1[2026江苏南京质检,中]如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$A$关于$BC$边的对称点为$A'$,点$B$关于$AC$边的对称点为$B'$,点$C$关于$AB$边的对称点为$C'$,则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积之比为 ()

A.$1:2$
B.$1:3$
C.$2:5$
D.$3:7$

(第1题图)
(第2题图)

1. B 【解析】如图,连接 $C' C$ 并延长交 $A' B'$ 于 N,设 $CC'$ 与 AB 交于 M,连接 $CA'$, $CB'$.
∵ 点 A 关于 BC 边的对称点为 $A'$,点 B 关于 AC 边的对称点为 $B'$,点 C 关于 AB 边的对称点为 $C'$, $∠ACB = 90°$,
∴ $AC = A' C$, $BC = B' C$, $∠ACB = ∠A' CB' = 90°$, $CM = C' M$, $∠AMC = ∠AMC' = 90°$,
∴ $△ ABC ≅ △ A' B' C$ (SAS),
∴ $S_{△ABC}=S_{△A'B'C}$, $∠A = ∠CA' B'$,
∴ $AB// A' B'$,
∴ $∠AMC = ∠A' NC=90°$,
∴ $CN⊥A' B'$. 根据全等三角形对应边上的高相等,可得 $CM = CN$,
∴ $CM = CN = C' M$,
∴ $S_{△A'CB'} = \frac{1}{3}S_{△A'B'C'}$,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{3}S_{△A'B'C'}$,
∴ $△ ABC$ 与 $△ A' B' C'$ 的面积之比为 1:3, 故选 B.

2 新考法[2026河北廊坊期末,中]如图,点D是△ABC内部一点,点E,F,G分别是点D关于AB,BC,CA的对称点,连接AE,BE,BF,CF,AG,CG,则∠E+∠F+∠G= ()

A.$270°$
B.$360°$
C.$420°$
D.$540°$

2. B 【解析】如图,连接 DA, DB, DC.
∵ 点 E, F, G 分别是点 D 关于 AB, BC, CA 的对称点,
∴ $AD = AE = AG$, $BD = BE = BF$, $DC = CG = CF$. 在 $△AEB$ 与 $△ADB$ 中, $\begin{cases} AE=AD, \\ BE=BD, \\ AB=AB, \end{cases}$
∴ $△AEB ≅ △ADB$ (SSS),
∴ $∠E = ∠ADB$. 同理得 $△AGC ≅ △ADC$, $△BFC≅ △BDC$,
∴ $∠G = ∠ADC$, $∠F = ∠BDC$,
∴ $∠E + ∠F + ∠G = ∠ADB + ∠BDC+∠ADC = 360°$,故选 B.

3[中]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=6$,$AC=8$,$AB=10$,动点$P$在边$AB$上运动(不与端点重合),点$P$关于直线$AC$,$BC$对称的点分别为$P_1$,$P_2$,则在点$P$的运动过程中,线段$P_1P_2$的长的最小值是.

3. 9.6
【解析】如图,连接 CP.
∵ 点 P 关于直线 AC, BC 对称的点分别为 $P_1, P_2$,
∴ $P_1 C = PC = P_2 C$, $∠P_1 CA = ∠PCA$, $∠P_2 CB = ∠PCB$,
∴ $∠P_1 CP_2 = 2∠ACB = 180°$,
∴ $P_1, C, P_2$ 三点共线,
∴ $P_1 P_2 = 2CP$. 当 $CP ⊥ AB$ 时,CP 的长最小,此时线段 $P_1 P_2$ 的长最小.
∵ $∠ACB=90°$,$BC=6$,$AC=8$,$AB=10$,
∴ $CP=\frac{AC×BC}{AB}=4.8$,
∴ 线段 $P_1 P_2$ 的长的最小值是 9.6.

4[2025湖北武汉校级期中,较难]已知点$A_0(-1,3)$,记$A_0$关于直线$m$(直线$m$上各点的横坐标都为0)的对称点为$A_1$,$A_1$关于直线$n$(直线$n$上各点的纵坐标都为1)的对称点为$A_2$,$A_2$关于直线$p$(直线$p$上各点的横坐标都为-2)的对称点为$A_3$,$A_3$关于直线$q$(直线$q$上各点的纵坐标都为3)的对称点为$A_4$,$A_4$关于直线$m$的对称点为$A_5$,$A_5$关于直线$n$的对称点为$A_6$,$···$,依此规律,$A_{2023}$的坐标是.
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4. $(-2\ 025,-2\ 021)$ 【解析】
∵ 直线 m 上各点的横坐标都为 0,
∴ 直线 m 为直线 $x=0$,
∴ 点 $A_0(-1,3)$ 关于直线 m 的对称点为 $A_1(1,3)$, 在第一象限.
∵ 直线 n 上各点的纵坐标都为 1,
∴ 直线 n 为直线 $y=1$,
∴ 点 $A_1(1,3)$ 关于直线 $y=1$ 的对称点为 $A_2(1,-1)$, 在第四象限.
∵ 直线 p 上各点的横坐标都为 -2,
∴ 直线 p 为直线 $x=-2$,
∴ 点 $A_2(1,-1)$ 关于直线 p 的对称点为 $A_3(-5,-1)$, 在第三象限.
∵ 直线 q 上各点的纵坐标都为 3,
∴ 直线 q 为直线 $y=3$,
∴ 点 $A_3 (-5,-1)$ 关于直线 q 的对称点为 $A_4(-5,7)$, 在第二象限.
∵ $A_4(-5,7)$ 与 $A_5$ 关于直线 m(即直线 $x=0$) 对称,
∴ $A_5(5,7)$, 在第一象限.
∵ $A_5(5,7)$ 与 $A_6$ 关于直线 n(即直线 $y=1$) 对称,
∴ $A_6(5,-5)$, 在第四象限.
∵ $A_6(5,-5)$ 与 $A_7$ 关于直线 p(即直线 $x=-2$) 对称,
∴ $A_7(-9,-5)$, 在第三象限. …, 按此规律,每四个点所在象限为一个循环.
∵ $2\ 023 = 4×505+3$,
∴ 点 $A_{2023}$ 与点 $A_3$ 在同一象限. 又
∵ $A_3(-5,-1)$,$A_7(-9,-5)$,…,
∴ 第三象限的点 $A_n$ 坐标的特征为横坐标为 $-(n+2)$, 纵坐标为 $-(n-2)$,
∴ 点 $A_{2023}$ 的横坐标为 $-(2\ 023+2) = -2\ 025$, 纵坐标为 $-(2\ 023-2) = -2\ 021$,
∴ $A_{2023}$ 的坐标是 $(-2\ 025,-2\ 021)$.

5 思想方法 数形结合 [2025 北京海淀区校级期中，较难]在平面直角坐标系$xOy$中，点$P(a,b)$为图形$G$上一点，当$|a|＞|b|$时，作点$P$关于第一、三象限角平分线的对称点，称为变换1；当$|a|≤|b|$时，作点$P$关于直线$y=a$的对称点，称为变换2.
(1)①已知点$A$坐标为$(2,1)$，则点$A$作相应变换后的点的坐标为；
②若点$Q$作相应变换后的点的坐标为$(-1,2)$，求点$Q$的坐标.
(2)已知$B(m,1),C(m,3)$.
①若线段$BC$上所有的点通过变换2所得图形在$x$轴下方，则$m$的取值范围是；
②如图，已知边长为8的正方形中心为点$O$，且各边与坐标轴平行，若正方形内部(含边)同时存在线段$BC$上点的两种变换点，则$m$的取值范围是.

5.【解】(1)①
∵ 点 A 坐标为$(2,1)$,$2＞1$,
∴ 点 A 作变换 1 后的点的坐标为$(1,2)$,故答案为$(1,2)$.
②若点 Q 作变换 1 后的点的坐标为$(-1,2)$,则点 Q 的坐标为$(2,-1)$;若点 Q 作变换 2 后的点的坐标为$(-1,2)$,则两点关于直线 $y=-1$ 对称,
∴ 点 Q 的坐标为$(-1,-4)$. 故点 Q 的坐标为$(2,-1)$或$(-1,-4)$.
(2)
∵ $B(m,1),C(m,3)$,
∴ 设线段 BC 上的点为 $M(m,n)$,则 $1≤n≤3$,$M(m,n)$ 关于直线 $y=m$ 的对称点的坐标为$(m,2m-n)$.
①
∵ 点$(m,n)$作变换 2,
∴ $|n|≥|m|$,
∴ $-1≤m≤1$.
∵ 线段 BC 上所有的点通过变换 2 所得图形在 x 轴下方,
∴ $2m-n＜0$.
∵ n 的最小值为 1,
∴ $2m＜1$,即 $m＜\frac{1}{2}$,
∴ $-1≤m＜\frac{1}{2}$. 故答案为 $-1≤m＜\frac{1}{2}$.
②
∵ 正方形内部(含边)同时存在线段 BC 上点的两种变换点,则线段 BC 与第二、四象限的角平分线或第一、三象限的角平分线有交点,
∴ $-3≤m＜-1$ 或 $1＜m≤3$.
当 $M(m,n)$ 在第二、四象限的角平分线上时, $n=-m$. M 经过变换 2 得到的点在直线 $y=-4$ 上时,$n-m=m-(-4)$,
∴ $n=2m+4$. 又
∵ $n=-m$,
∴ $m=-\frac{4}{3}$,
∴ $-\frac{4}{3}≤m＜-1$.
综上所述,$-\frac{4}{3}≤m＜-1$ 或 $1＜m≤3$. 故答案为 $-\frac{4}{3}≤m＜-1$ 或 $1＜m≤3$.