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8 某服装店销售一批衣服，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，尽快减少库存，该服装店决定采取适当的降价措施.经市场调查发现，每件衣服每降价1元，该服装店平均每天可多售出2件，则每件衣服降价
15
元时，该服装店每天盈利最多.答案
15
解析
【分析】
解决这类利润最值问题，首先要牢记总盈利的核心等量关系：总盈利=单件盈利×销售总数量。我们可以设每件衣服降价x元，先分别表示出降价后的单件盈利、每日总销售量，再列出总盈利关于x的函数关系式，所得函数为二次函数，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用二次函数顶点横坐标公式即可求出盈利最多时的降价金额。
【解析】
设每件衣服降价x元，服装店每天总盈利为y元。
降价后每件衣服的盈利为$(40 - x)$元，
每降价1元多售2件，降价x元后每日销售量为$(20 + 2x)$件，
根据总盈利公式可得：
$y=(40 - x)(20 + 2x)$
展开整理得：
$y=-2x^2 + 60x + 800$
该函数为二次函数，其中$a=-2＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-2$，$b=60$得：
$x=-\frac{60}{2×(-2)}=15$
经检验，$x=15$符合实际意义，此时销售量更大，满足尽快减少库存的要求。
【答案】
15
【知识点】
二次函数的应用；利润问题计算；二次函数求最值
【点评】
本题是实际生活中常见的利润最值问题，核心考查学生利用二次函数解决实际问题的能力，解题的关键是找准数量关系，正确列出函数解析式，再结合二次函数的性质求解，同时要注意验证结果是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
解决这类利润最值问题，首先要牢记总盈利的核心等量关系：总盈利=单件盈利×销售总数量。我们可以设每件衣服降价x元，先分别表示出降价后的单件盈利、每日总销售量，再列出总盈利关于x的函数关系式，所得函数为二次函数，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用二次函数顶点横坐标公式即可求出盈利最多时的降价金额。
【解析】
设每件衣服降价x元，服装店每天总盈利为y元。
降价后每件衣服的盈利为$(40 - x)$元，
每降价1元多售2件，降价x元后每日销售量为$(20 + 2x)$件，
根据总盈利公式可得：
$y=(40 - x)(20 + 2x)$
展开整理得：
$y=-2x^2 + 60x + 800$
该函数为二次函数，其中$a=-2＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-2$，$b=60$得：
$x=-\frac{60}{2×(-2)}=15$
经检验，$x=15$符合实际意义，此时销售量更大，满足尽快减少库存的要求。
【答案】
15
【知识点】
二次函数的应用；利润问题计算；二次函数求最值
【点评】
本题是实际生活中常见的利润最值问题，核心考查学生利用二次函数解决实际问题的能力，解题的关键是找准数量关系，正确列出函数解析式，再结合二次函数的性质求解，同时要注意验证结果是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
9 随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富，为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下表：
| 时 间 | 第一天 | 第二天 | 第三天 | 第四天 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| x/元 | 15 |
| 25 | 30 |
| y/袋 | 25 | 20 | 15 | 10 |
试销售和正常销售期间，日销量与每袋售价的一次函数关系相同。
（1）求日销量y（袋）关于每袋售价x（元）的函数解析式。
（2）每袋售价定为多少元，才能使该土特产每日销售的利润最大？请求出最大利润。
| 时 间 | 第一天 | 第二天 | 第三天 | 第四天 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| x/元 | 15 |
| 25 | 30 || y/袋 | 25 | 20 | 15 | 10 |
试销售和正常销售期间，日销量与每袋售价的一次函数关系相同。
（1）求日销量y（袋）关于每袋售价x（元）的函数解析式。
（2）每袋售价定为多少元，才能使该土特产每日销售的利润最大？请求出最大利润。
答案
(1) 依题意,设$y=kx+b$. 由表中数据,得$\begin{cases}25=15k+b,\\20=20k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=40.\end{cases}$ $\therefore y=-x+40$
(2) 设每日销售的利润为W元. 依题意,得$W=(x-10)(-x+40)=-x^2+50x-400=-(x-25)^2+225$. $\because -1＜0$,
∴ 当$x=25$时,W取最大值,最大值为225.
∴ 每袋售价定为25元,才能使该土特产每日销售的利润最大,最大利润为225元
(2) 设每日销售的利润为W元. 依题意,得$W=(x-10)(-x+40)=-x^2+50x-400=-(x-25)^2+225$. $\because -1＜0$,
∴ 当$x=25$时,W取最大值,最大值为225.
∴ 每袋售价定为25元,才能使该土特产每日销售的利润最大,最大利润为225元
解析
【分析】
（1）题目已知日销量y是每袋售价x的一次函数，所以使用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$），从表格中选取两组对应的x、y值代入得到二元一次方程组，解方程组求出k、b的取值，再验证剩余数据符合该解析式即可。
（2）根据“每日总利润=单袋利润×日销量”的等量关系列函数式：单袋利润为售价减去成本，即$(x-10)$元，日销量为（1）中所求的y，据此列出利润W关于x的二次函数，再结合二次函数的性质，因为二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处即为利润最大值点，通过配方法求出最值和对应的售价即可。
【解析】
（1）设日销量y关于每袋售价x的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
选取表格中$x=15,y=25$和$x=20,y=20$两组数据代入，得：
$\begin{cases}15k + b = 25\\20k + b = 20\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$5k=-5$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$15k + b =25$，得$-15+b=25$，解得$b=40$，
验证剩余两组$x=25、x=30$均满足该式，$\therefore y=-x+40$。
（2）设每日销售利润为W元，
单袋利润为$(x-10)$元，日销量为$y=-x+40$袋，因此：
$W=(x-10)(-x+40)$
展开得$W=-x^2+50x-400$，
配方得$W=-(x-25)^2+225$，
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=25$时，W取最大值，最大值为225。
【答案】
（1）$y=-x+40$
（2）每袋售价定为25元时每日销售利润最大，最大利润为225元
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数的最值
【点评】
本题结合乡村振兴的实际背景命题，将函数知识和生活场景结合，解题核心是找准等量关系列出对应函数表达式，再结合函数性质求解，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）题目已知日销量y是每袋售价x的一次函数，所以使用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$），从表格中选取两组对应的x、y值代入得到二元一次方程组，解方程组求出k、b的取值，再验证剩余数据符合该解析式即可。
（2）根据“每日总利润=单袋利润×日销量”的等量关系列函数式：单袋利润为售价减去成本，即$(x-10)$元，日销量为（1）中所求的y，据此列出利润W关于x的二次函数，再结合二次函数的性质，因为二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处即为利润最大值点，通过配方法求出最值和对应的售价即可。
【解析】
（1）设日销量y关于每袋售价x的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
选取表格中$x=15,y=25$和$x=20,y=20$两组数据代入，得：
$\begin{cases}15k + b = 25\\20k + b = 20\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$5k=-5$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$15k + b =25$，得$-15+b=25$，解得$b=40$，
验证剩余两组$x=25、x=30$均满足该式，$\therefore y=-x+40$。
（2）设每日销售利润为W元，
单袋利润为$(x-10)$元，日销量为$y=-x+40$袋，因此：
$W=(x-10)(-x+40)$
展开得$W=-x^2+50x-400$，
配方得$W=-(x-25)^2+225$，
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=25$时，W取最大值，最大值为225。
【答案】
（1）$y=-x+40$
（2）每袋售价定为25元时每日销售利润最大，最大利润为225元
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数的最值
【点评】
本题结合乡村振兴的实际背景命题，将函数知识和生活场景结合，解题核心是找准等量关系列出对应函数表达式，再结合函数性质求解，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
10 某水果店销售一款进口水果，进价为50元/千克，按60元/千克销售，每天卖出100千克，售价每提高1元/千克，每天的销售量减少1千克.设售价为x元/千克.
（1）每天的销售量为多少千克（用含x的代数式表示）？
（2）求每天的营业额y（元）与x（元/千克）之间的函数解析式（写成一般式）.
（3）若该水果的售价不低于60元/千克且不高于80元/千克，求每天营业额的最大值.
（1）每天的销售量为多少千克（用含x的代数式表示）？
（2）求每天的营业额y（元）与x（元/千克）之间的函数解析式（写成一般式）.
（3）若该水果的售价不低于60元/千克且不高于80元/千克，求每天营业额的最大值.
答案
(1) 当售价为x元/千克时,每天的销售量为$100-(x-60)=(160-x)$千克
(2) $y=-x^2+160x$
(3) $\because -1＜0$,
∴ 抛物线开口向下,对称轴为直线$x=80$. $\because 60≤ x≤80$,
∴ 当$x=80$时,y取得最大值,为$y=-80^2+160×80=6400$.
∴ 每天营业额的最大值为6400元
(2) $y=-x^2+160x$
(3) $\because -1＜0$,
∴ 抛物线开口向下,对称轴为直线$x=80$. $\because 60≤ x≤80$,
∴ 当$x=80$时,y取得最大值,为$y=-80^2+160×80=6400$.
∴ 每天营业额的最大值为6400元
解析
【分析】
（1）要得到每天的销售量，首先明确售价变化对销量的影响：原售价60元时销量100千克，售价每涨1元销量减少1千克。当售价为x元时，相比原价上涨了$(x-60)$元，因此减少的销量为$(x-60)$千克，用原销量减去减少的销量即可得到总销量的代数式。
（2）营业额的计算公式为“营业额=售价×销售量”，将售价x和第（1）问得到的销售量代入公式，展开整理为二次函数的一般式即可。
（3）求给定范围内二次函数的最值，首先根据二次项系数判断抛物线开口方向，再求出对称轴，结合x的取值范围$60≤x≤80$，判断函数在该区间内的增减性，进而找到使y取最大值的x值，代入计算即可得到最大营业额。
【解析】
（1）当售价为x元/千克时，相比原价60元/千克，售价提高了$(x-60)$元，因此销售量减少$(x-60)$千克。
则每天的销售量为：$100-(x-60)=160-x$（千克）
（2）根据营业额=单价×销售量，可得：
$y=x(160-x)=-x^2+160x$
即y与x的函数解析式为$y=-x^2+160x$
（3）对于二次函数$y=-x^2+160x$，
∵二次项系数$-1＜0$，
∴抛物线开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{160}{2×(-1)}=80$，
已知售价的取值范围为$60≤x≤80$，在该区间内y随x的增大而增大，
因此当$x=80$时，y取得最大值，
代入得：$y=-80^2+160×80=-6400+12800=6400$（元）
【答案】
（1）$\boxed{160-x}$千克；
（2）$\boxed{y=-x^2+160x}$；
（3）$\boxed{6400}$元
【知识点】
列代数式；二次函数解析式；二次函数最值应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用问题，解题的核心是理清售价、销售量、营业额三者之间的数量关系，在求最值时要注意结合自变量的实际取值范围判断最值点，避免直接套用顶点坐标忽略定义域的错误。
【难度系数】
0.7
（1）要得到每天的销售量，首先明确售价变化对销量的影响：原售价60元时销量100千克，售价每涨1元销量减少1千克。当售价为x元时，相比原价上涨了$(x-60)$元，因此减少的销量为$(x-60)$千克，用原销量减去减少的销量即可得到总销量的代数式。
（2）营业额的计算公式为“营业额=售价×销售量”，将售价x和第（1）问得到的销售量代入公式，展开整理为二次函数的一般式即可。
（3）求给定范围内二次函数的最值，首先根据二次项系数判断抛物线开口方向，再求出对称轴，结合x的取值范围$60≤x≤80$，判断函数在该区间内的增减性，进而找到使y取最大值的x值，代入计算即可得到最大营业额。
【解析】
（1）当售价为x元/千克时，相比原价60元/千克，售价提高了$(x-60)$元，因此销售量减少$(x-60)$千克。
则每天的销售量为：$100-(x-60)=160-x$（千克）
（2）根据营业额=单价×销售量，可得：
$y=x(160-x)=-x^2+160x$
即y与x的函数解析式为$y=-x^2+160x$
（3）对于二次函数$y=-x^2+160x$，
∵二次项系数$-1＜0$，
∴抛物线开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{160}{2×(-1)}=80$，
已知售价的取值范围为$60≤x≤80$，在该区间内y随x的增大而增大，
因此当$x=80$时，y取得最大值，
代入得：$y=-80^2+160×80=-6400+12800=6400$（元）
【答案】
（1）$\boxed{160-x}$千克；
（2）$\boxed{y=-x^2+160x}$；
（3）$\boxed{6400}$元
【知识点】
列代数式；二次函数解析式；二次函数最值应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用问题，解题的核心是理清售价、销售量、营业额三者之间的数量关系，在求最值时要注意结合自变量的实际取值范围判断最值点，避免直接套用顶点坐标忽略定义域的错误。
【难度系数】
0.7
