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1 [2026广东深圳期中]如图，在$△ ABC$中，$DE$是线段$BC$的垂直平分线，点$F$是线段$AC$的中点.若$CF=5$，$AB=8$，则$△ ABE$的周长为（
A.13
B.16
C.17
D.18
D
）A.13
B.16
C.17
D.18
答案
∵ 点 F 是线段 AC 的中点,CF=5,
∴ AC=2CF=2×5=10.
∵ DE 是线段 BC 的垂直平分线,
∴ EB = EC,
∴ △ABE 的周长 = AB+AE+EB = AB+AE+EC = AB+AC = 8+10 = 18,故选 D.
2[2025河北石家庄期中]在$△ ABC$中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,P，AC的垂直平分线分别交AC,BC于点N,Q.若$BC=10$，$QP=2$，则$△ AQP$的周长为
10或14
.答案
根据线段垂直平分线的性质可得AP=BP,AQ=QC,分两种情况:当点P在点Q的左侧时,当点P在点Q的右侧时,根据三角形的周长公式即可得到结果.
当点 P 在点 Q 的左侧时,如图(1)
. 由线段垂直平分线的性质可得,AP = BP,AQ = QC,∴ △AQP 的周长为 AP + AQ + PQ = BP+QC+PQ = BC = 10.
当点 P 在点 Q 的右侧时,如图(2)
. 由线段垂直平分线的性质可得,AP = BP,AQ = QC,∴ △AQP 的周长为 AP + AQ + PQ = BP + QC + PQ = BP+CP+PQ+PQ = BC+2PQ = 10+4 = 14.
综上所述,△AQP 的周长为 10 或 14.
3[2026上海宝山区期末]如图，$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，$EF$垂直平分$AC$，交$AC$于点$F$，交$BC$于点$E$，且$BD=DE$，连接$AE$.
(1)求证:$AB=EC$；
(2)若$△ ABC$的周长为$20\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$，求$DC$的长.
(1)求证:$AB=EC$；
(2)若$△ ABC$的周长为$20\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$，求$DC$的长.
答案
(1)【证明】
∵ EF 垂直平分 AC,
∴ AE = EC.
∵ AD ⊥ BC, BD = DE,
∴ AD 垂直平分 BE,
∴ AB=AE,
∴ AB=EC.
(2)【解】
∵ △ABC 的周长为 20 cm,
∴ AB+BC+AC = 20 cm.
∵ AC = 9 cm,
∴ AB + BC = 11 cm.
∵ AB = EC, BD = DE,
∴ DC = DE+EC = $\frac{1}{2}BE+\frac{1}{2}EC+\frac{1}{2}EC=\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AB+BC)=5.5\ \mathrm{cm}$.
∵ EF 垂直平分 AC,
∴ AE = EC.
∵ AD ⊥ BC, BD = DE,
∴ AD 垂直平分 BE,
∴ AB=AE,
∴ AB=EC.
(2)【解】
∵ △ABC 的周长为 20 cm,
∴ AB+BC+AC = 20 cm.
∵ AC = 9 cm,
∴ AB + BC = 11 cm.
∵ AB = EC, BD = DE,
∴ DC = DE+EC = $\frac{1}{2}BE+\frac{1}{2}EC+\frac{1}{2}EC=\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AB+BC)=5.5\ \mathrm{cm}$.
4[2026江苏南通期中]如图,在四边形ABCD中,连接AC,BD,AB=AD,CB=CD,则有（
A.AC与BD互相垂直平分
B.AC垂直平分BD
C.BD垂直平分AC
D.BD平分∠ABC
（第4题图）
（第5题图）
B
）A.AC与BD互相垂直平分
B.AC垂直平分BD
C.BD垂直平分AC
D.BD平分∠ABC
（第4题图）
（第5题图）
答案
【解析】
∵ AB = AD, CB = CD,
∴ AC 垂直平分 BD,所以 B 符合题意;由已知条件无法证明 BD 平分 AC 和 BD 平分∠ABC,所以 A、C、D 不符合题意. 故选 B.
∵ AB = AD, CB = CD,
∴ AC 垂直平分 BD,所以 B 符合题意;由已知条件无法证明 BD 平分 AC 和 BD 平分∠ABC,所以 A、C、D 不符合题意. 故选 B.
5[2025广东汕尾期中]如图,已知点A(2,3)和点B(4,1),在x轴或y轴上有一点P,且点P到点A和点B的距离相等,则点P的坐标为
(1,0)或(0,-1)
.答案
思路分析：由点P到点A和点B的距离相等可知点P在线段AB的垂直平分线上,则取格点E,F,作直线EF,易知直线EF是线段AB的垂直平分线,再求出直线EF与坐标轴的交点即可得到答案.
【解析】如图
,取格点 E(2,1),F(3,2),作直线 EF,则点 F 为 AB 的中点, AE = BE = 2,∴ AF = BF,
∴ 点 E, F 都在线段 AB 的垂直平分线上,
∴ 直线 EF 是线段 AB 的垂直平分线. 根据图易得直线 EF 与 x 轴交于点(1,0),与 y 轴交于点(0,-1).
∵ 点 P 到点 A 和点 B 的距离相等,
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线 EF 上,
∴ 点 P 的坐标为(1,0)或(0,-1).
6 如图,已知$△ ABC$,AD是$∠ BAC$的平分线,$DE ⊥ AB$于点E,$DF ⊥ AC$于点F,连接EF交AD于点G.
(1)求证:AD垂直平分EF;
(2)若$AB+AC=10$,$DE=3$,求$△ ABC$的面积.
(1)求证:AD垂直平分EF;
(2)若$AB+AC=10$,$DE=3$,求$△ ABC$的面积.
答案
(1)【证明】
∵ AD 平分∠BAC, DE ⊥ AB, DF ⊥ AC,
∴ ∠EAD = ∠FAD,∠DEA = ∠DFA = 90°, DE = DF,
∴ 点 D 在 EF 的垂直平分线上. 在△AED 和 △AFD 中, $\begin{cases} ∠DEA=∠DFA, \\ ∠EAD=∠FAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ △AED≌△AFD( AAS ),
∴ AE = AF,
∴ 点 A 在 EF 的垂直平分线上,
∴ AD 垂直平分 EF.
(2)【解】
∵ DE = 3,
∴ DF = DE = 3.
∵ AB+AC = 10,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF=\frac{1}{2}(AB+AC)·DE=15$.
∵ AD 平分∠BAC, DE ⊥ AB, DF ⊥ AC,
∴ ∠EAD = ∠FAD,∠DEA = ∠DFA = 90°, DE = DF,
∴ 点 D 在 EF 的垂直平分线上. 在△AED 和 △AFD 中, $\begin{cases} ∠DEA=∠DFA, \\ ∠EAD=∠FAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ △AED≌△AFD( AAS ),
∴ AE = AF,
∴ 点 A 在 EF 的垂直平分线上,
∴ AD 垂直平分 EF.
(2)【解】
∵ DE = 3,
∴ DF = DE = 3.
∵ AB+AC = 10,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF=\frac{1}{2}(AB+AC)·DE=15$.
7[2025福建泉州期末]“直角都相等”与“相等的角是直角”是（
A.互逆命题
B.互逆定理
C.公理
D.假命题
A
）A.互逆命题
B.互逆定理
C.公理
D.假命题
答案
【解析】“直角都相等”的题设是“两个角是直角”,结论是“这两个角相等”;“相等的角是直角”的题设是“两个角相等”,结论是“这两个角是直角”,这两个命题的题设和结论互换,所以是互逆命题. “相等的角是直角”是假命题,所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理. 故选 A.
8[2025湖南长沙质检]按要求解答下列各题.
(1)请写出以下命题的逆命题:
①相等的角是内错角；
②如果$a+b＞0$,那么$ab＞0$.
(2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否为互逆定理.
(1)请写出以下命题的逆命题:
①相等的角是内错角；
②如果$a+b＞0$,那么$ab＞0$.
(2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否为互逆定理.
答案
(1)①“相等的角是内错角”的逆命题:如果两个角是内错角,那么这两个角相等.
②“如果 a+b＞0,那么 ab＞0”的逆命题:如果 ab＞0,那么 a+b＞0.
(2)因为(1)中①的原命题与逆命题都是假命题,所以(1)中①的原命题和逆命题不是互逆定理.
②“如果 a+b＞0,那么 ab＞0”的逆命题:如果 ab＞0,那么 a+b＞0.
(2)因为(1)中①的原命题与逆命题都是假命题,所以(1)中①的原命题和逆命题不是互逆定理.
