式：
售价降低x元后，单册售价为$(20-x)$元，当日销售量为$(100+10x)$册，其中x的取值范围为$0≤ x＜20$（售价不能为负，降价金额不能为负）。
营业额$y=(20-x)(100+10x)$。
2. 化简解析式：
展开整理得：$y=-10x^2+100x+2000$，这是开口向下的二次函数，顶点处y取得最大值。
3. 求最值对应的x：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=-10$，$b=100$，代入得：
$x=-\frac{100}{2×(-10)}=5$，5在取值范围$0≤ x＜20$内，符合要求。
【答案】
5
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值的基础题型，解题关键是找准数量关系正确列出二次函数解析式，再结合二次函数性质求解，注意所得自变量的值要符合实际场景的限制。
【难度系数】
0.7
解题核心是先明确营业额的计算关系：营业额=单册售价×销售量。首先根据题目给出的售价、销量变化规律，分别表示出降价x元后的单册售价和当日销售量，列出y关于x的函数关系式，再结合二次函数的开口方向和最值性质，即可求出y取最大值时对应的x值，注意最后要验证x的取值是否符合实际意义。
【解析】
1. 列函数解析式：
售价降低x元后，单册售价为$(20-x)$元，当日销售量为$(100+10x)$册，其中x的取值范围为$0≤ x＜20$（售价不能为负，降价金额不能为负）。
营业额$y=(20-x)(100+10x)$。
2. 化简解析式：
展开整理得：$y=-10x^2+100x+2000$，这是开口向下的二次函数，顶点处y取得最大值。
3. 求最值对应的x：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=-10$，$b=100$，代入得：
$x=-\frac{100}{2×(-10)}=5$，5在取值范围$0≤ x＜20$内，符合要求。
【答案】
5
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值的基础题型，解题关键是找准数量关系正确列出二次函数解析式，再结合二次函数性质求解，注意所得自变量的值要符合实际场景的限制。
【难度系数】
0.7
6 某商场销售一款进价为 30 元/件的服装，售价为 $ x $ 元/件时，每天可卖出$ (240 - 2x) $件. 求：
（1）每天的营业额 $ y $（元）与售价 $ x $（元/件）之间的函数解析式；
（2）（1）中所得函数的最大值，并说明此时的售价和每天的营业额情况.
（1）每天的营业额 $ y $（元）与售价 $ x $（元/件）之间的函数解析式；
（2）（1）中所得函数的最大值，并说明此时的售价和每天的营业额情况.
答案
(1) $y=-2x^2+240x$
(2) $\because y=-2x^2+240x=-2(x-60)^2+7200$,
∴ 当售价为60元/件时,每天的营业额取得最大值,为7200元
(2) $\because y=-2x^2+240x=-2(x-60)^2+7200$,
∴ 当售价为60元/件时,每天的营业额取得最大值,为7200元
解析
【分析】
（1）求解营业额与售价的函数解析式，首先要明确营业额的基本计算公式：营业额=每件商品售价×销售数量。题目已经给出售价为x元/件时的日销量为(240-2x)件，将两个量相乘化简即可得到函数式，同时要注意售价x需符合实际意义：售价高于进价30元，且销售量为正数，即240-2x＞0。
（2）求二次函数的最大值时，先观察第一问得到的函数，二次项系数为-2＜0，说明抛物线开口向下，顶点位置就是函数的最大值点。用九年级所学的配方法将一般式转化为顶点式，就能直接得到对应最大值的售价和最大营业额，最后验证该售价是否符合实际取值范围即可。
【解析】
（1）根据营业额的计算公式可得：
$y = x(240 - 2x)$
展开化简后得到：$y = -2x^2 + 240x$
结合实际意义，x的取值范围为$30 ＜ x ＜ 120$。
（2）用配方法将函数转化为顶点式：
$y = -2x^2 + 240x$
$= -2(x^2 - 120x)$
$= -2(x^2 - 120x + 3600 - 3600)$
$= -2(x - 60)^2 + 7200$
因为二次项系数$-2 ＜ 0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，且$x=60$在$30 ＜ x ＜ 120$的合理范围内，因此当$x=60$时，y取最大值7200。
【答案】
(1) $y=-2x^2+240x$
(2) 函数的最大值为7200元，此时售价为60元/件，每天的营业额为7200元
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数最值、列函数解析式
【点评】
本题是销售类问题的基础题型，解题核心是掌握营业额的计算逻辑，熟练运用配方法求解二次函数最值，同时要注意验证计算结果是否符合实际场景的取值要求，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.8
（1）求解营业额与售价的函数解析式，首先要明确营业额的基本计算公式：营业额=每件商品售价×销售数量。题目已经给出售价为x元/件时的日销量为(240-2x)件，将两个量相乘化简即可得到函数式，同时要注意售价x需符合实际意义：售价高于进价30元，且销售量为正数，即240-2x＞0。
（2）求二次函数的最大值时，先观察第一问得到的函数，二次项系数为-2＜0，说明抛物线开口向下，顶点位置就是函数的最大值点。用九年级所学的配方法将一般式转化为顶点式，就能直接得到对应最大值的售价和最大营业额，最后验证该售价是否符合实际取值范围即可。
【解析】
（1）根据营业额的计算公式可得：
$y = x(240 - 2x)$
展开化简后得到：$y = -2x^2 + 240x$
结合实际意义，x的取值范围为$30 ＜ x ＜ 120$。
（2）用配方法将函数转化为顶点式：
$y = -2x^2 + 240x$
$= -2(x^2 - 120x)$
$= -2(x^2 - 120x + 3600 - 3600)$
$= -2(x - 60)^2 + 7200$
因为二次项系数$-2 ＜ 0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，且$x=60$在$30 ＜ x ＜ 120$的合理范围内，因此当$x=60$时，y取最大值7200。
【答案】
(1) $y=-2x^2+240x$
(2) 函数的最大值为7200元，此时售价为60元/件，每天的营业额为7200元
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数最值、列函数解析式
【点评】
本题是销售类问题的基础题型，解题核心是掌握营业额的计算逻辑，熟练运用配方法求解二次函数最值，同时要注意验证计算结果是否符合实际场景的取值要求，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.8
7 教材变式题 某民俗旅游村为接待游客住宿，开设了有100张床位的旅馆.若每张床位每天收费10元，则床位可全部租出；若每张床位每天的收费每提高2元，则相应减少10张床位的租出.如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（
A.14元
B.15元
C.16元
D.18元
C
）A.14元
B.15元
C.16元
D.18元
答案
C
解析
【分析】
这是一道二次函数求最优解的实际应用题，解题思路如下：首先根据题意设定变量，将每张床位的收费、租出的床位数用含变量的代数式表示，再根据“总租金=每张床位收费×租出床位数”列出二次函数关系式；接着结合二次函数的性质求最值，注意变量x需为非负整数的实际限制；最后结合题目“租出的床位少且租金高”的要求，在租金相同的情况下选择床位租出更少的对应收费即可。
【解析】
设每张床位每天提高x个2元的单位（x为非负整数），每天总租金为y元。
根据题意可得：
每张床位每天收费为$(10 + 2x)$元，每天可租出的床位数为$(100 - 10x)$张
因此总租金：
$\begin{aligned}y&=(10+2x)(100-10x)\\&=-20x^2 + 100x + 1000\end{aligned}$
这是开口向下的二次函数，其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-20)}=2.5$
因为x为整数，所以当x=2或x=3时，y取得最大值：
当x=2时，床位收费为$10+2×2=14$元，租出床位$100-10×2=80$张，总租金为$14×80=1120$元
当x=3时，床位收费为$10+2×3=16$元，租出床位$100-10×3=70$张，总租金为$16×70=1120$元
题目要求租出的床位少且租金高，因此选择x=3的情况，即每张床位每天收费16元。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；最优方案选择
【点评】
本题需要结合实际意义确定自变量的取值范围，求出最大值后还要结合题干的附加要求筛选最终方案，易错点是忽略“租出床位少”的要求，误选租金相同但租出床位更多的14元选项。
【难度系数】
0.7
这是一道二次函数求最优解的实际应用题，解题思路如下：首先根据题意设定变量，将每张床位的收费、租出的床位数用含变量的代数式表示，再根据“总租金=每张床位收费×租出床位数”列出二次函数关系式；接着结合二次函数的性质求最值，注意变量x需为非负整数的实际限制；最后结合题目“租出的床位少且租金高”的要求，在租金相同的情况下选择床位租出更少的对应收费即可。
【解析】
设每张床位每天提高x个2元的单位（x为非负整数），每天总租金为y元。
根据题意可得：
每张床位每天收费为$(10 + 2x)$元，每天可租出的床位数为$(100 - 10x)$张
因此总租金：
$\begin{aligned}y&=(10+2x)(100-10x)\\&=-20x^2 + 100x + 1000\end{aligned}$
这是开口向下的二次函数，其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-20)}=2.5$
因为x为整数，所以当x=2或x=3时，y取得最大值：
当x=2时，床位收费为$10+2×2=14$元，租出床位$100-10×2=80$张，总租金为$14×80=1120$元
当x=3时，床位收费为$10+2×3=16$元，租出床位$100-10×3=70$张，总租金为$16×70=1120$元
题目要求租出的床位少且租金高，因此选择x=3的情况，即每张床位每天收费16元。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；最优方案选择
【点评】
本题需要结合实际意义确定自变量的取值范围，求出最大值后还要结合题干的附加要求筛选最终方案，易错点是忽略“租出床位少”的要求，误选租金相同但租出床位更多的14元选项。
【难度系数】
0.7
