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1 [2025山东中考]明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手。问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（
A.$\begin{cases} x+3y=36, \\ 8x+6y=108 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+3y=36, \\ 6x+8y=108 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x+y=36, \\ 8x+6y=108 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x+y=36, \\ 6x+8y=108 \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} x+3y=36, \\ 8x+6y=108 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+3y=36, \\ 6x+8y=108 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x+y=36, \\ 8x+6y=108 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x+y=36, \\ 6x+8y=108 \end{cases}$
答案
1.D 【解析】根据“共有36个头”可列方程为3x+y=36;根据“共有108只手”可列方程为6x+8y=108.故选D.
解析
【分析】
本题考查实际问题抽象二元一次方程组，解题思路如下：第一步找等量关系，题目给出两个明确的总量：总头数共36，总手数共108，这就是两个列方程的依据；第二步分别计算哪吒、夜叉的总头数和总手数：每个哪吒有3个头、6只手，x个哪吒的总头数为3x，总手数为6x；每个夜叉有1个头、8只手，y个夜叉的总头数为y，总手数为8y；第三步将对应数量代入等量关系列方程组，再匹配选项即可，注意不要混淆哪吒和夜叉的头、手数量。
【解析】
根据“共有36个头”的等量关系：哪吒总头数+夜叉总头数=36，代入对应数量可得方程：$3x+y=36$；
根据“共有108只手”的等量关系：哪吒总手数+夜叉总手数=108，代入对应数量可得方程：$6x+8y=108$；
联立得方程组$\begin{cases} 3x+y=36 \\ 6x+8y=108 \end{cases}$，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 列二元一次方程组 2. 等量关系识别
【点评】
本题结合我国古代数学经典问题设置情境，考查学生提取有效信息、建立方程模型的能力，解题时注意区分不同主体的对应数量，避免因粗心选错。
【难度系数】
0.8
本题考查实际问题抽象二元一次方程组，解题思路如下：第一步找等量关系，题目给出两个明确的总量：总头数共36，总手数共108，这就是两个列方程的依据；第二步分别计算哪吒、夜叉的总头数和总手数：每个哪吒有3个头、6只手，x个哪吒的总头数为3x，总手数为6x；每个夜叉有1个头、8只手，y个夜叉的总头数为y，总手数为8y；第三步将对应数量代入等量关系列方程组，再匹配选项即可，注意不要混淆哪吒和夜叉的头、手数量。
【解析】
根据“共有36个头”的等量关系：哪吒总头数+夜叉总头数=36，代入对应数量可得方程：$3x+y=36$；
根据“共有108只手”的等量关系：哪吒总手数+夜叉总手数=108，代入对应数量可得方程：$6x+8y=108$；
联立得方程组$\begin{cases} 3x+y=36 \\ 6x+8y=108 \end{cases}$，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 列二元一次方程组 2. 等量关系识别
【点评】
本题结合我国古代数学经典问题设置情境，考查学生提取有效信息、建立方程模型的能力，解题时注意区分不同主体的对应数量，避免因粗心选错。
【难度系数】
0.8
2[2025四川广安中考]公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数$\sqrt{2}$。他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”。请估计$\sqrt{2}$的值在（
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
A
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
2.A 【解析】$\because 1＜2＜4,\therefore 1＜\sqrt{2}＜2,\therefore$ 估计$\sqrt{2}$的值在1和2之间,故选A.
解析
【分析】
要估算$\sqrt{2}$的取值范围，我们可以采用“夹逼法”：首先找到与被开方数2相邻的两个正整数的完全平方数，因为算术平方根随被开方数的增大而增大，对这三个数同时取算术平方根，就能确定$\sqrt{2}$的取值区间。
【解析】
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，
$\therefore$ 对三个数同时取算术平方根可得：$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，
即$1＜\sqrt{2}＜2$，
$\therefore \sqrt{2}$的值在1和2之间，故选A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算，算术平方根的性质
【点评】
本题考查无理数大小的估算，核心方法是利用“夹逼法”找相邻的完全平方数，属于基础题型，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要估算$\sqrt{2}$的取值范围，我们可以采用“夹逼法”：首先找到与被开方数2相邻的两个正整数的完全平方数，因为算术平方根随被开方数的增大而增大，对这三个数同时取算术平方根，就能确定$\sqrt{2}$的取值区间。
【解析】
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，
$\therefore$ 对三个数同时取算术平方根可得：$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，
即$1＜\sqrt{2}＜2$，
$\therefore \sqrt{2}$的值在1和2之间，故选A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算，算术平方根的性质
【点评】
本题考查无理数大小的估算，核心方法是利用“夹逼法”找相邻的完全平方数，属于基础题型，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3[2024内蒙古通辽中考]剪纸是我国民间艺术之一,如图放置的剪纸作品,它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合,则点$A(-4,2)$关于对称轴对称的点的坐标为 (
A.$(-4,-2)$
B.$(4,-2)$
C.$(4,2)$
D.$(-2,-4)$
C
)A.$(-4,-2)$
B.$(4,-2)$
C.$(4,2)$
D.$(-2,-4)$
答案
3.C 【解析】$\because$ 剪纸图案的对称轴是$y$轴,$\therefore$ 点$A(-4,2)$关于对称轴对称的点的坐标为$(4,2)$.故选C.
解析
【分析】
解题时首先观察剪纸图案的特征，结合题目给出的“对称轴与坐标轴重合”的条件，可判断出该剪纸的对称轴为y轴；接下来回忆关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，最后代入点A的坐标计算即可得到对称点的坐标。
【解析】
由图可知，该剪纸作品沿y轴折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，因此它的对称轴是y轴。
根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征：两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。
已知点A的坐标为$(-4,2)$，则其关于y轴对称的点的横坐标为$-(-4)=4$，纵坐标仍为2，即对称点坐标为$(4,2)$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的识别；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题结合我国传统民间剪纸艺术出题，将传统文化与数学知识相结合，考查的内容较为基础，重点需要学生掌握不同对称方式下点的坐标变化规律。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察剪纸图案的特征，结合题目给出的“对称轴与坐标轴重合”的条件，可判断出该剪纸的对称轴为y轴；接下来回忆关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，最后代入点A的坐标计算即可得到对称点的坐标。
【解析】
由图可知，该剪纸作品沿y轴折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，因此它的对称轴是y轴。
根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征：两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。
已知点A的坐标为$(-4,2)$，则其关于y轴对称的点的横坐标为$-(-4)=4$，纵坐标仍为2，即对称点坐标为$(4,2)$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的识别；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题结合我国传统民间剪纸艺术出题，将传统文化与数学知识相结合，考查的内容较为基础，重点需要学生掌握不同对称方式下点的坐标变化规律。
【难度系数】
0.9
4[2025广东中考]《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数,则a,b,c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
(1)请补全上表中的勾股数.
(2)根据上表中数据规律,用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a,b,c,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明.
(3)某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案,该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1 m.如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花?
(1)请补全上表中的勾股数.
(2)根据上表中数据规律,用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a,b,c,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明.
(3)某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案,该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1 m.如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花?
答案
4.【解】(1)令所求的数为$b$,则$b^2=26^2-10^2=(26+10)(26-10)=36×16$,
解得$b=24$或$b=-24$(舍去),
故答案为24.
(2)①根据题表中数据$(3,4,5),(4,3,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85),(15,112,113),(16,63,65),(17,144,145),(19,180,181),(20,21,29)$的规律,用含字母$n,m(m＞n$,且$n,m$均为正整数)的代数式表示三角形的三边长,设$a=m^2-n^2,b=2mn$,$c=m^2+n^2$.
证明:$\because a^2=(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4$,
$b^2=(2mn)^2=4m^2n^2$,
$\therefore a^2+b^2=m^4+2m^2n^2+n^4$.
$\because c^2=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.根据勾股定理的逆定理,得$a=m^2-n^2$,$b=2mn$,$c=m^2+n^2$能够成为直角三角形的三边长.
②根据题表中数据可知$(6,8,10),(9,12,15)$,$(21,28,35)$分别是$(3,4,5)$的2倍,3倍,7倍;$(10,24,26),(14,48,50),(18,80,82),(22,120,122)$分别是$(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),(11,60,61)$的2倍,经验算$(9,40,41)$满足$m^2-n^2,2mn$,$m^2+n^2$.
因此,题表中数据能用含字母$n,m,k(m＞n$,且$n,m$,$k$均为正整数)的代数式表示三角形的三边长,设$a=k(m^2-n^2),b=2mnk$,$c=k(m^2+n^2)$.
证明:$\because a^2=[k(m^2-n^2)]^2=m^4k^2-2m^2n^2k^2+n^4k^2$,
$b^2=(2mnk)^2=4m^2n^2k^2$,
$\therefore a^2+b^2=m^4k^2+2m^2n^2k^2+n^4k^2$.
$\because c^2=[k(m^2+n^2)]^2=m^4k^2+2m^2n^2k^2+n^4k^2$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
根据勾股定理的逆定理,得$k(m^2-n^2),2mnk$,$k(m^2+n^2)$能够成为直角三角形的三边长,所以利用$a=k(m^2-n^2),b=2mnk,c=k(m^2+n^2)$能够表示出题表中所有勾股数组.
(3)依题意设$a=20$,且直角三角形三边长均为正整数.由勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$,则有$c^2-b^2=20^2$,即$(c+b)(c-b)=400$.下面分4种情况讨论.
①$\begin{cases} c+b=40, \\ c-b=10, \end{cases}$
解得$\begin{cases} c=25, \\ b=15. \end{cases}$
$\because a＞b,\therefore$ 此种情况舍去.
②$\begin{cases} c+b=100, \\ c-b=4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} c=52, \\ b=48. \end{cases}$
所需花为$4×120=480$(株).
③$\begin{cases} c+b=200, \\ c-b=2, \end{cases}$
解得$\begin{cases} c=101, \\ b=99. \end{cases}$
所需花为$4×220=880$(株).
④$\begin{cases} c+b=50, \\ c-b=8, \end{cases}$
解得$\begin{cases} c=29, \\ b=21. \end{cases}$
所需花为$4×70=280$(株).
答:这块绿地最少需要种植280株花.
解得$b=24$或$b=-24$(舍去),
故答案为24.
(2)①根据题表中数据$(3,4,5),(4,3,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85),(15,112,113),(16,63,65),(17,144,145),(19,180,181),(20,21,29)$的规律,用含字母$n,m(m＞n$,且$n,m$均为正整数)的代数式表示三角形的三边长,设$a=m^2-n^2,b=2mn$,$c=m^2+n^2$.
证明:$\because a^2=(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4$,
$b^2=(2mn)^2=4m^2n^2$,
$\therefore a^2+b^2=m^4+2m^2n^2+n^4$.
$\because c^2=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.根据勾股定理的逆定理,得$a=m^2-n^2$,$b=2mn$,$c=m^2+n^2$能够成为直角三角形的三边长.
②根据题表中数据可知$(6,8,10),(9,12,15)$,$(21,28,35)$分别是$(3,4,5)$的2倍,3倍,7倍;$(10,24,26),(14,48,50),(18,80,82),(22,120,122)$分别是$(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),(11,60,61)$的2倍,经验算$(9,40,41)$满足$m^2-n^2,2mn$,$m^2+n^2$.
因此,题表中数据能用含字母$n,m,k(m＞n$,且$n,m$,$k$均为正整数)的代数式表示三角形的三边长,设$a=k(m^2-n^2),b=2mnk$,$c=k(m^2+n^2)$.
证明:$\because a^2=[k(m^2-n^2)]^2=m^4k^2-2m^2n^2k^2+n^4k^2$,
$b^2=(2mnk)^2=4m^2n^2k^2$,
$\therefore a^2+b^2=m^4k^2+2m^2n^2k^2+n^4k^2$.
$\because c^2=[k(m^2+n^2)]^2=m^4k^2+2m^2n^2k^2+n^4k^2$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
根据勾股定理的逆定理,得$k(m^2-n^2),2mnk$,$k(m^2+n^2)$能够成为直角三角形的三边长,所以利用$a=k(m^2-n^2),b=2mnk,c=k(m^2+n^2)$能够表示出题表中所有勾股数组.
(3)依题意设$a=20$,且直角三角形三边长均为正整数.由勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$,则有$c^2-b^2=20^2$,即$(c+b)(c-b)=400$.下面分4种情况讨论.
①$\begin{cases} c+b=40, \\ c-b=10, \end{cases}$
解得$\begin{cases} c=25, \\ b=15. \end{cases}$
$\because a＞b,\therefore$ 此种情况舍去.
②$\begin{cases} c+b=100, \\ c-b=4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} c=52, \\ b=48. \end{cases}$
所需花为$4×120=480$(株).
③$\begin{cases} c+b=200, \\ c-b=2, \end{cases}$
解得$\begin{cases} c=101, \\ b=99. \end{cases}$
所需花为$4×220=880$(株).
④$\begin{cases} c+b=50, \\ c-b=8, \end{cases}$
解得$\begin{cases} c=29, \\ b=21. \end{cases}$
所需花为$4×70=280$(株).
答:这块绿地最少需要种植280株花.
解析
【分析】
(1) 已知勾股数中的斜边和一条直角边，直接用勾股定理计算另一条直角边，结合勾股数为正整数的要求舍去负解即可。
(2) 先观察基础勾股数的特征，可发现其能表示为两个正整数的平方差、两倍乘积、平方和的形式，所有勾股数都是基础勾股数的正整数倍，因此引入倍数参数k，再通过勾股定理逆定理证明该代数式满足直角三角形三边关系即可。
(3) 首先根据“种21株花，间隔1m”得出最短边长为20m，要总花量最少则需要直角三角形周长最小，即找最短边为20的勾股数中周长最小的一组。将勾股定理变形为(c+b)(c-b)=400，列举所有正整数解，筛选符合要求的解后计算总花量即可。
【解析】
(1) 设所求直角边长为$b$，根据勾股定理：
$b^2=26^2-10^2=(26+10)(26-10)=36×16=576$
解得$b=24$（边长为正，舍去$b=-24$）。
(2) 观察表中勾股数规律，设$m＞n$，$k、m、n$均为正整数，三边长可表示为：
$a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$
证明如下：
$\because a^2=[k(m^2-n^2)]^2=k^2(m^4-2m^2n^2+n^4)$
$b^2=(2kmn)^2=4k^2m^2n^2$
$\therefore a^2+b^2=k^2(m^4+2m^2n^2+n^4)$
又$\because c^2=[k(m^2+n^2)]^2=k^2(m^4+2m^2n^2+n^4)$
$\therefore a^2+b^2=c^2$，由勾股定理逆定理可知，这三个代数式可构成直角三角形三边长，能表示表中所有勾股数。
(3) 最短边种21株花，相邻间隔1m，因此最短边长为$21-1=20\mathrm{m}$。设三边长为$a=20$，$b$，$c$（$c$为斜边），由勾股定理得：
$c^2-b^2=20^2=400$，即$(c+b)(c-b)=400$，其中$c＞b＞20$，$c、b$均为正整数，$c+b$与$c-b$同奇偶。
列举所有正整数解：
①$\begin{cases} c+b=40 \\ c-b=10 \end{cases}$，解得$\begin{cases} c=25 \\ b=15 \end{cases}$，此时$b=15＜20$，不符合最短边为20的要求，舍去；
②$\begin{cases} c+b=100 \\ c-b=4 \end{cases}$，解得$\begin{cases} c=52 \\ b=48 \end{cases}$，周长为$20+48+52=120$，总花量为$4×120=480$株；
③$\begin{cases} c+b=200 \\ c-b=2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} c=101 \\ b=99 \end{cases}$，周长为$20+99+101=220$，总花量为$4×220=880$株；
④$\begin{cases} c+b=50 \\ c-b=8 \end{cases}$，解得$\begin{cases} c=29 \\ b=21 \end{cases}$，周长为$20+21+29=70$，总花量为$4×70=280$株。
比较得最少种植280株。
【答案】
(1) $\boxed{24}$
(2) $a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$（$m＞n$，$k、m、n$均为正整数）
(3) $\boxed{280}$株
【知识点】
勾股定理及逆定理，勾股数，因式分解的应用
【点评】
本题以古代数学著作《九章算术》中的勾股数为背景，逐层考查勾股相关知识，既有基础运算，又有规律探究和实际场景应用，能够有效考查学生的逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知勾股数中的斜边和一条直角边，直接用勾股定理计算另一条直角边，结合勾股数为正整数的要求舍去负解即可。
(2) 先观察基础勾股数的特征，可发现其能表示为两个正整数的平方差、两倍乘积、平方和的形式，所有勾股数都是基础勾股数的正整数倍，因此引入倍数参数k，再通过勾股定理逆定理证明该代数式满足直角三角形三边关系即可。
(3) 首先根据“种21株花，间隔1m”得出最短边长为20m，要总花量最少则需要直角三角形周长最小，即找最短边为20的勾股数中周长最小的一组。将勾股定理变形为(c+b)(c-b)=400，列举所有正整数解，筛选符合要求的解后计算总花量即可。
【解析】
(1) 设所求直角边长为$b$，根据勾股定理：
$b^2=26^2-10^2=(26+10)(26-10)=36×16=576$
解得$b=24$（边长为正，舍去$b=-24$）。
(2) 观察表中勾股数规律，设$m＞n$，$k、m、n$均为正整数，三边长可表示为：
$a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$
证明如下：
$\because a^2=[k(m^2-n^2)]^2=k^2(m^4-2m^2n^2+n^4)$
$b^2=(2kmn)^2=4k^2m^2n^2$
$\therefore a^2+b^2=k^2(m^4+2m^2n^2+n^4)$
又$\because c^2=[k(m^2+n^2)]^2=k^2(m^4+2m^2n^2+n^4)$
$\therefore a^2+b^2=c^2$，由勾股定理逆定理可知，这三个代数式可构成直角三角形三边长，能表示表中所有勾股数。
(3) 最短边种21株花，相邻间隔1m，因此最短边长为$21-1=20\mathrm{m}$。设三边长为$a=20$，$b$，$c$（$c$为斜边），由勾股定理得：
$c^2-b^2=20^2=400$，即$(c+b)(c-b)=400$，其中$c＞b＞20$，$c、b$均为正整数，$c+b$与$c-b$同奇偶。
列举所有正整数解：
①$\begin{cases} c+b=40 \\ c-b=10 \end{cases}$，解得$\begin{cases} c=25 \\ b=15 \end{cases}$，此时$b=15＜20$，不符合最短边为20的要求，舍去；
②$\begin{cases} c+b=100 \\ c-b=4 \end{cases}$，解得$\begin{cases} c=52 \\ b=48 \end{cases}$，周长为$20+48+52=120$，总花量为$4×120=480$株；
③$\begin{cases} c+b=200 \\ c-b=2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} c=101 \\ b=99 \end{cases}$，周长为$20+99+101=220$，总花量为$4×220=880$株；
④$\begin{cases} c+b=50 \\ c-b=8 \end{cases}$，解得$\begin{cases} c=29 \\ b=21 \end{cases}$，周长为$20+21+29=70$，总花量为$4×70=280$株。
比较得最少种植280株。
【答案】
(1) $\boxed{24}$
(2) $a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$（$m＞n$，$k、m、n$均为正整数）
(3) $\boxed{280}$株
【知识点】
勾股定理及逆定理，勾股数，因式分解的应用
【点评】
本题以古代数学著作《九章算术》中的勾股数为背景，逐层考查勾股相关知识，既有基础运算，又有规律探究和实际场景应用，能够有效考查学生的逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
