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15.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=60°$，$AC=1$，$D$是边$AB$的中点，$E$是边$BC$上一点.若$DE$平分$△ ABC$的周长，则$DE$的长是
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
。答案
15.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
首先结合DE平分△ABC周长、D是AB中点的条件推导边的关系：因为AD=BD，周长平分可推出AC+CE=BE；接下来构造辅助线，延长BC至点F，使CF=AC，即可推出E是BF中点，此时DE就是△ABF的中位线，可将求DE的长度转化为求$\frac{1}{2}AF$的长度；最后结合已知∠ACB=60°、AC=CF=1，利用等腰三角形性质和勾股定理求出AF的长度，即可得到DE的长。
【解析】
解：延长BC到点F，使$CF=AC$，连接$AF$。
∵ $DE$平分$△ABC$的周长，$D$是$AB$中点，
∴ $AD=BD$，且$AC + CE + AD = BE + BD$，
化简得：$AC + CE = BE$。
∵ $CF=AC$，
∴ $CF + CE = BE$，即$EF=BE$，则$E$是$BF$的中点。
又
∵ $D$是$AB$的中点，
∴ $DE$是$△ABF$的中位线，可得$DE = \frac{1}{2}AF$。
∵ $∠ACB=60°$，
∴ $∠ACF=180° - ∠ACB=120°$。
又
∵ $AC=CF=1$，$△ACF$是等腰三角形，过点$C$作$CG⊥AF$于点$G$，
根据等腰三角形三线合一，得$AG=GF$，$∠ACG=\frac{1}{2}∠ACF=60°$，则$∠CAG=30°$。
在$Rt△ACG$中，$CG=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{AC^2 - CG^2}=\sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $AF=2AG=\sqrt{3}$，
∴ $DE=\frac{1}{2}AF=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是周长性质、三角形中位线、等腰三角形与勾股定理的综合应用题，解题的核心是通过构造辅助线将待求线段转化为三角形中位线，建立已知条件和待求量的联系，是几何部分的典型中等难度题型。
【难度系数】
0.6
首先结合DE平分△ABC周长、D是AB中点的条件推导边的关系：因为AD=BD，周长平分可推出AC+CE=BE；接下来构造辅助线，延长BC至点F，使CF=AC，即可推出E是BF中点，此时DE就是△ABF的中位线，可将求DE的长度转化为求$\frac{1}{2}AF$的长度；最后结合已知∠ACB=60°、AC=CF=1，利用等腰三角形性质和勾股定理求出AF的长度，即可得到DE的长。
【解析】
解：延长BC到点F，使$CF=AC$，连接$AF$。
∵ $DE$平分$△ABC$的周长，$D$是$AB$中点，
∴ $AD=BD$，且$AC + CE + AD = BE + BD$，
化简得：$AC + CE = BE$。
∵ $CF=AC$，
∴ $CF + CE = BE$，即$EF=BE$，则$E$是$BF$的中点。
又
∵ $D$是$AB$的中点，
∴ $DE$是$△ABF$的中位线，可得$DE = \frac{1}{2}AF$。
∵ $∠ACB=60°$，
∴ $∠ACF=180° - ∠ACB=120°$。
又
∵ $AC=CF=1$，$△ACF$是等腰三角形，过点$C$作$CG⊥AF$于点$G$，
根据等腰三角形三线合一，得$AG=GF$，$∠ACG=\frac{1}{2}∠ACF=60°$，则$∠CAG=30°$。
在$Rt△ACG$中，$CG=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{AC^2 - CG^2}=\sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $AF=2AG=\sqrt{3}$，
∴ $DE=\frac{1}{2}AF=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是周长性质、三角形中位线、等腰三角形与勾股定理的综合应用题，解题的核心是通过构造辅助线将待求线段转化为三角形中位线，建立已知条件和待求量的联系，是几何部分的典型中等难度题型。
【难度系数】
0.6
16.如图，直线$y = kx + b(k ＜ 0)$经过点$A(3,1)$，当$kx + b ＜ \dfrac{1}{3}x$时，$x$的取值范围为
$x＞3$
。答案
16.$x＞3$
解析
【分析】
本题可利用数形结合思想求解：不等式$kx + b ＜ \dfrac{1}{3}x$的几何意义是直线$y=kx+b$的图像位于直线$y=\dfrac{1}{3}x$图像下方时对应的$x$取值范围。首先验证$y=\dfrac{1}{3}x$是否经过点$A$，代入$x=3$得$y=\dfrac{1}{3}×3=1$，说明两条直线交点为$A(3,1)$。再结合两条直线的增减性：$y=kx+b$的$k＜0$，$y$随$x$增大而减小；$y=\dfrac{1}{3}x$的$k＞0$，$y$随$x$增大而增大，据此即可判断不等式的解集。
【解析】
1. 验证交点：把$x=3$代入$y=\dfrac{1}{3}x$，得$y=\dfrac{1}{3}×3=1$，因此正比例函数$y=\dfrac{1}{3}x$经过点$A(3,1)$，即直线$y=kx+b$与$y=\dfrac{1}{3}x$的交点为$A(3,1)$，当$x=3$时，$kx+b=\dfrac{1}{3}x$。
2. 分析增减性：直线$y=kx+b$中$k＜0$，$y$随$x$的增大而减小；直线$y=\dfrac{1}{3}x$中$k=\dfrac{1}{3}＞0$，$y$随$x$的增大而增大。
3. 结合图像判断：当$x＞3$时，直线$y=kx+b$位于直线$y=\dfrac{1}{3}x$的下方，满足$kx+b ＜ \dfrac{1}{3}x$。
因此不等式的解集为$x＞3$。
【答案】
$x＞3$
【知识点】
1.一次函数与不等式
2.函数增减性
3.数形结合思想
【点评】
本题是一次函数部分的典型题型，核心是利用数形结合思想，通过函数交点和增减性直接求解不等式解集，无需计算函数解析式，能有效考查对函数图像性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
本题可利用数形结合思想求解：不等式$kx + b ＜ \dfrac{1}{3}x$的几何意义是直线$y=kx+b$的图像位于直线$y=\dfrac{1}{3}x$图像下方时对应的$x$取值范围。首先验证$y=\dfrac{1}{3}x$是否经过点$A$，代入$x=3$得$y=\dfrac{1}{3}×3=1$，说明两条直线交点为$A(3,1)$。再结合两条直线的增减性：$y=kx+b$的$k＜0$，$y$随$x$增大而减小；$y=\dfrac{1}{3}x$的$k＞0$，$y$随$x$增大而增大，据此即可判断不等式的解集。
【解析】
1. 验证交点：把$x=3$代入$y=\dfrac{1}{3}x$，得$y=\dfrac{1}{3}×3=1$，因此正比例函数$y=\dfrac{1}{3}x$经过点$A(3,1)$，即直线$y=kx+b$与$y=\dfrac{1}{3}x$的交点为$A(3,1)$，当$x=3$时，$kx+b=\dfrac{1}{3}x$。
2. 分析增减性：直线$y=kx+b$中$k＜0$，$y$随$x$的增大而减小；直线$y=\dfrac{1}{3}x$中$k=\dfrac{1}{3}＞0$，$y$随$x$的增大而增大。
3. 结合图像判断：当$x＞3$时，直线$y=kx+b$位于直线$y=\dfrac{1}{3}x$的下方，满足$kx+b ＜ \dfrac{1}{3}x$。
因此不等式的解集为$x＞3$。
【答案】
$x＞3$
【知识点】
1.一次函数与不等式
2.函数增减性
3.数形结合思想
【点评】
本题是一次函数部分的典型题型，核心是利用数形结合思想，通过函数交点和增减性直接求解不等式解集，无需计算函数解析式，能有效考查对函数图像性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
17.计算：
(1)$\sqrt{48} - \sqrt{54} ÷ 2 + (3 - \sqrt{3})(1 + \frac{1}{\sqrt{3}})$；
(2)$\frac{2}{y}\sqrt{xy^5} × (-\frac{3}{2}\sqrt{x^3}) $
$ ÷ \frac{1}{3}\sqrt{\frac{y}{x}} \ (x＞0,y＞0)$；
(3)$(\sqrt{7} + 4)(\sqrt{7} - 4) + \sqrt{45} - (2016)^0 + (-\frac{1}{3})^{-2}$。
17.计算：
(1)$\sqrt{48} - \sqrt{54} ÷ 2 + (3 - \sqrt{3})(1 + \frac{1}{\sqrt{3}})$；
(2)$\frac{2}{y}\sqrt{xy^5} × (-\frac{3}{2}\sqrt{x^3}) $
$ ÷ \frac{1}{3}\sqrt{\frac{y}{x}} \ (x＞0,y＞0)$；(3)$(\sqrt{7} + 4)(\sqrt{7} - 4) + \sqrt{45} - (2016)^0 + (-\frac{1}{3})^{-2}$。
答案
17.解:(1)$\sqrt{48}-\sqrt{54}÷2+(3-\sqrt{3})(1+\frac{1}{\sqrt{3}})=4\sqrt{3}-3\sqrt{6}÷2+(3-\sqrt{3})×\frac{3+\sqrt{3}}{3}$
$=4\sqrt{3}-\frac{3}{2}\sqrt{6}+2.$
(2)$\frac{2}{y}\sqrt{xy^5}×(-\frac{3}{2}\sqrt{x^3y})÷\frac{1}{3}\sqrt{\frac{y}{x}}$
$=\frac{2}{y}\sqrt{xy· y^4}×(-\frac{3}{2}\sqrt{xy· x^2})×3\sqrt{\frac{x}{y}}$
$=\frac{2}{y}· y^2\sqrt{xy}×(-\frac{3x}{2}\sqrt{xy})×\frac{3}{y}\sqrt{xy}$
$=-9x^2y\sqrt{xy}.$
(3)$(\sqrt{7}+4)(\sqrt{7}-4)+\sqrt{45}-(2\ 016)^0+(-\frac{1}{3})^{-2}=7-16+3\sqrt{5}-1+9=3\sqrt{5}-1.$
$=4\sqrt{3}-\frac{3}{2}\sqrt{6}+2.$
(2)$\frac{2}{y}\sqrt{xy^5}×(-\frac{3}{2}\sqrt{x^3y})÷\frac{1}{3}\sqrt{\frac{y}{x}}$
$=\frac{2}{y}\sqrt{xy· y^4}×(-\frac{3}{2}\sqrt{xy· x^2})×3\sqrt{\frac{x}{y}}$
$=\frac{2}{y}· y^2\sqrt{xy}×(-\frac{3x}{2}\sqrt{xy})×\frac{3}{y}\sqrt{xy}$
$=-9x^2y\sqrt{xy}.$
(3)$(\sqrt{7}+4)(\sqrt{7}-4)+\sqrt{45}-(2\ 016)^0+(-\frac{1}{3})^{-2}=7-16+3\sqrt{5}-1+9=3\sqrt{5}-1.$
解析
【分析】
本题包含3个二次根式相关的计算小题，解题思路如下：
(1) 遵循先乘除后加减的运算顺序：先将前两项的二次根式化简，再计算除法，后面的括号部分可先通分计算，最后合并同类二次根式；
(2) 已知x＞0,y＞0，先把每个二次根式化简为最简二次根式，再将系数和含根号的部分分别按乘除法则计算，注意负号的运算；
(3) 分别计算每一项：第一项用平方差公式计算，第二项化简二次根式，第三项根据零指数幂性质计算，第四项根据负整数指数幂性质计算，最后合并结果即可。
【解析】
(1) 先化简各项并计算乘除：
$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$，$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$，因此$\sqrt{54}÷2=\frac{3\sqrt{6}}{2}$；
计算括号部分：$(3-\sqrt{3})(1+\frac{1}{\sqrt{3}})=(3-\sqrt{3})×\frac{3+\sqrt{3}}{3}=\frac{9-3}{3}=2$；
合并得：$4\sqrt{3}-\frac{3}{2}\sqrt{6}+2$。
(2) 先化简每个二次根式（x＞0,y＞0）：
$\frac{2}{y}\sqrt{xy^5}=\frac{2}{y}·y^2\sqrt{xy}=2y\sqrt{xy}$，$-\frac{3}{2}\sqrt{x^3y}=-\frac{3}{2}·x\sqrt{xy}$，除以$\frac{1}{3}\sqrt{\frac{y}{x}}$等价于乘以$3\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{3\sqrt{xy}}{y}$；
系数部分：$\frac{2}{y}×(-\frac{3}{2})×3=-\frac{9}{y}$；
根式部分：$\sqrt{xy^5·x^3y·\frac{x}{y}}=\sqrt{x^5y^5}=x^2y^2\sqrt{xy}$；
整体计算得：$-\frac{9}{y}·x^2y^2\sqrt{xy}=-9x^2y\sqrt{xy}$。
(3) 分别计算每一项：
由平方差公式得$(\sqrt{7}+4)(\sqrt{7}-4)=(\sqrt{7})^2-4^2=7-16=-9$；
化简得$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$；
由零指数幂性质得$(2016)^0=1$；
由负整数指数幂性质得$(-\frac{1}{3})^{-2}=(-3)^2=9$；
合并得：$-9+3\sqrt{5}-1+9=3\sqrt{5}-1$。
【答案】
(1) $4\sqrt{3}-\frac{3}{2}\sqrt{6}+2$
(2) $-9x^2y\sqrt{xy}$
(3) $3\sqrt{5}-1$
【知识点】
二次根式的混合运算，平方差公式，整数指数幂的运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，侧重考查运算顺序和运算法则的应用，计算时注意先化简二次根式再运算，乘除混合运算可将系数和根式部分分开计算降低出错率，同时要注意特殊幂的运算性质和符号的处理。
【难度系数】
0.7
本题包含3个二次根式相关的计算小题，解题思路如下：
(1) 遵循先乘除后加减的运算顺序：先将前两项的二次根式化简，再计算除法，后面的括号部分可先通分计算，最后合并同类二次根式；
(2) 已知x＞0,y＞0，先把每个二次根式化简为最简二次根式，再将系数和含根号的部分分别按乘除法则计算，注意负号的运算；
(3) 分别计算每一项：第一项用平方差公式计算，第二项化简二次根式，第三项根据零指数幂性质计算，第四项根据负整数指数幂性质计算，最后合并结果即可。
【解析】
(1) 先化简各项并计算乘除：
$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$，$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$，因此$\sqrt{54}÷2=\frac{3\sqrt{6}}{2}$；
计算括号部分：$(3-\sqrt{3})(1+\frac{1}{\sqrt{3}})=(3-\sqrt{3})×\frac{3+\sqrt{3}}{3}=\frac{9-3}{3}=2$；
合并得：$4\sqrt{3}-\frac{3}{2}\sqrt{6}+2$。
(2) 先化简每个二次根式（x＞0,y＞0）：
$\frac{2}{y}\sqrt{xy^5}=\frac{2}{y}·y^2\sqrt{xy}=2y\sqrt{xy}$，$-\frac{3}{2}\sqrt{x^3y}=-\frac{3}{2}·x\sqrt{xy}$，除以$\frac{1}{3}\sqrt{\frac{y}{x}}$等价于乘以$3\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{3\sqrt{xy}}{y}$；
系数部分：$\frac{2}{y}×(-\frac{3}{2})×3=-\frac{9}{y}$；
根式部分：$\sqrt{xy^5·x^3y·\frac{x}{y}}=\sqrt{x^5y^5}=x^2y^2\sqrt{xy}$；
整体计算得：$-\frac{9}{y}·x^2y^2\sqrt{xy}=-9x^2y\sqrt{xy}$。
(3) 分别计算每一项：
由平方差公式得$(\sqrt{7}+4)(\sqrt{7}-4)=(\sqrt{7})^2-4^2=7-16=-9$；
化简得$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$；
由零指数幂性质得$(2016)^0=1$；
由负整数指数幂性质得$(-\frac{1}{3})^{-2}=(-3)^2=9$；
合并得：$-9+3\sqrt{5}-1+9=3\sqrt{5}-1$。
【答案】
(1) $4\sqrt{3}-\frac{3}{2}\sqrt{6}+2$
(2) $-9x^2y\sqrt{xy}$
(3) $3\sqrt{5}-1$
【知识点】
二次根式的混合运算，平方差公式，整数指数幂的运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，侧重考查运算顺序和运算法则的应用，计算时注意先化简二次根式再运算，乘除混合运算可将系数和根式部分分开计算降低出错率，同时要注意特殊幂的运算性质和符号的处理。
【难度系数】
0.7
