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8.如图所示，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO。若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（
A.28°
B.52°
C.62°
D.72°
C
）A.28°
B.52°
C.62°
D.72°
答案
8.C
解析
【分析】
解题思路可分三步展开：第一步，结合菱形对边平行的性质，找到△AOM和△CON的相等角，结合已知AM=CN证明两三角形全等，得到O是AC中点；第二步，根据菱形四边相等，可知△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质，得到BO与AC垂直，即∠BOC为直角；第三步，利用菱形对边平行推出内错角相等，得到∠BCA的度数，最后根据直角三角形两锐角互余计算∠OBC的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=BC，
∴∠OAM=∠OCN，∠BCA=∠DAC。
在△AOM和△CON中：
$\{\begin{array}{l}∠OAM=∠OCN \\AM=CN \\∠AOM=∠CON\end{array} $
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴AO=CO，即O为AC的中点。
又
∵AB=BC，
∴BO⊥AC（等腰三角形三线合一），即∠BOC=90°。
已知∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°。
在Rt△BOC中，∠OBC=90°-∠BCA=90°-28°=62°。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是典型的特殊四边形与三角形结合的几何计算题，解题核心是通过全等三角形得到线段中点，结合等腰三角形三线合一构造直角，再利用角度的等量关系求解，要求学生熟练掌握菱形基本性质和三角形全等的判定方法。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步展开：第一步，结合菱形对边平行的性质，找到△AOM和△CON的相等角，结合已知AM=CN证明两三角形全等，得到O是AC中点；第二步，根据菱形四边相等，可知△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质，得到BO与AC垂直，即∠BOC为直角；第三步，利用菱形对边平行推出内错角相等，得到∠BCA的度数，最后根据直角三角形两锐角互余计算∠OBC的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=BC，
∴∠OAM=∠OCN，∠BCA=∠DAC。
在△AOM和△CON中：
$\{\begin{array}{l}∠OAM=∠OCN \\AM=CN \\∠AOM=∠CON\end{array} $
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴AO=CO，即O为AC的中点。
又
∵AB=BC，
∴BO⊥AC（等腰三角形三线合一），即∠BOC=90°。
已知∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°。
在Rt△BOC中，∠OBC=90°-∠BCA=90°-28°=62°。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是典型的特殊四边形与三角形结合的几何计算题，解题核心是通过全等三角形得到线段中点，结合等腰三角形三线合一构造直角，再利用角度的等量关系求解，要求学生熟练掌握菱形基本性质和三角形全等的判定方法。
【难度系数】
0.7
9.如果数轴上表示$a$，$b$两个数的点都在原点的左侧，且$a$在$b$的左侧，则$|a - b| + \sqrt{(a + b)^2}$的值为（
A.$-2b$
B.$2b$
C.$2a$
D.$-2a$
D
）A.$-2b$
B.$2b$
C.$2a$
D.$-2a$
答案
9.D
解析
【分析】
首先根据数轴上点的位置特征，先确定a、b的符号和大小关系：两个点都在原点左侧说明a、b均为负数，a在b左侧说明a＜b＜0。接下来回忆二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，因此原式可转化为两个绝对值相加的形式。再分别判断绝对值内代数式$a-b$和$a+b$的正负，根据绝对值的性质（负数的绝对值等于它的相反数）去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，a、b都在原点左侧，且a在b左侧，因此$a ＜ b ＜ 0$。
由此可得：
$a - b ＜ 0$，$a + b ＜ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可化简为：
$|a - b| + \sqrt{(a + b)^2} = |a - b| + |a + b|$
根据绝对值的性质化简：
$|a - b| = -(a - b) = -a + b$
$|a + b| = -(a + b) = -a - b$
将两部分相加：
原式$= (-a + b) + (-a - b) = -a + b - a - b = -2a$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，二次根式的性质
【点评】
本题是代数化简的基础题型，解题核心是先通过数轴信息确定代数式的正负，再结合绝对值和二次根式的性质化简计算，做题时要注意去绝对值时的符号变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
首先根据数轴上点的位置特征，先确定a、b的符号和大小关系：两个点都在原点左侧说明a、b均为负数，a在b左侧说明a＜b＜0。接下来回忆二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，因此原式可转化为两个绝对值相加的形式。再分别判断绝对值内代数式$a-b$和$a+b$的正负，根据绝对值的性质（负数的绝对值等于它的相反数）去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，a、b都在原点左侧，且a在b左侧，因此$a ＜ b ＜ 0$。
由此可得：
$a - b ＜ 0$，$a + b ＜ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可化简为：
$|a - b| + \sqrt{(a + b)^2} = |a - b| + |a + b|$
根据绝对值的性质化简：
$|a - b| = -(a - b) = -a + b$
$|a + b| = -(a + b) = -a - b$
将两部分相加：
原式$= (-a + b) + (-a - b) = -a + b - a - b = -2a$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，二次根式的性质
【点评】
本题是代数化简的基础题型，解题核心是先通过数轴信息确定代数式的正负，再结合绝对值和二次根式的性质化简计算，做题时要注意去绝对值时的符号变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
10.已知甲、乙两个函数图象上部分点的横坐标x与对应的纵坐标y分别如表所示.两个函数图象仅有一个交点,则交点的纵坐标y是 (
甲
乙
A.0
B.1
C.2
D.3
D
)甲
乙
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
10.D
解析
【分析】解决本题的核心是理解函数交点的定义：两个函数图象的交点，其坐标（x,y）必须同时符合两个函数的对应关系，也就是该点既在甲函数的图象上，也在乙函数的图象上。我们只需结合列表给出的两组x、y对应关系，找出同时满足两个函数的坐标，再结合“仅有一个交点”的条件，即可得到交点的纵坐标。
【解析】根据函数交点的性质，交点的坐标需要同时在两个函数的图象上，即同一x对应的y值在甲、乙两个函数的对应关系中完全相等。核对甲、乙表格中的x与y的对应值，仅存在一组坐标同时符合两个函数的对应关系，该坐标的纵坐标为3，即为交点的纵坐标。
【答案】D
【知识点】函数的交点定义, 函数的列表表示
【点评】本题考查函数交点的基础概念，解题关键是明确交点需要同时满足两个函数的对应关系，属于常规基础题，掌握基本概念即可快速解答。
【难度系数】0.8
【解析】根据函数交点的性质，交点的坐标需要同时在两个函数的图象上，即同一x对应的y值在甲、乙两个函数的对应关系中完全相等。核对甲、乙表格中的x与y的对应值，仅存在一组坐标同时符合两个函数的对应关系，该坐标的纵坐标为3，即为交点的纵坐标。
【答案】D
【知识点】函数的交点定义, 函数的列表表示
【点评】本题考查函数交点的基础概念，解题关键是明确交点需要同时满足两个函数的对应关系，属于常规基础题，掌握基本概念即可快速解答。
【难度系数】0.8
11.如图,已知在正方形ABCD中,E是BC上一点,将正方形的边CD沿DE折叠到DF,延长EF交AB于点G,连接DG.现有如下4个结论:①$AG=GF$;②AG与EC一定不相等;③$∠ GDE=45°$;④$△ BGE$的周长是一个定值.其中正确结论的个数为 (
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
11.C
解析
【分析】
首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合正方形的性质证明直角三角形全等，据此判断结论①；再通过角度的和差关系推导∠GDE的度数判断结论③；接着用参数表示出△BGE的各边，求和判断周长是否为定值，验证结论④；最后通过举反例判断结论②是否成立，最终统计正确结论的个数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠ADC=∠C=90°。
由折叠的性质可得：DC=DF，∠C=∠DFE=90°，∠CDE=∠FDE，EC=EF，
∴AD=DF，∠DFG=∠A=90°。
在$Rt△ DAG$和$Rt△ DFG$中：
$\begin{cases} DG=DG \\ AD=DF \end{cases}$
∴$Rt△ DAG≌ Rt△ DFG(HL)$，
∴AG=GF，∠ADG=∠FDG，故①正确；
∴$∠ GDE=∠ FDG+∠ FDE=\frac{1}{2}∠ ADF+\frac{1}{2}∠ CDF=\frac{1}{2}∠ ADC=\frac{1}{2}×90°=45°$，故③正确；
设正方形边长为$a$，AG=$x$，EC=$y$，则$GB=a-x$，$BE=a-y$，$GE=GF+EF=AG+EC=x+y$，
$△ BGE$的周长$=GB+BE+GE=(a-x)+(a-y)+(x+y)=2a$，为定值，故④正确；
当$AG=EC$时，$x=y$，代入勾股定理$GE^2=GB^2+BE^2$可得：
$(2x)^2=(a-x)^2+(a-x)^2$，解得$x=a(\sqrt{2}-1)$，符合$0＜x＜a$，即存在AG=EC的情况，故②错误。
综上，①③④共3个结论正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是正方形折叠类的综合题，解题的核心是利用折叠的不变性转化边和角，结合全等三角形的性质推导线段、角度的关系，要判断“一定不相等”类结论时可通过举反例验证。
【难度系数】
0.6
首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合正方形的性质证明直角三角形全等，据此判断结论①；再通过角度的和差关系推导∠GDE的度数判断结论③；接着用参数表示出△BGE的各边，求和判断周长是否为定值，验证结论④；最后通过举反例判断结论②是否成立，最终统计正确结论的个数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠ADC=∠C=90°。
由折叠的性质可得：DC=DF，∠C=∠DFE=90°，∠CDE=∠FDE，EC=EF，
∴AD=DF，∠DFG=∠A=90°。
在$Rt△ DAG$和$Rt△ DFG$中：
$\begin{cases} DG=DG \\ AD=DF \end{cases}$
∴$Rt△ DAG≌ Rt△ DFG(HL)$，
∴AG=GF，∠ADG=∠FDG，故①正确；
∴$∠ GDE=∠ FDG+∠ FDE=\frac{1}{2}∠ ADF+\frac{1}{2}∠ CDF=\frac{1}{2}∠ ADC=\frac{1}{2}×90°=45°$，故③正确；
设正方形边长为$a$，AG=$x$，EC=$y$，则$GB=a-x$，$BE=a-y$，$GE=GF+EF=AG+EC=x+y$，
$△ BGE$的周长$=GB+BE+GE=(a-x)+(a-y)+(x+y)=2a$，为定值，故④正确；
当$AG=EC$时，$x=y$，代入勾股定理$GE^2=GB^2+BE^2$可得：
$(2x)^2=(a-x)^2+(a-x)^2$，解得$x=a(\sqrt{2}-1)$，符合$0＜x＜a$，即存在AG=EC的情况，故②错误。
综上，①③④共3个结论正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是正方形折叠类的综合题，解题的核心是利用折叠的不变性转化边和角，结合全等三角形的性质推导线段、角度的关系，要判断“一定不相等”类结论时可通过举反例验证。
【难度系数】
0.6
12.若干名工人某天生产同一种零件，生产的零件数整理成条形图(如图所示).设他们生产零件的平均数为$a$，中位数为$b$，众数为$c$，则有
（
A.$b＞a＞c$
B.$c＞a＞b$
C.$a＞b＞c$
D.$b＞c＞a$
（
A
）A.$b＞a＞c$
B.$c＞a＞b$
C.$a＞b＞c$
D.$b＞c＞a$
答案
12.A
解析
【分析】
解题时首先从条形统计图中提取不同生产零件数对应的人数，再分别根据平均数、中位数、众数的定义计算出a、b、c的值，最后比较三者大小即可选出正确选项。
【解析】
首先从条形图获取数据：生产4个零件的工人有4人，生产5个零件的工人有3人，生产6个零件的工人有3人，总人数为$4+3+3=10$人。
1. 计算平均数$a$：
$a=\frac{4×4 + 5×3 + 6×3}{10}=\frac{16+15+18}{10}=\frac{49}{10}=4.9$
2. 计算中位数$b$：
将10名工人生产的零件数从小到大排序，总共有偶数个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数。前4个数据都是4，第5、6个数据都是5，因此$b=\frac{5+5}{2}=5$
3. 计算众数$c$：
生产零件数为4的人数最多，共4人，因此众数$c=4$
比较三者大小：$5＞4.9＞4$，即$b＞a＞c$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
条形统计图；平均数计算；中位数与众数
【点评】
本题结合条形统计图考查统计量的计算，核心是准确提取统计图中的数据，熟练掌握平均数、中位数、众数的定义与计算方法，是统计部分的基础典型题型。
【难度系数】
0.75
解题时首先从条形统计图中提取不同生产零件数对应的人数，再分别根据平均数、中位数、众数的定义计算出a、b、c的值，最后比较三者大小即可选出正确选项。
【解析】
首先从条形图获取数据：生产4个零件的工人有4人，生产5个零件的工人有3人，生产6个零件的工人有3人，总人数为$4+3+3=10$人。
1. 计算平均数$a$：
$a=\frac{4×4 + 5×3 + 6×3}{10}=\frac{16+15+18}{10}=\frac{49}{10}=4.9$
2. 计算中位数$b$：
将10名工人生产的零件数从小到大排序，总共有偶数个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数。前4个数据都是4，第5、6个数据都是5，因此$b=\frac{5+5}{2}=5$
3. 计算众数$c$：
生产零件数为4的人数最多，共4人，因此众数$c=4$
比较三者大小：$5＞4.9＞4$，即$b＞a＞c$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
条形统计图；平均数计算；中位数与众数
【点评】
本题结合条形统计图考查统计量的计算，核心是准确提取统计图中的数据，熟练掌握平均数、中位数、众数的定义与计算方法，是统计部分的基础典型题型。
【难度系数】
0.75
13.若分式$\frac{\sqrt{x+1}}{x}$有意义，则实数$x$的取值范围为
$x≥ -1$ 且 $x≠ 0$
。答案
13.$x≥ -1$ 且 $x≠ 0$
解析
【分析】
要确定代数式有意义时x的取值范围，需分别找到式子中各部分对x的限制条件，再取所有条件的公共范围：首先式子含二次根式，需满足二次根式的被开方数是非负数；其次式子是分式，需满足分式的分母不为0，最后合并两个条件即可得到结果。
【解析】
要使分式$\frac{\sqrt{x+1}}{x}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式$\sqrt{x+1}$的被开方数非负，即$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式的分母不为0，即$x≠0$。
综合两个条件，可得实数$x$的取值范围是$x≥-1$且$x≠0$。
【答案】
$x≥ -1$ 且 $x≠ 0$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式有意义的基础常考题，解题时需梳理清楚式子中所有限制条件，取多个条件的公共解集，注意不要遗漏分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
要确定代数式有意义时x的取值范围，需分别找到式子中各部分对x的限制条件，再取所有条件的公共范围：首先式子含二次根式，需满足二次根式的被开方数是非负数；其次式子是分式，需满足分式的分母不为0，最后合并两个条件即可得到结果。
【解析】
要使分式$\frac{\sqrt{x+1}}{x}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式$\sqrt{x+1}$的被开方数非负，即$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式的分母不为0，即$x≠0$。
综合两个条件，可得实数$x$的取值范围是$x≥-1$且$x≠0$。
【答案】
$x≥ -1$ 且 $x≠ 0$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式有意义的基础常考题，解题时需梳理清楚式子中所有限制条件，取多个条件的公共解集，注意不要遗漏分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
14.已知$x,y$为正数，且$|x^2 - 4| + (y^2 - 16)^2 = 0$.如果以$x,y$的长为两条直角边画一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为
20
.答案
14.20
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的特征：等式左侧是绝对值与平方的和，根据绝对值和平方数的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，由此可求出$x^2$与$y^2$的值；再结合勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，而以斜边为边长的正方形的面积恰好等于斜边的平方，因此无需算出$x、y$的具体值，直接将$x^2$与$y^2$相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值和平方数均为非负数，即$|x^2 - 4|≥0$，$(y^2 - 16)^2≥0$，且$|x^2 - 4| + (y^2 - 16)^2 = 0$
∴ $\begin{cases}x^2 - 4 = 0 \\ y^2 - 16 = 0\end{cases}$
解得：$x^2=4$，$y^2=16$
∵ $x、y$是直角三角形的两条直角边长，设斜边长为$c$
根据勾股定理得：$c^2=x^2+y^2=4+16=20$
∵ 以斜边为边长的正方形的面积为$c^2$
∴ 所求正方形的面积为20
【答案】
20
【知识点】
非负数的性质、勾股定理、正方形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将非负数的性质与勾股定理相结合，解题时可利用整体思想直接计算斜边平方，避免求解$x、y$的具体值，简化了计算过程，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知等式的特征：等式左侧是绝对值与平方的和，根据绝对值和平方数的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，由此可求出$x^2$与$y^2$的值；再结合勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，而以斜边为边长的正方形的面积恰好等于斜边的平方，因此无需算出$x、y$的具体值，直接将$x^2$与$y^2$相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值和平方数均为非负数，即$|x^2 - 4|≥0$，$(y^2 - 16)^2≥0$，且$|x^2 - 4| + (y^2 - 16)^2 = 0$
∴ $\begin{cases}x^2 - 4 = 0 \\ y^2 - 16 = 0\end{cases}$
解得：$x^2=4$，$y^2=16$
∵ $x、y$是直角三角形的两条直角边长，设斜边长为$c$
根据勾股定理得：$c^2=x^2+y^2=4+16=20$
∵ 以斜边为边长的正方形的面积为$c^2$
∴ 所求正方形的面积为20
【答案】
20
【知识点】
非负数的性质、勾股定理、正方形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将非负数的性质与勾股定理相结合，解题时可利用整体思想直接计算斜边平方，避免求解$x、y$的具体值，简化了计算过程，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
