19 新情境 生活实际 如图,在一个房间内,有一架长为1.6米的梯子(CM)斜靠在墙上,此时梯子的倾斜角为$75°$,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子的倾斜角为$45°$,那么MN的长是米.

19. 1.6

【分析】
解题时首先抓住梯子长度始终不变这一核心条件，可得CM=CN；接下来计算两条梯子的夹角∠MCN的度数，利用平角为180°，减去已知的两个倾斜角即可得到夹角为60°；最后根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”判定△MCN为等边三角形，即可得到MN的长度等于梯子长度。
【解析】
解：由题意可知，梯子长度不变，因此$CM=CN=1.6\ \mathrm{m}$。
根据平角的定义，$∠ MCN=180°-∠ ACM-∠ BCN=180°-75°-45°=60°$。
在$△ MCN$中，$CM=CN$且$∠ MCN=60°$，因此$△ MCN$是等边三角形。
根据等边三角形三边相等的性质，可得$MN=CM=1.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
1.6
【知识点】
等边三角形的判定，平角的定义
【点评】
本题结合生活场景考查特殊三角形的判定与应用，解题的关键是挖掘出“梯子长度不变”这一隐含条件，再通过角度计算判定等边三角形，即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7

20 如图，在$△ ABC$中，$AC = BC$，$∠ ACB = 108°$，点$D$在线段$AB$上运动（点$D$不与点$A$，$B$重合），连接$CD$，作$∠ CDE = 36°$，$DE$交$BC$于点$E$。若$△ CDE$是等腰三角形，则$∠ ADC$的度数是。

20. $72°$或$108°$ 【解析】$\because AC=BC,∠ ACB=108°,\therefore ∠ A=∠ B=\frac{1}{2}×(180°-108°)=36°$. 根据等腰三角形的性质,分三种情况讨论:① 当 $CD=DE$ 时,$\because ∠ CDE=36°,\therefore ∠ DCE=∠ DEC=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°. \therefore ∠ ADC=∠ B+∠ DCE=36°+72°=108°$. ② 当 $DE=CE$ 时,$\because ∠ CDE=36°,\therefore ∠ DCE=∠ CDE=36°. \therefore ∠ ADC=∠ DCE+∠ B=36°+36°=72°$. ③ 当 $EC=CD$ 时,$∠ CED=∠ CDE=36°. \therefore ∠ BCD=180°-∠ CED-∠ CDE=180°-36°-36°=108°. \because ∠ ACB=108°$,$\therefore$ 此时点 D 与点 A 重合,不合题意. 综上所述,$∠ ADC$ 的度数为$72°$或$108°$

【分析】
首先根据△ABC是等腰三角形，已知顶角∠ACB=108°，可先算出两个底角∠A、∠B的度数均为36°。由于题目只说明△CDE是等腰三角形，未明确腰和底，因此需要分三种情况讨论三条边两两相等的情况，每种情况结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形内角和定理算出∠DCE的度数，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质计算∠ADC，最后根据“点D不与A、B重合”的限制条件排除不合题意的情况即可。
【解析】
解：$\because AC=BC$，$∠ ACB=108°$，
$\therefore ∠ A=∠ B=\frac{1}{2}×(180°-108°)=36°$。
$△ CDE$为等腰三角形，分三种情况讨论：
① 当$CD=DE$时，
$\because ∠ CDE=36°$，
$\therefore ∠ DCE=∠ DEC=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$，
$\because ∠ ADC$是$△ BCD$的外角，
$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ DCE=36°+72°=108°$；
② 当$DE=CE$时，
$\because ∠ CDE=36°$，
$\therefore ∠ DCE=∠ CDE=36°$，
同理可得$∠ ADC=∠ DCE+∠ B=36°+36°=72°$；
③ 当$EC=CD$时，
$∠ CED=∠ CDE=36°$，
$\therefore ∠ BCD=180°-∠ CED-∠ CDE=180°-36°-36°=108°$，
$\because ∠ ACB=108°$，此时点D与点A重合，不符合题意，故舍去。
综上所述，$∠ ADC$的度数为$72°$或$108°$。
【答案】
$72°$或$108°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在等腰三角形问题中的应用，解题时需注意未明确腰的等腰三角形要分情况讨论，同时要结合题目的限制条件排除不符合题意的解，避免出现多解或者漏解的错误。
【难度系数】
0.6

21 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=36°$,CD是$∠ ACB$的平分线,交AB于点D,过点A作$AE// BC$,交CD的延长线于点E.求证:$AE=DE$.

21. $\because AB=AC,∠ BAC=36°,\therefore ∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=72°. \because CD$ 是 $∠ ACB$ 的平分线,$\therefore ∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=36°. \because AE// BC,\therefore ∠ EAB=∠ B=72°. \because ∠ B=72°,∠ DCB=36°,\therefore ∠ ADE=∠ BDC=180°-72°-36°=72°. \therefore ∠ EAD=∠ ADE. \therefore AE=DE$

【分析】
要证明$AE=DE$，可通过“等角对等边”的思路推导：首先利用等腰$△ ABC$的已知条件计算底角度数，再结合角平分线的定义、平行线的性质分别计算出$∠EAD$和$∠ADE$的度数，验证两个角相等即可得证。
【解析】
$\because AB=AC,∠BAC=36°$，
$\therefore ∠B=∠ACB=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=72°$。
$\because CD$是$∠ACB$的平分线，
$\therefore ∠DCB=\frac{1}{2}∠ACB=36°$。
$\because AE// BC$，
$\therefore ∠EAB=∠B=72°$。
在$△ BDC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠BDC=180°-∠B-∠DCB=180°-72°-36°=72°$，
由对顶角相等得$∠ADE=∠BDC=72°$，
$\therefore ∠EAD=∠ADE=72°$，
$\therefore AE=DE$。
【答案】
$AE=DE$
【知识点】
等腰三角形性质与判定；角平分线定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，侧重考查角度推导能力，通过整合等腰三角形、角平分线、平行线的性质得到等角，进而证明线段相等，是几何中证明线段相等的典型方法，需熟练掌握角度间的等量转化技巧。
【难度系数】
0.7

22 如图,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点,$BE=AC$,连接AD.
(1) 求证:$AD⊥ BC$；
(2) 若$∠ BAC=75°$,求$∠ B$的度数.

22. (1) 连接 AE. $\because EF$ 垂直平分 $AB,\therefore AE=BE. \because BE=AC,\therefore AE=AC. \because D$ 是 EC 的中点,$\therefore AD⊥ BC$
(2) 设$∠ B=x°. \because AE=BE,\therefore ∠ BAE=∠ B=x°. \therefore ∠ AEC=2x°. \because AE=AC,\therefore ∠ C=∠ AEC=2x°$. 在$△ ABC$ 中,$x°+2x°+75°=180°,\therefore x=35. \therefore ∠ B=35°$

【分析】
(1) 要证AD⊥BC，已知D为CE中点，可结合等腰三角形“三线合一”的性质推导。首先连接AE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，结合已知BE=AC可推出AE=AC，即△AEC为等腰三角形，再根据D是CE中点，即可由等腰三角形三线合一得到AD⊥BC。
(2) 求∠B的度数可采用方程思想：设∠B=x°，由AE=BE可得∠BAE=∠B=x°，根据三角形外角的性质得∠AEC=2x°，再由AE=AC得∠C=∠AEC=2x°，最后利用三角形内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：连接AE
∵EF是AB的垂直平分线
∴AE=BE
又
∵BE=AC
∴AE=AC，即△AEC是等腰三角形
∵D为线段CE的中点
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
(2) 解：设∠B=x°
∵AE=BE
∴∠BAE=∠B=x°
∵∠AEC是△ABE的外角
∴∠AEC=∠B+∠BAE=2x°
∵AE=AC
∴∠C=∠AEC=2x°
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，代入得：
$x + 2x + 75 = 180$
解得$x=35$
∴∠B=35°
【答案】
(1) 证明成立；(2) $∠ B=35°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线构造等腰三角形，灵活运用等边对等角、三线合一等性质实现边角关系的转化，第二问运用方程思想求解角度更为简便，能较好的考查学生对几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

23 如图，$△ ABC$为等边三角形，D为射线BC上一点，$∠ ADE=60°$，DE与$∠ ACB$的邻补角的平分线交于点E.
（1）如图①，若点D在边BC上，求证：$CA=CD+CE$；
（2）如图②，若点D在边BC的延长线上，写出$CA$，$CD$，$CE$之间的数量关系并证明.

23. (1) 如图①,在 AC 上截取 $CM=CD$,连接 DM. $\because △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore ∠ ACB=60°. \therefore △ CDM$ 是等边三角形. $\therefore MD=CD=CM,∠ CMD=∠ CDM=60°. \therefore ∠ AMD=180°-∠ CMD=120°. \because ∠ ADE=60°,\therefore ∠ ADE=∠ MDC. \therefore ∠ ADE-∠ MDE=∠ MDC-∠ MDE$,即 $∠ ADM=∠ EDC. \because DE$ 与$∠ ACB$ 的邻补角的平分线交于点 E,$\therefore$ 易得$∠ ACE=60°. \therefore ∠ ECD=∠ ACE+∠ ACB=120°=∠ AMD$.
在 $△ ADM$ 和 $△ EDC$ 中,$\begin{cases} ∠ ADM=∠ EDC, \\ MD=CD, \\ ∠ AMD=∠ ECD, \end{cases}$ $\therefore △ ADM ≌ △ EDC. \therefore AM = EC. \therefore CA = CM + AM = CD + CE$
(2) $CA=CE-CD$ 如图②,延长 AC,在 AC 的延长线上截取$CM=CD$,连接 DM. $\because △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore ∠ ACB=60°. \therefore ∠ DCM=∠ ACB=60°. \therefore △ CDM$ 是等边三角形. $\therefore MD=CD=CM,∠ M=∠ CDM=60°. \because DE$ 与$∠ ACB$ 的邻补角的平分线交于点 E,$\therefore$ 易得$∠ ACE=∠ ECD=60°. \therefore ∠ ECD=∠ M. \because ∠ ADE = 60°,\therefore ∠ CDM = ∠ ADE. \therefore ∠ CDM+∠ ADC=∠ ADE+∠ ADC$,即$∠ ADM=∠ EDC$.
在 $△ ADM$ 和 $△ EDC$ 中,$\begin{cases} ∠ ADM=∠ EDC, \\ MD=CD, \\ ∠ M=∠ ECD, \end{cases}$ $\therefore △ ADM ≌ △ EDC. \therefore AM=EC. \therefore CA=AM-CM=CE-CD$

【分析】
本题为等边三角形背景下的线段和差证明题，解题核心是利用截长补短法构造全等三角形实现线段转化：
(1) 要证$CA=CD+CE$，采用截长法：在AC上截取与CD相等的线段CM，先证明$△ CDM$为等边三角形，得到全等所需的等边、等角条件，再结合$∠ADE=60°$、CE是角平分线的已知条件，证明$△ ADM≌△ EDC$，得到$AM=CE$，即可推导出结论。
(2) 当D在BC延长线上时，采用补短法：延长AC后截取$CM=CD$，同样先构造等边$△ CDM$，再证明$△ ADM≌△ EDC$得到$AM=CE$，进而推导三条线段的数量关系。
【解析】
(1) 证明：如图①，在AC上截取$CM=CD$，连接DM。
$\because △ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ACB=60°$，$\therefore △CDM$是等边三角形，
$\therefore MD=CD=CM$，$∠CMD=∠CDM=60°$，$\therefore ∠AMD=180°-∠CMD=120°$。
$\because ∠ADE=60°$，$\therefore ∠ADE=∠MDC$，
$\therefore ∠ADE-∠MDE=∠MDC-∠MDE$，即$∠ADM=∠EDC$。
$\because DE$与$∠ACB$的邻补角的平分线交于点E，$\therefore ∠ACE=60°$，
$\therefore ∠ECD=∠ACE+∠ACB=120°=∠AMD$。
在$△ ADM$和$△ EDC$中：
$\begin{cases} ∠ADM=∠EDC \\ MD=CD \\ ∠AMD=∠ECD \end{cases}$
$\therefore △ADM≌△EDC(\mathrm{ASA})$，$\therefore AM=EC$，
$\therefore CA=CM+AM=CD+CE$。
(2) 线段关系为$CA=CE-CD$，证明如下：
如图②，延长AC，在AC的延长线上截取$CM=CD$，连接DM。
$\because △ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ACB=60°$，$\therefore ∠DCM=∠ACB=60°$，
$\therefore △CDM$是等边三角形，$\therefore MD=CD=CM$，$∠M=∠CDM=60°$。
$\because DE$与$∠ACB$的邻补角的平分线交于点E，$\therefore ∠ACE=∠ECD=60°$，$\therefore ∠ECD=∠M$。
$\because ∠ADE=60°$，$\therefore ∠CDM=∠ADE$，
$\therefore ∠CDM+∠ADC=∠ADE+∠ADC$，即$∠ADM=∠EDC$。
在$△ ADM$和$△ EDC$中：
$\begin{cases} ∠ADM=∠EDC \\ MD=CD \\ ∠M=∠ECD \end{cases}$
$\therefore △ADM≌△EDC(\mathrm{ASA})$，$\therefore AM=EC$，
$\therefore CA=AM-CM=CE-CD$。
【答案】
(1) $CA=CD+CE$，证明见解析；
(2) $CA=CE-CD$，证明见解析。

【知识点】
截长补短法，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型题型，重点考查线段和差问题的常用解法，解题核心是通过构造等边三角形获得全等的边、角条件，实现待证线段的等量转化，两种位置的图形证明思路具有共性，需要注意角的等量代换过程的准确性。
【难度系数】
0.6