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18.在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$M$是$BC$的中点，$MD⊥ AB$于$D$，求证：$AD^2=AC^2+BD^2$. 
答案
18.证明:连接$MA$.
$\because MD⊥ AB$,
$\therefore AD^2=AM^2-MD^2$,
$BM^2=BD^2+MD^2$.
$\because ∠ C=90°$,
$\therefore AM^2=AC^2+CM^2$.
$\because M$ 为 $BC$ 中点,
$\therefore BM=MC$.
$\therefore AD^2=AC^2+BD^2.$
$\because MD⊥ AB$,
$\therefore AD^2=AM^2-MD^2$,
$BM^2=BD^2+MD^2$.
$\because ∠ C=90°$,
$\therefore AM^2=AC^2+CM^2$.
$\because M$ 为 $BC$ 中点,
$\therefore BM=MC$.
$\therefore AD^2=AC^2+BD^2.$
解析
【分析】
本题是勾股定理应用类的证明题，待证等式均为线段平方的和差关系，结合题干给出的∠C=90°、MD⊥AB两个直角条件，优先考虑用勾股定理推导。首先通过连接辅助线MA，构造出Rt△ACM、Rt△AMD、Rt△BMD三个直角三角形，分别写出每个直角三角形对应的勾股定理表达式，再利用M是BC中点的性质得到CM=BM，对表达式中的中间量进行等量代换，消去AM²、MD²这类公共项，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：连接MA。
$\because MD⊥AB$，
$\therefore$ 由勾股定理可得：$AD^2=AM^2-MD^2$，$BM^2=BD^2+MD^2$。
$\because ∠C=90°$，
$\therefore$ 在$Rt△ ACM$中，由勾股定理可得：$AM^2=AC^2+CM^2$。
$\because M$为$BC$的中点，
$\therefore BM=MC$。
将$AM^2=AC^2+CM^2$代入$AD^2=AM^2-MD^2$，再把$CM$替换为$BM$，结合$BM^2=BD^2+MD^2$代换，可得：
$AD^2=AC^2+BM^2 - MD^2=AC^2 + (BD^2+MD^2) - MD^2=AC^2+BD^2$，原式得证。
【答案】
$AD^2=AC^2+BD^2$
【知识点】
勾股定理，线段中点性质，等量代换
【点评】
本题属于勾股定理的典型应用题型，解题的核心是通过添加辅助线构造直角三角形，将分散的线段平方关系建立关联，再利用等量代换消去中间量得到结论，能够较好地锻炼学生的辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
本题是勾股定理应用类的证明题，待证等式均为线段平方的和差关系，结合题干给出的∠C=90°、MD⊥AB两个直角条件，优先考虑用勾股定理推导。首先通过连接辅助线MA，构造出Rt△ACM、Rt△AMD、Rt△BMD三个直角三角形，分别写出每个直角三角形对应的勾股定理表达式，再利用M是BC中点的性质得到CM=BM，对表达式中的中间量进行等量代换，消去AM²、MD²这类公共项，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：连接MA。
$\because MD⊥AB$，
$\therefore$ 由勾股定理可得：$AD^2=AM^2-MD^2$，$BM^2=BD^2+MD^2$。
$\because ∠C=90°$，
$\therefore$ 在$Rt△ ACM$中，由勾股定理可得：$AM^2=AC^2+CM^2$。
$\because M$为$BC$的中点，
$\therefore BM=MC$。
将$AM^2=AC^2+CM^2$代入$AD^2=AM^2-MD^2$，再把$CM$替换为$BM$，结合$BM^2=BD^2+MD^2$代换，可得：
$AD^2=AC^2+BM^2 - MD^2=AC^2 + (BD^2+MD^2) - MD^2=AC^2+BD^2$，原式得证。
【答案】
$AD^2=AC^2+BD^2$
【知识点】
勾股定理，线段中点性质，等量代换
【点评】
本题属于勾股定理的典型应用题型，解题的核心是通过添加辅助线构造直角三角形，将分散的线段平方关系建立关联，再利用等量代换消去中间量得到结论，能够较好地锻炼学生的辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
