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刷实践
建议用时15分钟 答案 D78
[2025浙江温州调研]阅读下列素材：
结合上述素材，完成以下任务：
【任务1】按照上述方式加密1次，直接写出明文YUAN对应的密文.
【任务2】按照上述方式加密100次，直接写出明文A对应的密文.
【任务3】是否存在这样的字母，按照上述方式加密100次，得到的密文仍然是本身？如果存在，请找出所有这样的字母；如果不存在，请说明理由.
建议用时15分钟 答案 D78
[2025浙江温州调研]阅读下列素材：
结合上述素材，完成以下任务：
【任务1】按照上述方式加密1次，直接写出明文YUAN对应的密文.
【任务2】按照上述方式加密100次，直接写出明文A对应的密文.
【任务3】是否存在这样的字母，按照上述方式加密100次，得到的密文仍然是本身？如果存在，请找出所有这样的字母；如果不存在，请说明理由.
答案
【任务1】WZSM. 字母Y对应的数字为6→6能被3整除→$\frac{6}{3}=2$→数字2对应字母W;字母U对应的数字为7→7被3除余1→$\frac{7+2}{3}+17=20$→数字20对应字母Z;字母A对应的数字为11→11被3除余2→$\frac{11+1}{3}+8=12$→数字12对应字母S;字母N对应的数字为25→25被3除余1→$\frac{25+2}{3}+17=26$→数字26对应字母M.故明文YUAN对应的密文为WZSM.
【任务2】B. 第1次加密:字母A对应数字11→$\frac{11+1}{3}+8=12$→12对应字母S;第2次加密:12→$\frac{12}{3}=4$→4对应字母R;第3次加密:4→$\frac{4+2}{3}+17=19$→19对应字母L;第4次加密:19→$\frac{19+2}{3}+17=24$→24对应字母B;第5次加密:24→$\frac{24}{3}=8$→8对应字母I;第6次加密:8→$\frac{8+1}{3}+8=11$→11对应字母A.综上,字母A经过6次加密后进入循环.因为100÷6=16……4,所以字母A经过100次加密后,明文A对应的密文为B.
【任务3】存在. 字母H对应数字16,第1次加密:16→$\frac{16+2}{3}+17=23$→23对应字母V;第2次加密:23→$\frac{23+1}{3}+8=16$→16对应字母H,所以字母H经过100次加密后,得到的密文仍为H.
同理,字母V对应数字23,经过100次加密后,得到的密文仍为V.
综上,存在字母H和V,按照上述方式加密100次,得到的密文仍然是本身.
【任务2】B. 第1次加密:字母A对应数字11→$\frac{11+1}{3}+8=12$→12对应字母S;第2次加密:12→$\frac{12}{3}=4$→4对应字母R;第3次加密:4→$\frac{4+2}{3}+17=19$→19对应字母L;第4次加密:19→$\frac{19+2}{3}+17=24$→24对应字母B;第5次加密:24→$\frac{24}{3}=8$→8对应字母I;第6次加密:8→$\frac{8+1}{3}+8=11$→11对应字母A.综上,字母A经过6次加密后进入循环.因为100÷6=16……4,所以字母A经过100次加密后,明文A对应的密文为B.
【任务3】存在. 字母H对应数字16,第1次加密:16→$\frac{16+2}{3}+17=23$→23对应字母V;第2次加密:23→$\frac{23+1}{3}+8=16$→16对应字母H,所以字母H经过100次加密后,得到的密文仍为H.
同理,字母V对应数字23,经过100次加密后,得到的密文仍为V.
综上,存在字母H和V,按照上述方式加密100次,得到的密文仍然是本身.
解析
【分析】
解决本题核心是先明确加密规则，再根据不同任务的要求分步处理：
1. 任务1：针对明文中的每个字母，先查表得到对应数字x，判断x除以3的余数，选择对应加密公式计算得到密文对应的数字x'，再查表得到密文字母，逐个计算即可。
2. 任务2：先从明文A开始依次计算每次加密后的结果，找到加密的循环周期，再用总次数100除以周期，根据余数对应到循环中的结果即可。
3. 任务3：要使加密100次后回到原字母，说明加密周期是100的因数，优先验证周期为1（单次加密后不变）、周期为2（两次加密回到原字母）的情况，找到符合要求的字母即可。
【解析】
★任务1：
字母Y对应数字6，6能被3整除，所以$x'=\frac{6}{3}=2$，数字2对应字母W；
字母U对应数字7，7除以3余1，所以$x'=\frac{7+2}{3}+17=20$，数字20对应字母Z；
字母A对应数字11，11除以3余2，所以$x'=\frac{11+1}{3}+8=12$，数字12对应字母S；
字母N对应数字25，25除以3余1，所以$x'=\frac{25+2}{3}+17=26$，数字26对应字母M；
因此明文YUAN加密1次的密文为WZSM。
★任务2：
依次计算明文A每次加密的结果：
第1次：A对应数字11，11除以3余2，$x'=\frac{11+1}{3}+8=12$，对应字母S；
第2次：S对应数字12，12能被3整除，$x'=\frac{12}{3}=4$，对应字母R；
第3次：R对应数字4，4除以3余1，$x'=\frac{4+2}{3}+17=19$，对应字母L；
第4次：L对应数字19，19除以3余1，$x'=\frac{19+2}{3}+17=24$，对应字母B；
第5次：B对应数字24，24能被3整除，$x'=\frac{24}{3}=8$，对应字母I；
第6次：I对应数字8，8除以3余2，$x'=\frac{8+1}{3}+8=11$，对应字母A；
可见加密周期为6，$100÷6=16······4$，余数为4，对应循环中第4次加密的结果B。
★任务3：
存在这样的字母，验证如下：
字母H对应数字16，16除以3余1，第1次加密：$x'=\frac{16+2}{3}+17=23$，对应字母V；V对应数字23，23除以3余2，第2次加密：$x'=\frac{23+1}{3}+8=16$，对应字母H，即H和V的加密周期为2。
100是偶数，因此加密100次后，H和V都会回到本身。
综上，符合要求的字母是H和V。
【答案】
【任务1】WZSM；【任务2】B；【任务3】存在，字母H和V。
【知识点】
代数式求值，周期规律探究，分类讨论思想
【点评】
本题以密码加密为实际背景，兼具趣味性和实用性，既考查了基础的四则运算能力，也要求学生具备归纳规律、利用周期解决问题的能力，解题时需细心计算，避免因计算失误导致规律判断错误。
【难度系数】
0.6
解决本题核心是先明确加密规则，再根据不同任务的要求分步处理：
1. 任务1：针对明文中的每个字母，先查表得到对应数字x，判断x除以3的余数，选择对应加密公式计算得到密文对应的数字x'，再查表得到密文字母，逐个计算即可。
2. 任务2：先从明文A开始依次计算每次加密后的结果，找到加密的循环周期，再用总次数100除以周期，根据余数对应到循环中的结果即可。
3. 任务3：要使加密100次后回到原字母，说明加密周期是100的因数，优先验证周期为1（单次加密后不变）、周期为2（两次加密回到原字母）的情况，找到符合要求的字母即可。
【解析】
★任务1：
字母Y对应数字6，6能被3整除，所以$x'=\frac{6}{3}=2$，数字2对应字母W；
字母U对应数字7，7除以3余1，所以$x'=\frac{7+2}{3}+17=20$，数字20对应字母Z；
字母A对应数字11，11除以3余2，所以$x'=\frac{11+1}{3}+8=12$，数字12对应字母S；
字母N对应数字25，25除以3余1，所以$x'=\frac{25+2}{3}+17=26$，数字26对应字母M；
因此明文YUAN加密1次的密文为WZSM。
★任务2：
依次计算明文A每次加密的结果：
第1次：A对应数字11，11除以3余2，$x'=\frac{11+1}{3}+8=12$，对应字母S；
第2次：S对应数字12，12能被3整除，$x'=\frac{12}{3}=4$，对应字母R；
第3次：R对应数字4，4除以3余1，$x'=\frac{4+2}{3}+17=19$，对应字母L；
第4次：L对应数字19，19除以3余1，$x'=\frac{19+2}{3}+17=24$，对应字母B；
第5次：B对应数字24，24能被3整除，$x'=\frac{24}{3}=8$，对应字母I；
第6次：I对应数字8，8除以3余2，$x'=\frac{8+1}{3}+8=11$，对应字母A；
可见加密周期为6，$100÷6=16······4$，余数为4，对应循环中第4次加密的结果B。
★任务3：
存在这样的字母，验证如下：
字母H对应数字16，16除以3余1，第1次加密：$x'=\frac{16+2}{3}+17=23$，对应字母V；V对应数字23，23除以3余2，第2次加密：$x'=\frac{23+1}{3}+8=16$，对应字母H，即H和V的加密周期为2。
100是偶数，因此加密100次后，H和V都会回到本身。
综上，符合要求的字母是H和V。
【答案】
【任务1】WZSM；【任务2】B；【任务3】存在，字母H和V。
【知识点】
代数式求值，周期规律探究，分类讨论思想
【点评】
本题以密码加密为实际背景，兼具趣味性和实用性，既考查了基础的四则运算能力，也要求学生具备归纳规律、利用周期解决问题的能力，解题时需细心计算，避免因计算失误导致规律判断错误。
【难度系数】
0.6
