20. $\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2×(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}-1.$
以上这种化简过程叫作分母有理化.$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$还可以用以下方法化简：
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3})^2-1^2}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1.$
(1)请用其中一种方法化简：$\frac{4}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$；
(2)请直接写出$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-2}}(n≥2)$的结果；
(3)化简：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$+\dots+\frac{1}{\sqrt{101}+\sqrt{99}}.$

20.解:(1)原式$=\frac{4(\sqrt{15}+\sqrt{11})}{(\sqrt{15}-\sqrt{11})(\sqrt{15}+\sqrt{11})}=\frac{4(\sqrt{15}+\sqrt{11})}{4}=\sqrt{15}+\sqrt{11}.$
(2)$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-2}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-2}(n≥ 2).$
(3)原式$=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)+\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\dots+\frac{1}{2}(\sqrt{101}-\sqrt{99})$
$=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\dots+\sqrt{101}-\sqrt{99})=\frac{\sqrt{101}-1}{2}.$

【分析】
本题围绕二次根式的分母有理化展开：(1)化简时利用平方差公式，给分子分母同乘分母的共轭根式$\sqrt{15}+\sqrt{11}$，消去分母的根号即可得到结果；(2)对一般形式做分母有理化，即可推导得到通用结论；(3)先利用(2)的规律把每一项拆成两个根式差的$\frac{1}{2}$的形式，观察发现拆分后中间项可以相互抵消，仅保留首尾项计算即可得到最终结果。
【解析】
(1) 对$\frac{4}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$进行分母有理化，给分子、分母同乘$\sqrt{15}+\sqrt{11}$：
原式$=\frac{4(\sqrt{15}+\sqrt{11})}{(\sqrt{15}-\sqrt{11})(\sqrt{15}+\sqrt{11})}=\frac{4(\sqrt{15}+\sqrt{11})}{(\sqrt{15})^2-(\sqrt{11})^2}=\frac{4(\sqrt{15}+\sqrt{11})}{15-11}=\frac{4(\sqrt{15}+\sqrt{11})}{4}=\sqrt{15}+\sqrt{11}$。
(2) 对$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-2}}(n≥2)$进行分母有理化，给分子、分母同乘$\sqrt{n}-\sqrt{n-2}$：
原式$=\frac{2(\sqrt{n}-\sqrt{n-2})}{(\sqrt{n}+\sqrt{n-2})(\sqrt{n}-\sqrt{n-2})}=\frac{2(\sqrt{n}-\sqrt{n-2})}{n-(n-2)}=\frac{2(\sqrt{n}-\sqrt{n-2})}{2}=\sqrt{n}-\sqrt{n-2}$。
(3) 根据(2)的结论可得变形规律：$\frac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a}}=\frac{1}{2}(\sqrt{a+2}-\sqrt{a})$，将原式各项依次变形：
$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)$，$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})$，$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$，……，$\frac{1}{\sqrt{101}+\sqrt{99}}=\frac{1}{2}(\sqrt{101}-\sqrt{99})$。
代入原式得：
原式$=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)+\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\dots+\frac{1}{2}(\sqrt{101}-\sqrt{99})$
提取公因式$\frac{1}{2}$，合并括号内的项后中间项相互抵消：
$=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\dots+\sqrt{101}-\sqrt{99})=\frac{1}{2}(\sqrt{101}-1)=\frac{\sqrt{101}-1}{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{15}+\sqrt{11}$；(2) $\sqrt{n}-\sqrt{n-2}(n≥2)$；(3) $\frac{\sqrt{101}-1}{2}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，裂项相消求和
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心是掌握分母有理化的方法，通过找规律将复杂的多项求和转化为抵消简化的形式，能够很好地考察运算能力和规律探究能力。
【难度系数】
0.7