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5 [2025 连云港]如图,在$△ ABC$中,$BC=7$,AB 的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC 的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则$△ AEG$的周长为 (
A.5
B.6
C.7
D.8
C
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案
5. C
解析
【分析】
首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。要求△AEG的周长，即求AE+EG+AG的和，我们可以利用垂直平分线的性质，将AE、AG分别转化为BC边上的线段BE、GC，此时△AEG的周长就可以转化为BC的长度，直接代入已知BC的数值即可求解。
【解析】
∵ DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴ AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵ FG是AC的垂直平分线，点G在FG上
∴ AG = GC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△AEG的周长 = AE + EG + AG
将AE=BE、AG=GC代入上式，得：
△AEG的周长 = BE + EG + GC = BC
已知BC=7，因此△AEG的周长为7。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质，将未知的三角形周长转化为已知的线段长度，这种转化思想在几何计算中十分常用。
【难度系数】
0.8
首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。要求△AEG的周长，即求AE+EG+AG的和，我们可以利用垂直平分线的性质，将AE、AG分别转化为BC边上的线段BE、GC，此时△AEG的周长就可以转化为BC的长度，直接代入已知BC的数值即可求解。
【解析】
∵ DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴ AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵ FG是AC的垂直平分线，点G在FG上
∴ AG = GC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△AEG的周长 = AE + EG + AG
将AE=BE、AG=GC代入上式，得：
△AEG的周长 = BE + EG + GC = BC
已知BC=7，因此△AEG的周长为7。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质，将未知的三角形周长转化为已知的线段长度，这种转化思想在几何计算中十分常用。
【难度系数】
0.8
6 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=76°$,边$AC$的垂直平分线交$BC$于点$D$,交$AC$于点$E$,连接$AD$.若$AB + BD = BC$,则$∠ C$的度数为________.
答案
6. $38°$
解析
【分析】
解题时首先观察到DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AD=CD，进而推出∠C=∠CAD；再结合BC的线段组成BC=BD+DC，和已知条件AB+BD=BC做等量代换，可推出AB=AD，得到等腰△ABD，根据等边对等角得∠ADB=∠B；最后利用三角形外角的性质，∠ADB是△ADC的外角，等于不相邻两个内角和，即∠ADB=2∠C，代入已知角度即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠C=∠CAD。
∵BC=BD+CD，且AB+BD=BC，
∴AB=CD，
又
∵AD=CD，
∴AB=AD，
∴∠ADB=∠B=76°。
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C，
∴2∠C=76°，
解得∠C=38°。
【答案】
$38°$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是通过线段的等量关系转化得到等腰三角形，再结合角度的数量关系求解，熟练掌握几何基础性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AD=CD，进而推出∠C=∠CAD；再结合BC的线段组成BC=BD+DC，和已知条件AB+BD=BC做等量代换，可推出AB=AD，得到等腰△ABD，根据等边对等角得∠ADB=∠B；最后利用三角形外角的性质，∠ADB是△ADC的外角，等于不相邻两个内角和，即∠ADB=2∠C，代入已知角度即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠C=∠CAD。
∵BC=BD+CD，且AB+BD=BC，
∴AB=CD，
又
∵AD=CD，
∴AB=AD，
∴∠ADB=∠B=76°。
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C，
∴2∠C=76°，
解得∠C=38°。
【答案】
$38°$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是通过线段的等量关系转化得到等腰三角形，再结合角度的数量关系求解，熟练掌握几何基础性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
7 如图,射线AM平分∠BAC,BC边的垂直平分线l分别交AC,BC,AM于点E,F,G.
(1)尺规作图:作BC的垂直平分线l,并标出点E,F,G(保留作图痕迹,不写作法);
(2)连接BE,若∠AGE＝∠C,求证:AG垂直平分BE.
(1)尺规作图:作BC的垂直平分线l,并标出点E,F,G(保留作图痕迹,不写作法);
(2)连接BE,若∠AGE＝∠C,求证:AG垂直平分BE.
答案
7. (1) 如图,BC 的垂直平分线l,点 E,F,G 即为所求
(2) 设 BE 与 AM 交于点 D. $\because$ EF 是 BC 的垂直平分线，
$\therefore EB=EC,∠ GFM=90°.\therefore ∠ EBC=∠ C.\because ∠ AGE=∠ C$，
$\therefore ∠ EBC = ∠ AGE. \because ∠ GMF = ∠ BMD, \therefore ∠ BDM = ∠ GFM=90°. \therefore AG⊥ BE. \therefore ∠ BDA=∠ EDA=90°. \because AM$平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAD=∠ EAD. \because AD=AD,\therefore △ ABD≌△ AED. \therefore BD=ED. \therefore AG$ 垂直平分$BE$
解析
【分析】
(1) 本题考查尺规作线段的垂直平分线，操作思路为：分别以B、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}BC$的长度为半径画弧，两弧在BC上下方各形成一个交点，连接两个交点即可得到BC的垂直平分线$l$，再按要求标注交点E、F、G即可。
(2) 要证明AG垂直平分BE，需同时满足两个条件：一是$AG⊥ BE$，二是AG平分BE。首先利用线段垂直平分线的性质可得$EB=EC$，推出$∠ EBC=∠ C$，结合已知$∠ AGE=∠ C$等量代换得$∠ EBC=∠ AGE$；再通过对顶角相等，结合三角形内角和可推导得到$AG⊥ BE$；之后利用AM平分$∠ BAC$的条件，证明$△ ABD$和$△ AED$全等得到$BD=ED$，即可证明AG同时满足垂直、平分BE的要求，结论得证。
【解析】
(1) 按尺规作垂直平分线的规范操作，保留画弧的痕迹，作出直线$l$并标注E、F、G即可。
(2) 设BE与AM交于点D：
$\because$ 直线$l$是BC的垂直平分线，
$\therefore EB=EC$，$∠ GFM=90°$，
$\therefore ∠ EBC=∠ C$。
$\because ∠ AGE=∠ C$，
$\therefore ∠ EBC = ∠ AGE$。
又$\because ∠ GMF = ∠ BMD$（对顶角相等），
$\therefore ∠ BDM = ∠ GFM=90°$，即$AG⊥ BE$，
$\therefore ∠ BDA=∠ EDA=90°$。
$\because$ AM平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD=∠ EAD$。
在$△ ABD$和$△ AED$中：
$\begin{cases}∠ BAD=∠ EAD \\AD=AD \\∠ BDA=∠ EDA\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ AED$（ASA），
$\therefore BD=ED$。
又$\because AG⊥ BE$，
$\therefore AG$垂直平分$BE$。
【答案】
(1) 如图,BC 的垂直平分线l,点 E,F,G 即为所求
(2) 设 BE 与 AM 交于点 D. $\because$ EF 是 BC 的垂直平分线，
$\therefore EB=EC,∠ GFM=90°.\therefore ∠ EBC=∠ C.\because ∠ AGE=∠ C$，
$\therefore ∠ EBC = ∠ AGE. \because ∠ GMF = ∠ BMD, \therefore ∠ BDM = ∠ GFM=90°. \therefore AG⊥ BE. \therefore ∠ BDA=∠ EDA=90°. \because AM$平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAD=∠ EAD. \because AD=AD,\therefore △ ABD≌△ AED. \therefore BD=ED. \therefore AG$ 垂直平分$BE$
【知识点】
线段垂直平分线的性质与判定；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题结合尺规作图与几何证明，考查核心几何定理的应用能力，解题关键是紧扣垂直平分线的判定要求，通过角的等量代换推导垂直关系，再借助全等证明线段相等，整体逻辑清晰，侧重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7
(1) 本题考查尺规作线段的垂直平分线，操作思路为：分别以B、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}BC$的长度为半径画弧，两弧在BC上下方各形成一个交点，连接两个交点即可得到BC的垂直平分线$l$，再按要求标注交点E、F、G即可。
(2) 要证明AG垂直平分BE，需同时满足两个条件：一是$AG⊥ BE$，二是AG平分BE。首先利用线段垂直平分线的性质可得$EB=EC$，推出$∠ EBC=∠ C$，结合已知$∠ AGE=∠ C$等量代换得$∠ EBC=∠ AGE$；再通过对顶角相等，结合三角形内角和可推导得到$AG⊥ BE$；之后利用AM平分$∠ BAC$的条件，证明$△ ABD$和$△ AED$全等得到$BD=ED$，即可证明AG同时满足垂直、平分BE的要求，结论得证。
【解析】
(1) 按尺规作垂直平分线的规范操作，保留画弧的痕迹，作出直线$l$并标注E、F、G即可。
(2) 设BE与AM交于点D：
$\because$ 直线$l$是BC的垂直平分线，
$\therefore EB=EC$，$∠ GFM=90°$，
$\therefore ∠ EBC=∠ C$。
$\because ∠ AGE=∠ C$，
$\therefore ∠ EBC = ∠ AGE$。
又$\because ∠ GMF = ∠ BMD$（对顶角相等），
$\therefore ∠ BDM = ∠ GFM=90°$，即$AG⊥ BE$，
$\therefore ∠ BDA=∠ EDA=90°$。
$\because$ AM平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD=∠ EAD$。
在$△ ABD$和$△ AED$中：
$\begin{cases}∠ BAD=∠ EAD \\AD=AD \\∠ BDA=∠ EDA\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ AED$（ASA），
$\therefore BD=ED$。
又$\because AG⊥ BE$，
$\therefore AG$垂直平分$BE$。
【答案】
(1) 如图,BC 的垂直平分线l,点 E,F,G 即为所求
(2) 设 BE 与 AM 交于点 D. $\because$ EF 是 BC 的垂直平分线，
$\therefore EB=EC,∠ GFM=90°.\therefore ∠ EBC=∠ C.\because ∠ AGE=∠ C$，
$\therefore ∠ EBC = ∠ AGE. \because ∠ GMF = ∠ BMD, \therefore ∠ BDM = ∠ GFM=90°. \therefore AG⊥ BE. \therefore ∠ BDA=∠ EDA=90°. \because AM$平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAD=∠ EAD. \because AD=AD,\therefore △ ABD≌△ AED. \therefore BD=ED. \therefore AG$ 垂直平分$BE$
【知识点】
线段垂直平分线的性质与判定；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题结合尺规作图与几何证明，考查核心几何定理的应用能力，解题关键是紧扣垂直平分线的判定要求，通过角的等量代换推导垂直关系，再借助全等证明线段相等，整体逻辑清晰，侧重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7
8 已知点 A 的坐标为$(-5,3)$，点 A 与点 B 关于 x 轴对称，点 C 和点 B 关于 y 轴对称，则点 C 的坐标是
(5,-3)
。答案
8. $(5,-3)$
解析
【分析】
解题时先回忆平面直角坐标系中对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。解题分两步走：第一步先根据点A的坐标以及点A与点B的对称关系求出点B的坐标，第二步再根据点B与点C的对称关系求出点C的坐标即可。
【解析】
1. 求点B的坐标：
已知点A坐标为$(-5,3)$，点A与点B关于x轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的规律，可得点B的横坐标为$-5$，纵坐标为$3$的相反数$-3$，即点B的坐标为$(-5,-3)$。
2. 求点C的坐标：
已知点C和点B关于y轴对称，根据关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数的规律，可得点C的纵坐标为$-3$，横坐标为$-5$的相反数$5$，即点C的坐标为$(5,-3)$。
【答案】
$(5,-3)$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，核心考查平面直角坐标系中对称点的坐标变化规律，只要准确记忆两种对称对应的坐标变化规则，即可快速得出结果，做题时注意不要混淆两种对称的坐标变化特点。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆平面直角坐标系中对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。解题分两步走：第一步先根据点A的坐标以及点A与点B的对称关系求出点B的坐标，第二步再根据点B与点C的对称关系求出点C的坐标即可。
【解析】
1. 求点B的坐标：
已知点A坐标为$(-5,3)$，点A与点B关于x轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的规律，可得点B的横坐标为$-5$，纵坐标为$3$的相反数$-3$，即点B的坐标为$(-5,-3)$。
2. 求点C的坐标：
已知点C和点B关于y轴对称，根据关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数的规律，可得点C的纵坐标为$-3$，横坐标为$-5$的相反数$5$，即点C的坐标为$(5,-3)$。
【答案】
$(5,-3)$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，核心考查平面直角坐标系中对称点的坐标变化规律，只要准确记忆两种对称对应的坐标变化规则，即可快速得出结果，做题时注意不要混淆两种对称的坐标变化特点。
【难度系数】
0.9
9 如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$ 的顶点坐标分别为 $A(-2,4),B(4,2),C(2,-1)$。
（1）请画出 $△ ABC$ 关于 $x$ 轴对称的图形 $△ A_1B_1C_1$，其中点 $A,B,C$ 的对应点分别为 $A_1,B_1,C_1$；
（2）请写出点 $C(2,-1)$ 关于直线 $m$（直线 $m$ 上各点的横坐标都为 $-1$）对称的点 $C_2$ 的坐标。
（1）请画出 $△ ABC$ 关于 $x$ 轴对称的图形 $△ A_1B_1C_1$，其中点 $A,B,C$ 的对应点分别为 $A_1,B_1,C_1$；
（2）请写出点 $C(2,-1)$ 关于直线 $m$（直线 $m$ 上各点的横坐标都为 $-1$）对称的点 $C_2$ 的坐标。
答案
9. (1) 如图,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求
(2) 点 $C_2$ 的坐标为$(-4,-1)$
解析
【分析】
（1）要画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，首先需明确关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原坐标的相反数，据此先求出A、B、C三点的对称点坐标，再描点、顺次连线即可得到所求图形。
（2）直线m上各点横坐标都为-1，即直线m为x=-1，关于直线x=-1对称的点，纵坐标不变，两点的横坐标到直线x=-1的距离相等，据此计算即可得到C₂的坐标。
【解析】
（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：
点A(-2,4)的对称点A₁坐标为(-2,-4)，点B(4,2)的对称点B₁坐标为(4,-2)，点C(2,-1)的对称点C₁坐标为(2,1)。
在平面直角坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接这三个点，得到的△A₁B₁C₁即为所求图形。
（2）由题意可知直线m的解析式为x=-1，点C的横坐标为2，到直线x=-1的距离为$2 - (-1)=3$，因此对称点C₂的横坐标为$-1 -3=-4$，纵坐标和C点相同为-1，故C₂坐标为(-4,-1)。
【答案】
(1) 如图,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求
(2) 点 $C_2$ 的坐标为$(-4,-1)$
【知识点】
1. x轴对称的坐标特征
2. 轴对称图形作图
3. 竖直线对称的坐标计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换，核心是掌握不同对称轴下点的坐标变化规律，作图时要注意描点准确，计算对称点坐标时可通过距离或中点公式验证结果，避免出错。
【难度系数】
0.8
（1）要画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，首先需明确关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原坐标的相反数，据此先求出A、B、C三点的对称点坐标，再描点、顺次连线即可得到所求图形。
（2）直线m上各点横坐标都为-1，即直线m为x=-1，关于直线x=-1对称的点，纵坐标不变，两点的横坐标到直线x=-1的距离相等，据此计算即可得到C₂的坐标。
【解析】
（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：
点A(-2,4)的对称点A₁坐标为(-2,-4)，点B(4,2)的对称点B₁坐标为(4,-2)，点C(2,-1)的对称点C₁坐标为(2,1)。
在平面直角坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接这三个点，得到的△A₁B₁C₁即为所求图形。
（2）由题意可知直线m的解析式为x=-1，点C的横坐标为2，到直线x=-1的距离为$2 - (-1)=3$，因此对称点C₂的横坐标为$-1 -3=-4$，纵坐标和C点相同为-1，故C₂坐标为(-4,-1)。
【答案】
(1) 如图,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求
(2) 点 $C_2$ 的坐标为$(-4,-1)$
【知识点】
1. x轴对称的坐标特征
2. 轴对称图形作图
3. 竖直线对称的坐标计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换，核心是掌握不同对称轴下点的坐标变化规律，作图时要注意描点准确，计算对称点坐标时可通过距离或中点公式验证结果，避免出错。
【难度系数】
0.8
10 新情境 生活实际 如图①是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图②所示的$△ ABC$，$AB=AC$，$AD⊥ BC$于点$D$。若$BD$的长为$4\ \mathrm{m}$，则$BC$的长为（
A.$2\ \mathrm{m}$
B.$4\ \mathrm{m}$
C.$8\ \mathrm{m}$
D.$16\ \mathrm{m}$
C
）A.$2\ \mathrm{m}$
B.$4\ \mathrm{m}$
C.$8\ \mathrm{m}$
D.$16\ \mathrm{m}$
答案
10. C
解析
【分析】
首先由已知条件AB=AC可判断△ABC为等腰三角形，AD是底边BC上的高，结合等腰三角形“三线合一”的性质可知，AD同时也是底边BC的中线，即点D是BC的中点，因此BC的长度是BD的2倍，代入BD的长度即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
根据等腰三角形三线合一的性质，AD为BC边上的中线，即D是BC的中点，
∴BC=2BD，
已知BD=4m，
∴BC=2×4=8（m）。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三线合一
【点评】
本题结合我国古代建筑的实际情境考查等腰三角形的性质应用，题目贴近生活，侧重基础，只要熟练掌握等腰三角形三线合一的特点就能快速解题。
【难度系数】
0.9
首先由已知条件AB=AC可判断△ABC为等腰三角形，AD是底边BC上的高，结合等腰三角形“三线合一”的性质可知，AD同时也是底边BC的中线，即点D是BC的中点，因此BC的长度是BD的2倍，代入BD的长度即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
根据等腰三角形三线合一的性质，AD为BC边上的中线，即D是BC的中点，
∴BC=2BD，
已知BD=4m，
∴BC=2×4=8（m）。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三线合一
【点评】
本题结合我国古代建筑的实际情境考查等腰三角形的性质应用，题目贴近生活，侧重基础，只要熟练掌握等腰三角形三线合一的特点就能快速解题。
【难度系数】
0.9
11 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点E在BA的延长线上，$EF ⊥ BC$，垂足为F，EF与AC交于点O。若$OA=4$，$OC=3$，则BE的长为
11
。答案
11. 11
解析
【分析】
解题时首先从已知条件AB=AC入手，可得△ABC是等腰三角形，两底角∠B=∠C；再结合EF⊥BC的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余，可推出∠E与∠COF相等；结合对顶角相等可进一步得到∠E=∠AOE，即可判定△AEO为等腰三角形，得到AE=OA；最后求出AB的长度，结合BE=AB+AE即可计算出结果。
【解析】
解：首先计算AC的长度：
∵ OA=4，OC=3，
∴ AC=OA+OC=4+3=7，
∵ AB=AC，
∴ AB=7，∠B=∠C（等腰三角形等边对等角）。
∵ EF⊥BC，
∴ ∠EFB=∠EFC=90°，
∴ ∠B+∠E=90°，∠C+∠COF=90°（直角三角形两锐角互余），
∴ ∠E=∠COF（等角的余角相等）。
又
∵ ∠COF=∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠E=∠AOE，
∴ AE=OA=4（等腰三角形等角对等边）。
∴ BE=AB+AE=7+4=11。
【答案】
11
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；余角的性质；对顶角相等
【点评】
本题是等腰三角形相关知识的典型应用，解题的核心是通过角之间的等量代换推导出AE与AO的等量关系，再结合线段和差求解，能够很好地考查学生对等腰三角形性质、角的等量代换的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件AB=AC入手，可得△ABC是等腰三角形，两底角∠B=∠C；再结合EF⊥BC的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余，可推出∠E与∠COF相等；结合对顶角相等可进一步得到∠E=∠AOE，即可判定△AEO为等腰三角形，得到AE=OA；最后求出AB的长度，结合BE=AB+AE即可计算出结果。
【解析】
解：首先计算AC的长度：
∵ OA=4，OC=3，
∴ AC=OA+OC=4+3=7，
∵ AB=AC，
∴ AB=7，∠B=∠C（等腰三角形等边对等角）。
∵ EF⊥BC，
∴ ∠EFB=∠EFC=90°，
∴ ∠B+∠E=90°，∠C+∠COF=90°（直角三角形两锐角互余），
∴ ∠E=∠COF（等角的余角相等）。
又
∵ ∠COF=∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠E=∠AOE，
∴ AE=OA=4（等腰三角形等角对等边）。
∴ BE=AB+AE=7+4=11。
【答案】
11
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；余角的性质；对顶角相等
【点评】
本题是等腰三角形相关知识的典型应用，解题的核心是通过角之间的等量代换推导出AE与AO的等量关系，再结合线段和差求解，能够很好地考查学生对等腰三角形性质、角的等量代换的掌握程度。
【难度系数】
0.7
