登录
12 如图,点A,C分别在∠GBE的边BG,BE上,且AB=AC,AD//BE,∠GBE的平分线与AD交于点D,连接CD.求证:
(1) $AB=AD$;
(2) $CD$ 平分 $∠ ACE$.
(1) $AB=AD$;
(2) $CD$ 平分 $∠ ACE$.
答案
12. (1) $\because AD// BE,\therefore ∠ ADB=∠ DBC. \because BD$ 平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ DBC. \therefore ∠ ABD=∠ ADB. \therefore AB=AD$
(2) $\because AD// BE,\therefore ∠ ADC=∠ DCE$. 由(1),知 $AB=AD$,又$\because AB=AC,\therefore AC=AD. \therefore ∠ ACD=∠ ADC. \therefore ∠ ACD=∠ DCE. \therefore CD$ 平分$∠ ACE$
$\therefore ∠ ABD=∠ DBC. \therefore ∠ ABD=∠ ADB. \therefore AB=AD$
(2) $\because AD// BE,\therefore ∠ ADC=∠ DCE$. 由(1),知 $AB=AD$,又$\because AB=AC,\therefore AC=AD. \therefore ∠ ACD=∠ ADC. \therefore ∠ ACD=∠ DCE. \therefore CD$ 平分$∠ ACE$
解析
【分析】
(1) 要证明AB=AD，可通过证明△ABD是等腰三角形，即证明∠ABD=∠ADB来推导。首先利用平行线的性质得到∠ADB和∠DBC的关系，再结合角平分线的定义得到∠ABD和∠DBC的关系，等量代换即可得到等角，进而得到等边。
(2) 要证明CD平分∠ACE，即证明∠ACD=∠DCE。首先利用平行线的性质得到∠ADC和∠DCE的关系，再结合(1)的结论和已知AB=AC，推出AC=AD，利用等腰三角形等边对等角得到∠ACD和∠ADC的关系，等量代换即可得到两个角相等，完成证明。
【解析】
(1) $\because AD// BE$，
$\therefore ∠ ADB=∠ DBC$（两直线平行，内错角相等）。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ DBC$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$，
$\therefore AB=AD$（等角对等边）。
(2) $\because AD// BE$，
$\therefore ∠ ADC=∠ DCE$（两直线平行，内错角相等）。
由(1)可知$AB=AD$，又$\because AB=AC$，
$\therefore AC=AD$（等量代换），
$\therefore ∠ ACD=∠ ADC$（等边对等角），
$\therefore ∠ ACD=∠ DCE$（等量代换），
$\therefore CD$平分$∠ ACE$（角平分线的定义）。
【答案】
(1) 证明成立，$AB=AD$；
(2) 证明成立，$CD$平分$∠ ACE$。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是利用平行线的性质得到内错角相等，结合角平分线、等腰三角形的性质实现角和边的关系转化，考查基础的逻辑推理能力，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明AB=AD，可通过证明△ABD是等腰三角形，即证明∠ABD=∠ADB来推导。首先利用平行线的性质得到∠ADB和∠DBC的关系，再结合角平分线的定义得到∠ABD和∠DBC的关系，等量代换即可得到等角，进而得到等边。
(2) 要证明CD平分∠ACE，即证明∠ACD=∠DCE。首先利用平行线的性质得到∠ADC和∠DCE的关系，再结合(1)的结论和已知AB=AC，推出AC=AD，利用等腰三角形等边对等角得到∠ACD和∠ADC的关系，等量代换即可得到两个角相等，完成证明。
【解析】
(1) $\because AD// BE$，
$\therefore ∠ ADB=∠ DBC$（两直线平行，内错角相等）。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ DBC$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$，
$\therefore AB=AD$（等角对等边）。
(2) $\because AD// BE$，
$\therefore ∠ ADC=∠ DCE$（两直线平行，内错角相等）。
由(1)可知$AB=AD$，又$\because AB=AC$，
$\therefore AC=AD$（等量代换），
$\therefore ∠ ACD=∠ ADC$（等边对等角），
$\therefore ∠ ACD=∠ DCE$（等量代换），
$\therefore CD$平分$∠ ACE$（角平分线的定义）。
【答案】
(1) 证明成立，$AB=AD$；
(2) 证明成立，$CD$平分$∠ ACE$。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是利用平行线的性质得到内错角相等，结合角平分线、等腰三角形的性质实现角和边的关系转化，考查基础的逻辑推理能力，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
13 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，$BC = BD$，$∠ BAD = 25°$，则$∠ BCD$ 的度数为
55°
。答案
13. $55°$
解析
【分析】
解题先从等边三角形的性质入手，首先可得到AB=BC、∠ABC=60°，结合已知BC=BD可推出AB=BD，即△ABD为等腰三角形；再利用等腰三角形两底角相等的性质求出∠ABD的度数，进而求出∠CBD的度数；最后在等腰△BCD中，结合三角形内角和定理即可计算出∠BCD的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
又
∵BC=BD，
∴AB=BD，即△ABD为等腰三角形，
∴∠BDA=∠BAD=25°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ABD=180°-∠BAD-∠BDA=180°-25°-25°=130°，
则∠CBD=∠ABD-∠ABC=130°-60°=70°，
又
∵BC=BD，即△BCD为等腰三角形，∠BCD=∠BDC，
∴∠BCD=(180°-∠CBD)÷2=(180°-70°)÷2=55°。
【答案】
$55°$
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是通过线段等量代换得到等腰三角形，再结合角度的和差关系即可求解，是三角形性质章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题先从等边三角形的性质入手，首先可得到AB=BC、∠ABC=60°，结合已知BC=BD可推出AB=BD，即△ABD为等腰三角形；再利用等腰三角形两底角相等的性质求出∠ABD的度数，进而求出∠CBD的度数；最后在等腰△BCD中，结合三角形内角和定理即可计算出∠BCD的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
又
∵BC=BD，
∴AB=BD，即△ABD为等腰三角形，
∴∠BDA=∠BAD=25°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ABD=180°-∠BAD-∠BDA=180°-25°-25°=130°，
则∠CBD=∠ABD-∠ABC=130°-60°=70°，
又
∵BC=BD，即△BCD为等腰三角形，∠BCD=∠BDC，
∴∠BCD=(180°-∠CBD)÷2=(180°-70°)÷2=55°。
【答案】
$55°$
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是通过线段等量代换得到等腰三角形，再结合角度的和差关系即可求解，是三角形性质章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
14 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠A=60°,E为AD上一点,连接BD,交CE于点F,CE//AB.
(1) 判断△DEF的形状,并说明理由;
(2) 若AD=12,CE=8,求CF的长.
(1) 判断△DEF的形状,并说明理由;
(2) 若AD=12,CE=8,求CF的长.
答案
14. (1) $△ DEF$ 是等边三角形 理由:$\because AB=AD,∠ A=60°$，
$\therefore △ ABD$ 是等边三角形. $\therefore ∠ ABD=∠ ADB=60°. \because CE// AB, \therefore ∠ CED = ∠ A = 60°, ∠ DFE = ∠ ABD = 60°$.
$\therefore ∠ CED=∠ ADB=∠ DFE. \therefore △ DEF$ 是等边三角形.
(2) 连接 $AC. \because AB=AD,CB=CD,\therefore AC$ 是 $BD$ 的垂直平分线,即 $AC ⊥ BD. \because AB=AD,∠ BAD=60°,\therefore ∠ BAC=∠ DAC=30°. \because CE// AB,\therefore ∠ BAC=∠ ACE=∠ DAC=30°$.
$\therefore AE=CE=8. \therefore DE=AD-AE=12-8=4. \because △ DEF$ 是等边三角形,$\therefore EF=DE=4. \therefore CF=CE-EF=8-4=4$
$\therefore △ ABD$ 是等边三角形. $\therefore ∠ ABD=∠ ADB=60°. \because CE// AB, \therefore ∠ CED = ∠ A = 60°, ∠ DFE = ∠ ABD = 60°$.
$\therefore ∠ CED=∠ ADB=∠ DFE. \therefore △ DEF$ 是等边三角形.
(2) 连接 $AC. \because AB=AD,CB=CD,\therefore AC$ 是 $BD$ 的垂直平分线,即 $AC ⊥ BD. \because AB=AD,∠ BAD=60°,\therefore ∠ BAC=∠ DAC=30°. \because CE// AB,\therefore ∠ BAC=∠ ACE=∠ DAC=30°$.
$\therefore AE=CE=8. \therefore DE=AD-AE=12-8=4. \because △ DEF$ 是等边三角形,$\therefore EF=DE=4. \therefore CF=CE-EF=8-4=4$
解析
【分析】
(1) 要判断△DEF的形状，先从已知条件AB=AD、∠A=60°出发，先判定△ABD是等边三角形，得到∠ABD和∠ADB的度数，再结合CE//AB的性质，推导△DEF三个内角的度数，即可判断其形状。
(2) 要求CF的长，已知CE总长为8，只需算出EF的长度即可。EF是第(1)问中等边△DEF的边，因此需要先求DE的长，DE=AD-AE，所以核心是求AE的长度。连接AC，根据AB=AD、CB=CD可知AC是BD的垂直平分线且平分∠BAD，结合CE//AB可推出∠ACE=∠DAC，进而得到AE=CE，代入数值逐步计算即可得到CF的长。
【解析】
(1) △DEF是等边三角形，理由如下：
∵ AB=AD，∠A=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ ∠ABD=∠ADB=60°。
∵ CE//AB，
∴ ∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°，
∴ ∠CED=∠ADB=∠DFE=60°，
∴ △DEF是等边三角形。
(2) 连接AC，
∵ AB=AD，CB=CD，
∴ 点A、点C都在BD的垂直平分线上，即AC是BD的垂直平分线，AC⊥BD，且AC平分∠BAD。
∵ ∠BAD=60°，
∴ ∠BAC=∠DAC=30°。
∵ CE//AB，
∴ ∠BAC=∠ACE=30°，
∴ ∠ACE=∠DAC=30°，
∴ AE=CE=8。
∵ AD=12，
∴ DE=AD-AE=12-8=4。
∵ △DEF是等边三角形，
∴ EF=DE=4，
∴ CF=CE-EF=8-4=4。
【答案】
(1) △DEF是等边三角形；(2) CF的长为4
【知识点】
等边三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是先判定出△ABD为等边三角形，再结合平行线、特殊三角形的性质推导边与角的关系，能够有效考查学生对基础几何定理的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断△DEF的形状，先从已知条件AB=AD、∠A=60°出发，先判定△ABD是等边三角形，得到∠ABD和∠ADB的度数，再结合CE//AB的性质，推导△DEF三个内角的度数，即可判断其形状。
(2) 要求CF的长，已知CE总长为8，只需算出EF的长度即可。EF是第(1)问中等边△DEF的边，因此需要先求DE的长，DE=AD-AE，所以核心是求AE的长度。连接AC，根据AB=AD、CB=CD可知AC是BD的垂直平分线且平分∠BAD，结合CE//AB可推出∠ACE=∠DAC，进而得到AE=CE，代入数值逐步计算即可得到CF的长。
【解析】
(1) △DEF是等边三角形，理由如下：
∵ AB=AD，∠A=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ ∠ABD=∠ADB=60°。
∵ CE//AB，
∴ ∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°，
∴ ∠CED=∠ADB=∠DFE=60°，
∴ △DEF是等边三角形。
(2) 连接AC，
∵ AB=AD，CB=CD，
∴ 点A、点C都在BD的垂直平分线上，即AC是BD的垂直平分线，AC⊥BD，且AC平分∠BAD。
∵ ∠BAD=60°，
∴ ∠BAC=∠DAC=30°。
∵ CE//AB，
∴ ∠BAC=∠ACE=30°，
∴ ∠ACE=∠DAC=30°，
∴ AE=CE=8。
∵ AD=12，
∴ DE=AD-AE=12-8=4。
∵ △DEF是等边三角形，
∴ EF=DE=4，
∴ CF=CE-EF=8-4=4。
【答案】
(1) △DEF是等边三角形；(2) CF的长为4
【知识点】
等边三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是先判定出△ABD为等边三角形，再结合平行线、特殊三角形的性质推导边与角的关系，能够有效考查学生对基础几何定理的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
15 将两个全等的含$30°$角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，若它们的最长边长为6，则$DF=$
$\frac{3}{2}$
。答案
15. $\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题时先结合含30°角直角三角形的性质明确三角尺各边的关系：首先已知三角尺最长边即斜边长为6，可先算出30°角对应的短直角边长度；再通过边相等和60°角判断出等边三角形，求出AD的长度；最后结合平行线的性质得到直角三角形ADF，利用30°角的性质计算DF即可。
【解析】
∵ 两个全等的含30°角的直角三角尺最长边（斜边）为6，
∴ Rt△ACB的斜边AB=6，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴ ∠B=60°，30°角对的直角边$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，
∵ 两个三角尺全等，
∴ CD=BC=3，
∴ △BCD中，BC=CD，∠B=60°，△BCD是等边三角形，
∴ BD=BC=3，
∴ $AD=AB-BD=6-3=3$，
由三角尺摆放位置可得DE//BC，
∴ ∠AFD=∠ACB=90°，即△ADF是直角三角形，
在Rt△ADF中，∠A=30°，30°角对的直角边为DF，
∴ $DF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，平行线的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础综合题，解题关键是先通过等边三角形的判定求出AD的长度，再利用含30°角直角三角形的边长关系求解，熟练掌握特殊三角形的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时先结合含30°角直角三角形的性质明确三角尺各边的关系：首先已知三角尺最长边即斜边长为6，可先算出30°角对应的短直角边长度；再通过边相等和60°角判断出等边三角形，求出AD的长度；最后结合平行线的性质得到直角三角形ADF，利用30°角的性质计算DF即可。
【解析】
∵ 两个全等的含30°角的直角三角尺最长边（斜边）为6，
∴ Rt△ACB的斜边AB=6，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴ ∠B=60°，30°角对的直角边$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，
∵ 两个三角尺全等，
∴ CD=BC=3，
∴ △BCD中，BC=CD，∠B=60°，△BCD是等边三角形，
∴ BD=BC=3，
∴ $AD=AB-BD=6-3=3$，
由三角尺摆放位置可得DE//BC，
∴ ∠AFD=∠ACB=90°，即△ADF是直角三角形，
在Rt△ADF中，∠A=30°，30°角对的直角边为DF，
∴ $DF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，平行线的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础综合题，解题关键是先通过等边三角形的判定求出AD的长度，再利用含30°角直角三角形的边长关系求解，熟练掌握特殊三角形的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
16 如图，AD，BE分别是$△ ABC$的中线和角平分线，$AB=AC$，$∠ CAD=20°$，则$∠ ABE$的度数为（
A.$20°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$70°$
B
）A.$20°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$70°$
答案
16. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，AD是等腰三角形底边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD同时是顶角∠BAC的平分线，可先求出顶角∠BAC的度数；再结合三角形内角和定理求出底角∠ABC的度数；最后根据BE是角平分线的定义，即可计算出∠ABE的度数。
【解析】
1. 因为$AB=AC$，所以$△ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC=∠ ACB$。
2. 已知AD是$△ ABC$的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD平分$∠ BAC$，结合$∠ CAD=20°$，可得$∠ BAC=2∠ CAD=2×20°=40°$。
3. 根据三角形内角和为$180°$，计算底角$∠ ABC$：$∠ ABC=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
4. 已知BE是$△ ABC$的角平分线，所以BE平分$∠ ABC$，因此$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查等腰三角形三线合一的性质，解题时只要梳理清楚各角之间的数量关系，按步骤推导即可得到结果，对基础性质的熟练度是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，AD是等腰三角形底边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD同时是顶角∠BAC的平分线，可先求出顶角∠BAC的度数；再结合三角形内角和定理求出底角∠ABC的度数；最后根据BE是角平分线的定义，即可计算出∠ABE的度数。
【解析】
1. 因为$AB=AC$，所以$△ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC=∠ ACB$。
2. 已知AD是$△ ABC$的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD平分$∠ BAC$，结合$∠ CAD=20°$，可得$∠ BAC=2∠ CAD=2×20°=40°$。
3. 根据三角形内角和为$180°$，计算底角$∠ ABC$：$∠ ABC=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
4. 已知BE是$△ ABC$的角平分线，所以BE平分$∠ ABC$，因此$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查等腰三角形三线合一的性质，解题时只要梳理清楚各角之间的数量关系，按步骤推导即可得到结果，对基础性质的熟练度是解题的关键。
【难度系数】
0.7
17 如图，在$△ ABC$中，$BC=6$，$S_{△ ABC}=30$，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F.若D，M分别为线段BC，EF上的动点，则$CM+DM$的最小值为（
A.3
B.2.4
C.10
D.7
C
）A.3
B.2.4
C.10
D.7
答案
17. C 【解析】如图,过点 A 作$AD_1⊥ BC$ 于点$D_1$,交 EF 于点$M_1$,连接 AM. $\because EF$ 垂直平分 AC,$\therefore AM=CM. \therefore CM+DM=AM+DM. \therefore$ 当 A,M,D 三点共线且 $AD⊥ BC$ 时,$CM+DM$ 有最小值. 此时,点 D 在点$D_1$处,点 M 在点$M_1$处,$\therefore CM+DM$ 有最小值. 此时,$CD+DM$ 的最小值为$AM_1+D_1M_1=AD_1. \because BC=6,S_{△ ABC}=30,\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC × AD_1=30$,即$\frac{1}{2}×6AD_1=30$,解得$AD_1=10. \therefore CM+DM$ 的最小值为 10.
解析
【分析】
解题时先结合题中给出的垂直平分线条件，利用线段垂直平分线的性质，把CM转化为AM，将求CM+DM的最小值转化为求AM+DM的最小值；再根据两点之间线段最短、垂线段最短的结论，可知当A、M、D三点共线且AD垂直BC时，AM+DM的和最小，这个最小值就是△ABC中BC边上的高；最后用三角形面积公式计算出高的长度即可。
【解析】
过点A作$AD_1⊥ BC$ 于点$D_1$，交EF于点$M_1$，连接AM。
∵EF垂直平分AC，
∴根据线段垂直平分线的性质可得$AM=CM$，
∴$CM+DM=AM+DM$。
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时$AM+DM$最小，结合垂线段最短可知，当$AD⊥BC$时$AM+DM$取得最小值，即点D在$D_1$处、点M在$M_1$处时，$CM+DM$的最小值为$AM_1+D_1M_1=AD_1$。
已知$BC=6$，$S_{△ABC}=30$，代入三角形面积公式$S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC × AD_1$得：
$\frac{1}{2}×6×AD_1=30$，
解得$AD_1=10$，即$CM+DM$的最小值为10。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 最短路径问题
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是几何最值类常考题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，再结合线段最短、垂线段最短确定最小值对应的线段，解题过程中要注意转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
解题时先结合题中给出的垂直平分线条件，利用线段垂直平分线的性质，把CM转化为AM，将求CM+DM的最小值转化为求AM+DM的最小值；再根据两点之间线段最短、垂线段最短的结论，可知当A、M、D三点共线且AD垂直BC时，AM+DM的和最小，这个最小值就是△ABC中BC边上的高；最后用三角形面积公式计算出高的长度即可。
【解析】
过点A作$AD_1⊥ BC$ 于点$D_1$，交EF于点$M_1$，连接AM。
∵EF垂直平分AC，
∴根据线段垂直平分线的性质可得$AM=CM$，
∴$CM+DM=AM+DM$。
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时$AM+DM$最小，结合垂线段最短可知，当$AD⊥BC$时$AM+DM$取得最小值，即点D在$D_1$处、点M在$M_1$处时，$CM+DM$的最小值为$AM_1+D_1M_1=AD_1$。
已知$BC=6$，$S_{△ABC}=30$，代入三角形面积公式$S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC × AD_1$得：
$\frac{1}{2}×6×AD_1=30$，
解得$AD_1=10$，即$CM+DM$的最小值为10。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 最短路径问题
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是几何最值类常考题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，再结合线段最短、垂线段最短确定最小值对应的线段，解题过程中要注意转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
18 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=50°$,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则$∠ ACD$的度数是
20°
.答案
18. $20°$
解析
【分析】
解题时先从已知的直角三角形条件入手，首先利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；再根据作图的特征得出BC=BD，即△BCD为等腰三角形，结合三角形内角和定理算出∠BCD的度数；最后用∠ACB的度数减去∠BCD的度数即可得到∠ACD的度数。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ B=90°-∠ A=90°-50°=40°$。
由作图可知，$BC=BD$，因此$△ BCD$是等腰三角形，$∠ BCD=∠ BDC$。
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ BCD=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
因此$∠ ACD=∠ ACB-∠ BCD=90°-70°=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是从作图条件中挖掘出等腰三角形这一隐含条件，再结合三角形的相关角度性质计算即可，考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的直角三角形条件入手，首先利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；再根据作图的特征得出BC=BD，即△BCD为等腰三角形，结合三角形内角和定理算出∠BCD的度数；最后用∠ACB的度数减去∠BCD的度数即可得到∠ACD的度数。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ B=90°-∠ A=90°-50°=40°$。
由作图可知，$BC=BD$，因此$△ BCD$是等腰三角形，$∠ BCD=∠ BDC$。
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ BCD=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
因此$∠ ACD=∠ ACB-∠ BCD=90°-70°=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是从作图条件中挖掘出等腰三角形这一隐含条件，再结合三角形的相关角度性质计算即可，考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
