19.如图,已知平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,且$BM=DN$,$AC=2OM$.
(1)求证:四边形AMCN是矩形;
(2)若$∠ BAD=135°$,$CD=2$,$AB⊥ AC$,求对角线MN的长.

19.(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore OA=OC,OB=OD.$
$\because$ 对角线 $BD$ 上的两点 $M,N$ 满足 $BM=DN$,
$\therefore OB-BM=OD-DN$,即 $OM=ON$.
$\therefore$ 四边形 $AMCN$ 是平行四边形.
$\because AC=2OM$,
$\therefore MN=AC$.
$\therefore$ 四边形 $AMCN$ 是矩形.
(2)解:由(1)得 $MN=AC$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AB=CD=2,AD// BC$.
$\therefore ∠ ABC+∠ BAD=180°$.
$\therefore ∠ ABC=45°$.
$\because AB⊥ AC$,
$\therefore ∠ BAC=90°$.
$\therefore△ ABC$ 是等腰直角三角形.
$\therefore AC=AB=2$.
$\therefore MN=2.$

【分析】
(1) 要证明四边形AMCN是矩形，可先证其为平行四边形，再证明对角线相等即可：首先利用平行四边形ABCD对角线互相平分的性质，得到OA=OC、OB=OD，结合已知BM=DN，可推出OM=ON，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”先判定AMCN是平行四边形；再结合AC=2OM，可得平行四边形AMCN的对角线AC与MN相等，即可判定其为矩形。
(2) 求MN的长度，由(1)的结论可知MN=AC，因此只需计算AC的长度即可：利用平行四边形对边相等得AB=CD=2，再由平行四边形邻角互补求出∠ABC=45°，结合AB⊥AC可知△ABC是等腰直角三角形，得AC=AB，即可求出AC长度，进而得到MN的长。
【解析】
(1)证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OA=OC,OB=OD.
∵ 对角线BD上的两点M,N满足BM=DN,
∴ OB-BM=OD-DN,即OM=ON.
∴ 四边形AMCN是平行四边形.
∵ AC=2OM,
∴ MN=2OM=AC.
∴ 四边形AMCN是矩形.
(2)解:
由(1)得MN=AC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB=CD=2,AD//BC.
∴ ∠ABC+∠BAD=180°.
∵ ∠BAD=135°,
∴ ∠ABC=180°-135°=45°.
∵ AB⊥AC,
∴ ∠BAC=90°.
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴ AC=AB=2.
∴ MN=2.
【答案】
(1) 四边形AMCN是矩形，证明成立；
(2) MN的长为2.
【知识点】
平行四边形的性质与判定；矩形的判定；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的判定与性质，以及等腰直角三角形的相关计算，解题的关键是灵活运用特殊四边形对角线、边角的性质完成线段和角度的转化，整体侧重对几何基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7