1[中]如图,直线l,m相交于点O,P为这两直线外一点,且OP=2.8.若点P关于直线l,m对称的点分别是点P₁,P₂,则P₁,P₂之间的距离可能是 ()

A.0
B.5
C.6
D.7

(第1题图) (第2题图)

关键点拨：作辅助线,由对称得 $OP_1 = OP = OP_2 = 2.8$,再根据三角形三边关系定理即可得出结果.
【解析】如图,连接 $OP_1,OP_2,P_1P_2,PP_1,PP_2$.
∵ 点 P 关于直线 l,m 的对称点分别是点 $P_1,P_2$,
∴ 直线 l 垂直平分 $PP_1$,直线 m 垂直平分 $PP_2$,
∴ $OP_1=OP=OP_2=2.8$. 根据三角形三边关系定理可知 $OP_1-OP_2＜P_1P_2＜OP_1+OP_2$,即 $0＜P_1P_2＜5.6$,故选 B.

2[2026山西吕梁期末，中]如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$BC=10$，$AC=9$，$MN$为边$BC$的垂直平分线，点$D$为直线$MN$上一动点，则$△ ABD$的周长的最小值为（）

A.10
B.12
C.14
D.15

【解析】连接 DC,如图.
∵ 两点之间线段最短,
∴ AD+DC ≥ AC.
∵ MN 为边 BC 的垂直平分线,
∴ DC = BD,
∴ △ABD 的周长 = AB+AD+DB = AB+AD+DC ≥ AB+AC = 5+9 = 14,故选 C.

3[中]如图,在$△ ABC$中,D是AB的中点,$DE ⊥ AB$,$∠ ACE + ∠ BCE = 180°$,$EF ⊥ AC$交AC于F,$AC = 6$,$BC = 4$,则$AF=$.

(第3题图)
(第4题图)

思路分析：连接 AE,BE,过点 E 作 EG⊥BC 交 BC 的延长线于点 G,根据角平分线的性质以及垂直平分线的性质得出 EF=EG,AE=BE,进而判定Rt △EFC ≌ Rt△EGC,Rt△AEF≌Rt△BEG, 即可得到 CF = CG,AF = BG,据此列出方程即可解决问题.
【解析】如图,连接 AE,BE,过点 E 作 EG ⊥ BC 交 BC 的延长线于点 G.
∵ D 是 AB 的中点,DE ⊥ AB,
∴ DE 垂直平分线段 AB,
∴ AE = BE.
∵ ∠ACE+∠BCE = 180°,∠ECG+∠BCE = 180°,
∴ ∠ACE = ∠ECG,
∴ CE 是∠ACG 的平分线.
∵ EF ⊥ AC,EG ⊥ BC,
∴ EF = EG. 又
∵ CE = CE,
∴ Rt△EFC≌Rt△EGC( HL ),
∴ CF = CG.
在 Rt△AEF 和 Rt△BEG 中, $\begin{cases} EA=EB, \\ EF=EG, \end{cases}$
∴ Rt△AEF≌Rt△BEG ( HL ),
∴ AF = BG. 设 CF = CG = x,则 AF = AC - CF = 6 - x, BG = BC + CG = 4 + x,
∴ 6 - x = 4 + x,解得 x = 1,
∴ AF = 6 - 1 = 5.

4[中]如图，在平面直角坐标系中，点$A(4,0)$，$B(0,8)$，点$C$在$AB$的垂直平分线上，且$∠ ACB=90°$，则点$C$的坐标为。

【解析】分两种情况:(1)如图(1)所示,过点 C 作 CD ⊥ OB 于 D,CE ⊥ x 轴于 E.
∵ ∠BCA = ∠DCE = 90°,
∴ ∠BCD = ∠ACE = 90°-∠ACD.
∵ 点 C 在 AB 的垂直平分线上,
∴ BC = AC. 在△BCD 与△ACE 中, $\begin{cases} ∠BDC=∠AEC=90°, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ BC=AC, \end{cases}$
∴ △BCD ≌ △ACE(AAS),
∴ AE = BD,CE = CD = OE.
∵ OA = 4,OB = 8,
∴ 4+AE = 8-AE,
∴ AE = 2,
∴ OE = OD = 6,则点 C 坐标为(6,6).
如图(2)所示,过点 C 作 CD ⊥ OB 于 D,CE ⊥ x 轴于 E.
∵ ∠BCA = ∠DCE = 90°,
∴ ∠BCD = ∠ACE = 90°-∠ACD.
∵ 点 C 在 AB 的垂直平分线上,
∴ BC = AC. 在△BCD 与△ACE 中, $\begin{cases} ∠BDC=∠AEC=90°, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ BC=AC, \end{cases}$
∴ △BCD ≌ △ACE(AAS),
∴ AE = BD,CE = CD = OE,
∴ 4+OE = 8-OE,
∴ OE = 2,则点 C 坐标为(-2,2). 综上可知点 C 坐标为(6,6)或(-2,2).

5[2025河北邯郸质检,中]如图,点P在∠AOB的平分线上,点E,F分别在OA,OB上,且∠OFP=∠OEP.
(1)求证:PF=PE.
(2)延长FP,EP,分别交OA,OB于点C,D,连接CD,若DP平分∠CDB,回答下列问题:
①试说明:CP平分∠ACD;
②若$CD=2$,$S_{△ PCD}=2$,求点P到射线OA的距离.

(1)【证明】
∵ 点 P 在∠AOB 的平分线上,
∴ ∠EOP = ∠FOP. 又
∵ ∠OFP = ∠OEP,OP = OP,
∴ △OFP≌△OEP(AAS),
∴ PF = PE.
(2)①如图,过点 P 作 OA,OB,CD 的垂线,垂足分别为 I,G,H.
∵ 点 P 在∠AOB 的平分线上,
∴ PG = PI.
∵ DP 平分∠CDB,
∴ PG = PH,
∴ PH = PI,
∴ CP 平分∠ACD.
②由(1)得△OFP≌△OEP,
∴ OF = OE. 又
∵ ∠OFC = ∠OED,∠FOC = ∠EOD,
∴ △FOC≌△EOD(ASA),
∴ OD = OC,DE = CF.
∵ PF = PE,
∴ PD = PC,
∴ OP 是线段 CD 的垂直平分线,则点 H 是 OP 与 CD 的交点.
∵ CD = 2,$S_{△PCD}=2$,
∴ $\frac{1}{2}×CD×PH=2$,
∴ PH = 2,
∴ PH = PI = 2,即点 P 到射线 OA 的距离为 2.

6 核心素养 推理能力[中]如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AB=25 cm,DA=15 cm,CB=10 cm.动点E从A点出发,以2 cm/s的速度向B点移动,设移动的时间为x s.
(1)当x为何值时,点E在线段CD的垂直平分线上?并说明理由.
(2)在(1)的条件下,判断DE与CE的位置关系,并说明理由.

(1)当 x = 5 时,点 E 在线段 CD 的垂直平分线上. 理由:当 x = 5 时,AE = 2×5 = 10(cm).
∵ AB = 25 cm,DA = 15 cm, CB = 10 cm,
∴ BE = AD = 15 cm,AE = BC. 在△ADE 和△BEC 中, $\begin{cases} AD=BE, \\ ∠A=∠B, \\ AE=BC, \end{cases}$
∴ △ADE≌△BEC(SAS),
∴ DE = CE,
∴ 点 E 在线段 CD 的垂直平分线上. 故当 x = 5 时,点 E 在线段 CD 的垂直平分线上.
(2)DE 与 CE 的位置关系是 DE ⊥ CE. 理由:
∵ △ADE≌△BEC,
∴ ∠ADE = ∠CEB.
∵ ∠A = 90°,
∴ ∠ADE+∠AED = 90°,
∴ ∠AED + ∠CEB = 90°,
∴ ∠DEC = 180°-(∠AED+∠CEB)=90°,
∴ DE ⊥ CE.